Fondamenti di automatica2/Stabilità interna di sistemi dinamici LTI

Stabilità interna di sistemi LTI a tempo continuo

La legge secondo cui evolve la perturbazione $\delta x(t)$ dello stato di un sistema LTI a tempo continuo, con ingresso $\tilde{u}(t)$ costante, continua a valere al variare dello stato iniziale nominale ${\tilde{x}}_0$, e quindi della perturbazione $\delta x_0$ dello stato iniziale:

$\dot{x}\left(t\right)=Ax\left(t\right)+B\tilde{u}\left(t\right)\Rightarrow \dot{\delta x}\left(t\right)=A\delta x(t)\Rightarrow \delta x(t)=x(t)-\tilde{x}(t)=e^{At}\delta x_0,\mathrm{\forall }t\ge 0$

perciò la proprietà di stabilità riguarda l'intero sistema e non i singoli movimenti.

La stabilità del sistema dipende dagli autovalori ${\lambda }_i$ della matrice di stato $A$. Un modo naturale può essere:

• esponenzialmente convergente se $\mathrm{\Re }\left({\lambda }_i\right)<0$;
• limitato se $\mathrm{\Re }\left({\lambda }_i\right)=0$ e ${{\mu }_i}^{\prime }=1$;
• polinomialmente divergente se $\mathrm{\Re }\left({\lambda }_i\right)=0$ e ${{\mu }_i}^{\prime }>1$;
• esponenzialmente divergente se $\mathrm{\Re }\left({\lambda }_i\right)>0$.

L'assenza di autovalori nulli garantisce l'invertibilità della matrice $A$:

$\det A=\prod _{i=1}^n{\lambda }_i\ne 0$

e quindi, nel caso l'ingresso nominale sia pari all'ingresso di equilibrio $\overline{u}$ costante, esiste un solo punto di equilibrio isolato:

$\overline{x}=-A^{-1}B\overline{u}$

Criteri di stabilità

Instabilità

Un sistema LTI a tempo continuo è instabile se e solo se almeno un modo naturale è divergente (polinomialmente o esponenzialmente).

Criterio di instabilità

Un sistema LTI a tempo continuo è instabile se almeno un modo naturale è esponenzialmente divergente, cioè se almeno un autovalore ${\lambda }_i$ ha parte reale positiva:

$\mathrm{\exists }i:\mathrm{\Re }\left({\lambda }_i\right)>0\Rightarrow \text{ sistema instabile}$

Stabilità semplice

Un sistema LTI a tempo continuo è semplicemente stabile se e solo se nessuno dei modi naturali è divergente e almeno un modo naturale è limitato con ${\mu }^{\prime }=1$.

Criterio di stabilità semplice

Un sistema LTI a tempo continuo è semplicemente stabile se nessuno dei modi naturali è divergente e almeno un modo naturale è limitato con $\mu ={\mu }^{\prime }=1$:

$\{\begin{array}{c}\mathrm{\forall }i:\mathrm{\Re }\left({\lambda }_i\right)\le 0\\ \mathrm{\exists }k:\mathrm{\Re }\left({\lambda }_k\right)=0\\ \mathrm{\forall }k:\mathrm{\Re }\left({\lambda }_k\right)=0⟶{\mu }_k=1\end{array}\Rightarrow \text{ sistema semplicemente stabile}$

Stabilità asintotica

Un sistema LTI a tempo continuo è asintoticamente stabile se e solo se tutti i modi naturali sono convergenti (esponenzialmente).

Criterio di stabilità asintotica

Un sistema LTI a tempo continuo è asintoticamente stabile se e solo se tutti i modi naturali sono esponenzialmente convergenti, cioè se e solo se tutti gli autovalori ${\lambda }_i$ hanno parti reali negative:

$\mathrm{\forall }i:\mathrm{\Re }\left({\lambda }_i\right)<0\iff \text{ sistema asintoticamente stabile}$

Un sistema LTI asintoticamente stabile è sempre globalmente asintoticamente stabile, perché la perturbazione evolve secondo una legge che vale per qualsiasi perturbazione iniziale $\delta x_0$.

Caso critico

Dato un sistema LTI a tempo continuo, se:

$\{\begin{array}{c}\mathrm{\forall }i:\mathrm{\Re }\left({\lambda }_i\right)\le 0\\ \mathrm{\exists }k:\mathrm{\Re }\left({\lambda }_k\right)=0,{\mu }_k>1\end{array}$

allora il sistema può risultare semplicemente stabile o instabile, a seconda se siano presenti dei modi polinomialmente divergenti.

Stabilità interna di sistemi LTI a tempo discreto

La legge secondo cui evolve la perturbazione $\delta x(k)$ dello stato di un sistema LTI a tempo discreto, con ingresso $\tilde{u}(k)$ costante, continua a valere al variare dello stato iniziale nominale ${\tilde{x}}_0$, e quindi della perturbazione $\delta x_0$ dello stato iniziale:

$x(k+1)=Ax(k)+Bu\widetilde{(}k)\Rightarrow \delta x(k+1)=A\delta x(k)\Rightarrow \delta x(k)=x(k)-\tilde{x}(k)=A^k\delta x_0,\mathrm{\forall }k\ge 0$

perciò la proprietà di stabilità riguarda l'intero sistema e non i singoli movimenti.

La stabilità del sistema dipende dagli autovalori ${\lambda }_i$ della matrice di stato $A$. Un modo naturale può essere:

• geometricamente convergente se $\left|{\lambda }_i\right|<1$;
• limitato se $\left|{\lambda }_i\right|=1$ e ${{\mu }_i}^{\prime }=1$;
• polinomialmente divergente se $\left|{\lambda }_i\right|=1$ e ${{\mu }_i}^{\prime }>1$;
• geometricamente divergente se $\left|{\lambda }_i\right|>1$.

L'assenza di autovalori diversi da 1 garantisce l'invertibilità della matrice $I-A$:

$\det (I-A)=\prod _{i=1}^n(1-{\lambda }_i)\ne 0$

e quindi, nel caso l'ingresso nominale sia pari all'ingresso di equilibrio $\overline{u}$ costante, esiste un solo punto di equilibrio isolato:

$\overline{x}={(I-A)}^{-1}B\overline{u}$

Criteri di stabilità

Instabilità

Un sistema LTI a tempo discreto è instabile se e solo se almeno un modo naturale è divergente (polinomialmente o geometricamente).

Criterio di instabilità

Un sistema LTI a tempo discreto è instabile se almeno un modo naturale è geometricamente divergente, cioè se almeno un autovalore ${\lambda }_i$ ha modulo maggiore di 1:

$\mathrm{\exists }i:\left|{\lambda }_i\right|>1\Rightarrow \text{ sistema instabile}$

Stabilità semplice

Un sistema LTI a tempo discreto è semplicemente stabile se e solo se nessuno dei modi naturali è divergente e almeno un modo naturale è limitato con ${\mu }^{\prime }=1$.

Criterio di stabilità semplice

Un sistema LTI a tempo discreto è semplicemente stabile se nessuno dei modi naturali è divergente e almeno un modo naturale è limitato con $\mu ={\mu }^{\prime }=1$:

$\{\begin{array}{c}\mathrm{\forall }i:\left|{\lambda }_i\right|\le 1\\ \mathrm{\exists }k:\left|{\lambda }_k\right|=1\\ \mathrm{\forall }k:\left|{\lambda }_k\right|=1⟶{\mu }_k=1\end{array}$

Stabilità asintotica

Un sistema LTI a tempo discreto è asintoticamente stabile se e solo se tutti i modi naturali sono convergenti (geometricamente).

Criterio di stabilità asintotica

Un sistema LTI a tempo discreto è asintoticamente stabile se e solo se tutti i modi naturali sono geometricamente convergenti, cioè se e solo se tutti gli autovalori ${\lambda }_i$ hanno moduli minori di 1:

$\mathrm{\forall }i:\left|{\lambda }_i\right|<1\iff \text{ sistema asintoticamente stabile}$

Un sistema LTI asintoticamente stabile è sempre globalmente asintoticamente stabile, perché la perturbazione evolve secondo una legge che vale per qualsiasi perturbazione iniziale $\delta x_0$.

Caso critico

Dato un sistema LTI a tempo discreto, se:

$\{\begin{array}{c}\mathrm{\forall }i:\left|{\lambda }_i\right|\le 0\\ \mathrm{\exists }k:\left|{\lambda }_k\right|=1,{\mu }_k>1\end{array}$

allora il sistema può risultare semplicemente stabile o instabile, a seconda se siano presenti dei modi polinomialmente divergenti.