Fondamenti di automatica2/Retroazione statica dallo stato

Legge di controllo

Rappresentazione schematica della legge di controllo

Tramite la legge di controllo è possibile agire sull'ingresso di un sistema dinamico LTI in modo da cambiare gli autovalori della matrice $A$ al fine di:

• rendere asintoticamente stabile un sistema instabile;
• imporre dei modi naturali convergenti che migliorano alcune proprietà del sistema:
  • smorzamento: ad es. un ascensore non può salire con troppa accelerazione;
  • rapidità di convergenza: ad es. un ascensore quando arriva al piano deve fermarsi senza oscillare su e giù;
• portare il sistema in uno stato di equilibrio dato.

Per modificare il comportamento dinamico del sistema è necessario applicare un ingresso $u(t)$ che dipende dallo stato $x(t)$ secondo la legge di controllo per retroazione statica dallo stato:

$u(t)=-Kx(t)+\alpha r(t),x(t)\in {ℝ}^n,u(t)\in ℝ,K\in {ℝ}^{1\times n},\alpha \in ℝ$

dove:

• il contributo $Kx(t)$ rappresenta la retroazione dallo stato (o state feedback), con $K$ chiamata matrice dei guadagni;
• il contributo $\alpha r(t)$ rappresenta l'azione diretta (o feedforward), con l'ingresso esterno $r(t)$ (riferimento) che serve per pilotare il sistema in maniera opportuna.

Problema di assegnazione degli autovalori mediante retroazione statica dallo stato

Intervenendo sulla matrice $K$ è possibile modificare in maniera arbitraria tutti gli $n$ autovalori della matrice $A$?

Teorema di assegnazione degli autovalori

È possibile modificare in maniera arbitraria tutti gli $n$ autovalori della matrice $A$ intervenendo sulla matrice $K$ se e solo se il sistema è completamente raggiungibile:

$\rho \left(M_R\right)=n$

In particolare si interviene sulla matrice $K$ in modo che gli $n$ autovalori della matrice $A-BK$ coincidano con $n$ numeri fissati arbitrariamente.

Se il sistema non è completamente raggiungibile, la legge di controllo può modificare solo gli $r$ autovalori corrispondenti alla sua parte raggiungibile.

Quando l'ingresso $u(t)$ segue la legge di controllo, il sistema controllato complessivo ha le seguenti equazioni di ingresso-stato-uscita

$\{\begin{array}{c}\dot{x}(t)=A_{RS}x(t)+B_{RS}u(t)=\stackrel{A_{RS}}{\overbrace{(A-BK)}}x(t)+\stackrel{B_{RS}}{\overbrace{B\alpha }}r(t)\\ y(t)=C_{RS}x(t)+D_{RS}u(t)=\underset{C_{RS}}{\underbrace{(C-DK)}}x(t)+\underset{D_{RS}}{\underbrace{D\alpha }}r(t)\end{array}$

Il coefficiente $\alpha$ assume il ruolo di guadagno della funzione di trasferimento $H(s)$ tra l'uscita $y(t)$ e l'ingresso $r(t)$ nel sistema controllato complessivo:

$H\left(s\right)=C_{RS}{(sI-A_{RS})}^{-1}{B}_{RS}+D_{RS}=\{(C-DK){[sI-(A-BK)]}^{-1}B+D\}\alpha$

Problema della regolazione

Sistemi LTI a tempo continuo

L'equilibrio $(\overline{r},\overline{x},\overline{y})$ di un sistema controllato, a tempo continuo e asintoticamente stabile è:

$\{\begin{array}{c}\overline{x}=-{(A-BK)}^{-1}B\alpha \overline{r}\\ \overline{y}=[-(C-DK){(A-BK)}^{-1}B+D]\alpha \overline{r}\end{array}$

Problema della regolazione dell'uscita

È possibile fare in modo che il valore di equilibrio dell'uscita $\overline{y}$ coincida con il valore di equilibrio dell'ingresso $\overline{r}$?

Condizione di regolazione

La scelta del coefficiente $\alpha$ risolve il problema della regolazione:

$\alpha ={[-(C-DK){(A-BK)}^{-1}B+D]}^{-1}$

Sistemi LTI a tempo discreto

L'equilibrio $(\overline{r},\overline{x},\overline{y})$ di un sistema controllato, a tempo discreto e asintoticamente stabile è:

$\{\begin{array}{c}\overline{x}=(A-BK)\overline{x}+B\alpha \overline{r}\\ \overline{y}=(C-DK)\overline{x}+D\alpha \overline{r}\end{array}$

Condizione di regolazione

$\alpha ={\{(C-DK){[I-(A-BK)]}^{-1}B+D\}}^{-1}$