Algebra 1/Calcolo Letterale/Monomi

Esempio: Nella tabella seguente sono segnati alcuni monomi con i rispettivi coefficienti e parti letterali.

monomio	$- \frac{1}{2} a b c$	$3 x^{3} y^{5}$	$a^{5} b^{7}$	$- k^{2}$
coefficiente	$- \frac{1}{2}$	$3$	$1$	$- 1$
parte letterale	$a b c$	$x^{3} y^{5}$	$a^{5} b^{7}$	$k^{2}$

Abbiamo detto che gli esponenti della parte letterale del monomio sono numeri naturali, dunque possiamo anche avere una o più variabili elevate ad esponente 0. Cosa succede allora nel monomio?

Consideriamo il monomio $56 a^{3} b^{0} c^{2}$ , sappiamo che qualunque numero diverso da zero elevato a zero è uguale a 1, quindi possiamo sostituire la variabile $b$ che ha esponente 0 con 1 e otteniamo $56 a^{3} \cdot 1 \cdot c^{2} = 56 a^{3} c^{2}$ . Se in un monomio ogni variabile ha esponente 0, il monomio rimane solamente con il suo coefficiente numerico: per esempio $- 3 a^{0} x^{0} = - 3 \cdot 1 \cdot 1 = - 3$ .

Valore di un monomio

Poiché il monomio è un’espressione letterale, possiamo calcolarne il valore quando alle sue variabili sostituiamo dei numeri.

Molte formule di geometria sono scritte sotto forma di monomi: area del triangolo $\frac{1}{2} b h$ , area del quadrato $l^{2}$ , perimetro del quadrato $4 l$ , area del rettangolo $b h$ , volume del cubo $l^{3}$ , ecc. Esse acquistano un valore quando alle lettere sostituiamo i numeri che rappresentano le misure della figura considerata.

Moltiplicazione di due monomi

Ci proponiamo ora di introdurre nell’insieme dei monomi le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, potenza e divisione.

Ricordiamo che definire un’operazione all’interno di un insieme significa stabilire una legge che associa a due elementi dell’insieme un altro elemento dell’insieme stesso.

La moltiplicazione di due monomi si indica con lo stesso simbolo della moltiplicazione tra numeri; i suoi termini si chiamano fattori e il risultato si chiama prodotto, proprio come negli insiemi numerici.

Proprietà della moltiplicazione

commutativa: $m_{1} \cdot m_{2} = m_{2} \cdot m_{1}$ ;
associativa: $m_{1} \cdot m_{2} \cdot m_{3} = (m_{1} \cdot m_{2}) \cdot m_{3} = m_{1} \cdot (m_{2} \cdot m_{3})$ ;
1 è l’elemento neutro: $1 \cdot m = m \cdot 1 = m$ ;
annullamento del prodotto: se uno dei fattori è uguale a 0 il prodotto è 0, cioè $0 \cdot m = m \cdot 0 = 0$ .

Potenza di un monomio

Ricordiamo che tra i numeri l’operazione di elevamento a potenza ha un solo termine, la base, sulla quale si agisce a seconda dell’esponente. Template:Testo centrato

Analogamente viene indicata la potenza di un monomio: la base è un monomio e l’esponente è un numero naturale.

Divisione di due monomi

Premessa: ricordiamo che assegnati due numeri razionali $d_{1}$ e $d_{2}$ con $d_{2} \neq 0$ , eseguire la divisione $d_{1} : d_{2}$ significa determinare il numero $q$ che moltiplicato per $d_{2}$ dà $d_{1}$ . Nell’insieme $ℚ$ la condizione $d_{2} \neq 0$ è sufficiente per affermare che $q$ esiste ed è un numero razionale.

In conclusione, l’operazione di divisione tra due monomi ha come risultato un monomio se ogni variabile del dividendo ha esponente maggiore o uguale all’esponente con cui compare nel divisore.

Addizione di due monomi

L’addizione di due monomi si indica con lo stesso simbolo dell’addizione tra numeri; i suoi termini si chiamano addendi e il risultato si chiama somma.

Addizione di due monomi simili

La somma di due monomi simili è un monomio simile agli addendi e avente come coefficiente la somma dei coefficienti.

Proprietà della addizione

commutativa: $m_{1} + m_{2} = m_{2} + m_{1}$ ;
associativa: $m_{1} + m_{2} + m_{3} = (m_{1} + m_{2}) + m_{3} = m_{1} + (m_{2} + m_{3})$ ;
0 è l’elemento neutro: $0 + m = m + 0 = m$ ;
elemento inverso: per ogni monomio m esiste il monomio opposto, cioè un monomio $m^{*}$ tale che Template:Testo centrato

L’ultima proprietà enunciata ci permette di definire nell’insieme dei monomi simili anche la sottrazione di monomi. Essa si indica con lo stesso segno della sottrazione tra numeri e il suo risultato si chiama differenza.

Sulla base di quanto detto, possiamo unificare le due operazioni di addizione e sottrazione di monomi simili in un'unica operazione che chiamiamo somma algebrica di monomi.

Addizione di monomi non simili

Analizziamo il caso della seguente addizione: $7 a^{3} b^{2} - 5 a^{2} b^{3} + a^{3} b^{2}$ . Si vuole determinare la somma. I monomi addendi non sono tutti tra loro simili; lo sono però il primo e il terzo.

Le proprietà associativa e commutativa ci consentono di riscrivere l’addizione precedente “avvicinando” i monomi simili e sostituendo ad essi la loro somma: Template:Testo centrato

L’espressione così ottenuta è la somma richiesta.

Il procedimento che abbiamo seguito per determinare il risultato dell’addizione assegnata viene chiamato riduzione dei termini simili.

In conclusione, l’operazione di addizione tra monomi ha come risultato un monomio solo se gli addendi sono monomi simili; in caso contrario la somma viene effettuata riducendo i monomi simili e lasciando indicata l’addizione tra gli altri monomi.

Espressioni con i monomi

Consideriamo l’espressione letterale $E = {(- \frac{1}{2} a^{2} b)}^{3} : (a^{5} b) + (- 2 a b) \cdot (\frac{1}{2} b + b) + 5 a b^{2}$ .

Vediamo che è in due variabili, le variabili sono infatti $a$ e $b$ . Inoltre, i termini delle operazioni che vi compaiono sono monomi.

Se volessimo calcolare il valore di $E$ per $a = 10$ e $b = - 2$ dovremmo sostituire nell’espressione tali valori e risolvere l’espressione numerica che ne risulta. Inoltre se dovessimo calcolare il valore di $E$ per altre coppie dovremmo ogni volta applicare questo procedimento.

Dal momento che abbiamo studiato come eseguire le operazioni razionali con i monomi, prima di sostituire i numeri alle lettere, applichiamo le regole del calcolo letterale in modo da ridurre $E$ , se possibile, in un’espressione più semplice.

Prima di procedere, essendovi una divisione, poniamo innanzitutto la $C.E. a \neq 0$ e $b \neq 0$ ed eseguiamo rispettando la precedenza delle operazioni come facciamo nelle espressioni numeriche.

Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo tra monomi

Massimo Comune Divisore

Il calcolo del minimo comune multiplo e del Massimo Comune Divisore, studiato per i numeri, si estende anche ai monomi. Premettiamo intanto le seguenti definizioni.

Il coefficiente numerico può essere un qualunque numero reale: se i coefficienti sono tutti interi è opportuno scegliere il loro $MCD$ , se non sono interi è opportuno scegliere 1.

Minimo comune multiplo

Estendiamo ora ai monomi la nozione di minimo comune multiplo.

Il coefficiente numerico può essere un qualunque numero reale: se i coefficienti sono tutti interi è opportuno scegliere il loro $mcm$ , se non lo sono è opportuno scegliere 1.

In realtà, applicando la definizione è poco pratico calcolare il $mcm$ , è utile invece la seguente procedura.