Esercizi di fisica con soluzioni/L'oscillatore armonico

Esercizi

1. Oscillatore armonico semplice

Una particella vibra di moto armonico semplice. All'istante iniziale ($t=0$) l'energia potenziale e l'energia cinetica sono eguali e valgono $E_0=2J$ e la particella si allontana dalla posizione di equilibrio. Il periodo del moto vale $T=0.1s$, la massa della particella vale $m=700g$.

Determinare a) la costante di richiamo elastico $k$; b) la massima velocità acquistata; d) l'ampiezza di oscillazione; d) dopo quanto tempo la particella passa per il centro di oscillazione;

Soluzioni

1. Oscillatore armonico semplice

a)

$\omega =\frac{2\pi }{T}=63rad/s$

di conseguenza:

$k={\omega }^{2}m=2760N/m$

b)

Dovendosi conservare l'energia la massima velocità è quella per cui tutta l'energia è cinetica:

$\frac{1}{2}m{v}_o^2=2E_o$

$v_o=3.4m/s$

c)

Mentre l'ampiezza di oscillazione è quella per cui tutta l'energia è potenziale:

$\frac{1}{2}k{x}_o^2=2E_o$

$x_o=5.4cm$

d)

Essendo un moto armonico posso scrivere:

$x=x_o\cos (\omega t+\phi )$

$v=x_o\omega \sin (\omega t+\phi )$

dovendo essere

$\frac{1}{2}kx(0{)}^2=\frac{1}{2}mv(0{)}^2$

$\frac{1}{2}k{x}_o^2{\cos }^2(\phi )=\frac{1}{2}m{x}_o^2{\omega }^2{\sin }^2(\phi )=\frac{1}{2}m{x}_o^2\frac{k}{m}{\sin }^2(\phi )$

da cui

$\tan \phi =1$

Che ha due soluzioni la prima se si allontana dalla posizione di equilibrio

$\phi =45^o=\pi /4$

La seconda soluzione se si avvicina alla posizione di equilibrio:

$\phi =135^o=5/4\pi$

è esclusa dalla condizione iniziale.

Quindi imponendo che:

$\omega t_1+\phi =\pi$

segue che:

$t_1=37ms$