Esercizi di fisica con soluzioni/Elettrostatica nella materia

Esercizi

1. Un disco sottile conduttore

Un disco sottile conduttore di raggio $R$ ha una carica totale $Q$. La densità di carica superficiale varia con la distanza $r$ dal centro secondo la legge:

$\sigma =\frac{Q}{2\pi R\sqrt{R^2-r^2}}$

Dimostrare che la carica totale sia davvero $Q$ e determinare il valore del campo elettrico lungo l'asse del disco.

2. Due condensatori incrociati

Due condensatori $C_1$ e $C_2$ sono separatamente portati alle tensioni $V_1$ e $V_2$. A un certo istante il morsetto positivo di ognuno viene connesso a quello negativo dell'altro tramite dei fili resistivi (il cui valore non interessa ai fini del problema). Determinare la tensione di $C_1$ e $C_2$ dopo il collegamento.

(dati del problema $C_1=1\mu F$, $C_2=10\mu F$, $V_1=20V$, $V_2=30V$)

3. Un condensatore a facce piane

Un condensatore a facce piane e parallele ha una capacità a vuoto $C_o$, è collegato ad una batteria di $f$. Se tra le armature del condensatore viene inserito un materiale isolante si trova che la carica varia di $\mathrm{\Delta }Q$. Determinare la costante dielettrica dell'isolante ed il lavoro compiuto dalla batteria per mantenere costante la differenza di potenziale ai capi del condensatore.

(dati del problema $\mathrm{\Delta }Q=40nC$, $f=12V$, $C_o=50nF$)

4. Un condensatore con una lastra

Un condensatore a facce piane e parallele ha una capacità $C_o$ (figura a). Tra le sue armature viene inserita come in figura b) una lastra metallica di spessore trascurabile. Se la lastra viene mantenuta isolata mentre tra le armature estreme viene messa una carica $Q$ e $-Q$ determinare la differenza di potenziale della lastra centrale con le due armature. Determinare inoltre la capacità totale se la lastra inserita viene messa in contatto con l'armatura di destra.

(dati del problema $Q=3nC$, $d_1=4d_2$,$C_o=100pF$)

5. Spessore strato carico in un conduttore

Una lastra di rame, in cui il numero di elettroni liberi nell'unità di volume vale $n$, genera un campo elettrico sulla sua superficie di intensità pari a $E_o$. Determinare lo spessore dello strato di elettroni necessario a generare un tale campo.

(dati del problema $n=8.5\cdot 10^{28}{m}^{-3}$, $E_o=10^{7}V/m$)

6. Condensatore sferico con dielettrico

L'armatura interna di un condensatore sferico ha raggio interno $R_1$, ed esterno $R_2$ mentre lo spazio tra l'armatura interna ed esterna è riempito con un dielettrico di costante dielettrica relativa ${\epsilon }_r$. Le due armature hanno cariche eguali ed opposte in maniera che nel dielettrico il campo massimo vale $E_m$.

Determinare a) la capacità b) la densità di carica di polarizzazione sulla superficie interna ed esterna del dielettrico.

(dati del problema $R_1=5cm$, $R_2=7cm$, ${\epsilon }_r=5$, $E_m=10^{6}V/m$)

7. Due gusci concentrici

Due gusci sferici concentrici conduttori (di spessore trascurabile) hanno raggio $R_1$ ed $R_2$, sono carichi con cariche eguali ed opposte (lo spazio tra di loro è vuoto).

Se la differenza di potenziale tra i due gusci vale $V_o$ determinare la loro carica, il campo elettrico massimo e l'energia elettrica immagazzinata dal sistema.

(dati del problema $R_1=30cm$, $R_2=40cm$, $V_o=45kV$)

8. Una sfera metallica con dielettrico

Una sfera metallica di raggio $r_a=5cm$ è circondata da un dielettrico di spessore $d=10cm$ e costante dielettrica ${ϵ}_r=(\frac{r}{r_a}{)}^n$. La sfera metallica è caricata con una carica $Q=0.5\mu C$. Calcolare: a) il campo elettrico in tutto lo spazio; b) il valore di $n$ che rende il campo elettrico costante nel dielettrico.

Una particella di massa $m=10^{-8}kg$ e carica $q=1nC$ viene inviata con velocità $v$ lungo un diametro della sfera da una distanza infinita. c) Calcolare il valore di $v$ affinché la carica $q$ arrivi ferma sulla superficie della sfera metallica nel caso in cui sia $n=3$ e nell'ipotesi in cui essa non venga rallentata nell'attraversare il dielettrico.

9. Forza tra armature di un condensatore

Un condensatore a facce piane e parallele ha una superficie delle armature di $S=100c{m}^2$ e distanza $z=100\mu m$. Se sulle due armature viene posta una carica $Q=\pm 44nC$ determinare la forza con cui si attraggono le armature.

10. Condensatore sferico

Un condensatore sferico ha armature di raggi $R_1=10cm$ ed $R_2=20cm$ e lo spazio tra le due armature è riempito con un dielettrico liquido (omogeneo ed isotropo) di costante dielettrica relativa ${ϵ}_r=2.5$. L'armatura centrale viene portata ad una differenza di potenziale $V_0=20V$ rispetto a quella esterna (quindi una carica positiva va sull'armatura interna e una negativa eguale e contraria in quella esterna). Dopo che il condensatore è carico (viene rimosso il generatore di carica) il dielettrico viene rimosso. Determinare: a) la carica sulle armature del condensatore; b) la densità delle cariche di polarizzazione di superficie, con i rispettivi segni, presenti nel sistema dopo che è stato caricato a regime, ma prima che il dielettrico venga estratto; c) la differenza di potenziale tra le armature del condensatore dopo l'estrazione del dielettrico.

11. Tre gusci

Una sfera conduttrice di raggio $R_1=1cm$ è circondata da due involucri concentrici uno di raggio $R_2=2cm$ e costante dielettrica relativa ${\epsilon }_1=5$, l'altro di raggio $R_3=3cm$ e costante dielettrica relativa ${\epsilon }_2=80$. Sulla sfera conduttrice è posta una carica $Q=1\mu C$. Calcolare la densità di polarizzazione sulle tre interfacce.

12. Due strati in serie

Un condensatore a facce piane e parallele è riempito completamente con due sottili piani dielettrici omogenei in serie di spessore e costante dielettrica relativa rispettivamente $d_1=0.2mm$, ${\epsilon }_{r1}=3$; $d_2=0.8mm$, ${\epsilon }_{r2}=9$. La superficie delle armature è pari a $S=0.1m^2$ e vi è una carica di $Q=\pm 1\mu C$ sulle due armature. Determinare a) la densità di carica superficiale di polarizzazione sulla tre interfacce (I armatura positiva-dielettrico 1),(dielettrico 1 dielettrico 2), (dielettrico 2 - II armatura negativa); b) la differenza di potenziale tra le armature; c) la capacità del condensatore.

13. Due strati in parallelo

Un condensatore a facce piane e parallele, di superficie delle armature pari a $S=0.1m^2$ e distanza tra di esse pari a $d=1mm$, è riempito per metà con un dielettrico di costante dielettrica relativa ${\epsilon }_{r1}=3$ e l'altra metà con un dielettrico di costante dielettrica relativa${\epsilon }_{r1}=9$. Vi è una carica di $Q=\pm 1\mu C$ sulle due armature. Determinare a) il modulo del campo elettrico nei due dielettrici; b) la differenza di potenziale tra le armature; c) la densità di carica superficiale di polarizzazione sulle due interfacce (I armatura positiva-dielettrico 1),(I armatura positiva dielettrico 2); d) la capacità del condensatore.

14. Un dielettrico non uniforme

Un condensatore a facce piane e parallele, di superficie delle armature pari a $S=0.1m^2$ e distanza tra di esse pari a $d=1mm$, è riempito con un dielettrico di costante dielettrica relativa che dipende dalla distanza tra le armature con la legge:

${\epsilon }_r(x)=1+a\frac{x}{d}$

con $x$ la distanza dalla armatura positiva. Vi è una carica di $\pm Q$ sulle due armature. Determinare la carica di polarizzazione superficiale e di volume e verificare che la carica totale sul dielettrico è nulla.

15. Sfera carica dielettrica

Un dielettrico con costante dielettrica relativa pari a ${\epsilon }_r$, di forma sferica di raggio $R_2$ è caricato uniformemente nella regione centrale di raggio $R_1<R_2$ con una carica totale $Q.$ Determinare a) l'espressione del campo elettrico nella varie regioni di spazio; b) la densità di carica superficiale di polarizzazione sulla sfera di raggio $R_2$; c) la densità di carica volumetrica di polarizzazione.

Soluzioni

1. Un disco sottile conduttore

Un generico elemento della superficie del disco in cui la densità di carica ha lo stesso valore è una corona circolare di raggio $r$ e larghezza $dr$ la cui superficie vale $dS=2\pi rdr$ e quindi la carica in tale superficie vale:

$dQ=2\pi rdr\sigma =\frac{Qrdr}{R\sqrt{R^2-r^2}}$

La carica totale sul disco si ottiene integrando tale espressione tra $0$ ed $R$:

$\frac{Q}{R}\underset{0}{\overset{R}{\int }}\frac{rdr}{\sqrt{R^2-r^2}}=\frac{Q}{R}{[-\sqrt{R^2-r^2}]}_0^R=Q$

che è quanto si voleva dimostrare.

Tale elemento infinitesimo di superficie può considerarsi a tutti gli effetti un anello di carica $dQ$ e raggio $0\le r\le R$ che genera in un punto generico $x$ del suo asse un campo (diretto lungo l'asse) di intensità: $d{E}_x=\frac{dQx}{4\pi {\epsilon }_o(x^2+r^2{)}^{3/2}}$

Ma essendo $dQ=2\pi rdr\sigma$

$d{E}_x=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{Qxrdr}{R\sqrt{R^2-r^2}(x^2+r^2{)}^{3/2}}$

Quindi il campo totale vale:

$E_x=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{Qx}{R}\underset{0}{\overset{R}{\int }}\frac{rdr}{\sqrt{R^2-r^2}(x^2+r^2{)}^{3/2}}=$ $=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{Qx}{R}{[-\frac{\sqrt{R^2-r^2}}{\sqrt{r^2+x^2}(R^2+x^2)}]}_0^R=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{QxR}{Rx(R^2+x^2)}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{Q}{R^2+x^2}$

2. Due condensatori incrociati

Prima del collegamento:

$Q_{10}=C_1{V}_1=2\cdot 10^{-5}C$

$Q_{20}=C_2{V}_2=3\cdot 10^{-4}C$

Poiché il collegamento avviene tra armature con carica opposta, la carica totale su ogni ramo si conserva, ma con il suo segno, quindi dove prevale la carica positiva rimane una carica positiva, mentre dove vi è dominante quella negativa rimane quella negativa. In definitiva la carica finale su ogni lato è in modulo:

$Q_f=Q_{20}-Q_{10}=2.8\cdot 10^{-4}C$

Se chiamiamo ($Q_{1f}$ e $Q_{2f}$) le cariche finali sui due condensatori, sulle armature collegate all'armatura dominante positiva del condensatore 2, per la conservazione della carica:

$Q_{1f}+Q_{2f}=Q_f$

Passato un tempo sufficientemente lungo la somma delle differenze di potenziale tra i due condensatori (che era inizialmente di $V_1+V_2$ ) diviene:

$\frac{Q_{1f}}{C_1}-\frac{Q_{2f}}{C_2}=0$

notare che si è usato il segno meno per tenere conto delle polarità delle cariche sui condensatori.

Da tale sistema di equazioni:

$Q_{1f}=Q_f\frac{C_1}{C_1+C_2}=2.5\cdot 10^{-5}C$

$Q_{2f}=Q_f\frac{C_2}{C_1+C_2}=2.5\cdot 10^{-4}C$

La differenza di potenziale che è eguale tra le armature:

$V_f=\frac{Q_{1f}}{C_1}=\frac{Q_f}{C_1+C_2}=25.5V$

3. Un condensatore a facce piane

La capacità diviene:

$C_1={ϵ}_r{C}_o$

Quindi essendo:

$Q_o=C_{o}f$

$Q_1=C_{1}f={ϵ}_r{C}_{o}f$

$\mathrm{\Delta }Q=C_{o}f({ϵ}_r-1)$

${ϵ}_r=1+\frac{\mathrm{\Delta }Q}{C_{o}f}=1.07$

La variazione di energia immagazzinata nel condensatore è:

$\mathrm{\Delta }E={ℂ}_1{f}^2-{ℂ}_o{f}^2={ℂ}_o{f}^2({ϵ}_r-1)=0.25muJ$

4. Un condensatore con una lastra

a) La tensione totale tra le armature estreme vale (e non cambia con l'inserimento della lastra)

$V_o=\frac{Q}{C_o}=30V$

Immaginando che la carica sia $+Q$ sull'armatura di sinistra. Tale differenza di potenziale è dovuta all'integrale del campo elettrico uniforme all'interno del condensatore, quindi la lastra interna ha con l'armatura di sinistra una d.d.p. pari a:

$V_1=-V_o\frac{d_1}{d_1+d_2}=-24V$

mentre con quella di destra:

$V_2=V_o\frac{d_2}{d_1+d_2}=6V$

b) Se viene messo in contatto la lastra con l'armatura di destra la d.d.p., si annulla la d.d.p. come il campo tra di loro, quindi la capacità aumenta e diviene:

$C=C_o\frac{d_1+d_2}{d_1}=125pF$

5. Spessore strato carico in un conduttore

La densità di carica della nuvola di elettroni liberi (che è compensata esattamente dalle cariche ioniche positive fisse) vale:

$\rho =en=1.35\cdot 10^{10}C/m^3$

La legge di Coulomb si può scrivere in realtà in due forme equivalenti:

$E_o=\frac{\sigma }{{\epsilon }_o}=\frac{\rho t}{{\epsilon }_o}$

Indicando con $t$ l'allontanamento dalla posizione di equilibrio delle cariche libere necessario a generare il campo $E_o$. Quindi:

$\sigma =\rho t$

$t=\frac{E_o{\epsilon }_o}{en}=6.4\cdot 10^{-15}m$

Per quanto l'intensità del campo sia così elevata lo spostamento della nuvola elettronica è talmente piccolo, che a tutti gli effetti giustamente si considera una densità di carica superficiale.

6. Condensatore sferico con dielettrico

La capacità è semplicemente eguale a:

$C=4\pi {\epsilon }_o{\epsilon }_r\frac{R_1{R}_2}{R_2-R_1}=97pF$

Il campo elettrico, radiale all'interno del dielettrico $R_1<r<R_2$ vale:

$E_r(r)=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_o{\epsilon }_r{r}^2}$

Tale campo è massimo sulla superficie interna del dielettrico:

$Q=E_{m}4\pi {\epsilon }_o{\epsilon }_r{R}_1^2=1.4\cdot 10^{-6}C$

$E(R_2)=E_m{R}_1^2/R_2^2=5.1\cdot 10^{5}V/m$

Quindi anche la polarizzazione è radiale (come il campo elettrico) e vale:

$P_r(r)=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_r{r}^2}({\epsilon }_r-1)$

${\sigma }_1=-|P_r(R_1)|=-\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_r{R}_1^2}({\epsilon }_r-1)=-3.5\cdot 10^{-5}C/m^2$

${\sigma }_2=|P_r(R_2)|=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_r{R}_2^2}({\epsilon }_r-1)=1.8\cdot 10^{-5}C/m^2$

7. Due gusci concentrici

Posta una carica $Q$ nel guscio interno di raggio $R_1$ a causa del teorema di Gauss nell'interspazio tra i gusci il campo elettrico è radiale e vale:

$|E|=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_o{r}^2}$

Quindi la differenza di potenziale tra i due gusci vale:

$V_o=\underset{R_1}{\overset{R_2}{\int }}\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_o{r}^2}dr=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{R_2-R_1}{R_1{R}_2}$

Da cui:

$Q=V_{o}4\pi {\epsilon }_o\frac{R_1{R}_2}{R_2-R_1}=6\mu C$

La massima densità di carica è sulla armatura interna e vale:

${\sigma }_{max}=E_{max}{\epsilon }_o$

Quindi:

$E_{max}=\frac{Q}{{\epsilon }_{o}4\pi R_1^2}=0.6MV/m$

la capacità vale:

$C=4\pi {\epsilon }_o\frac{R_1{R}_2}{R_2-R_1}=133pF$

quindi l' energia immagazzinata vale:

$U=\frac{1}{2}C{V}_o^2=0.135J$

8. Una sfera metallica con dielettrico

a) Applichiamo il teorema di Gauss.

Per $r\le r_a$, $E(r)=0$

Per $r_a\le r\le r_a+d$ applichiamo il teorema di Gauss al vettore spostamente dielettrico $\overrightarrow{D}(\overrightarrow{r})={\epsilon }_o{\epsilon }_r\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r})$:

$\int \overrightarrow{D}\cdot \overrightarrow{dS}=Q$

da cui

$|D|=\frac{Q}{4\pi r^2}$

Quindi:

$|E(r)|=\frac{|D(r)|}{{ϵ}_0{ϵ}_r(r)}=\frac{Q{r}_a^n}{4\pi {ϵ}_0{r}^{n+2}}$

per $r\ge r_a+d$

$E(r)=\frac{Q}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}$

b)

Per avere $E(r)=costante$ nel dielettrico deve essere che:

$E(r)=\frac{Q{r}_a^n}{4\pi {ϵ}_0{r}^{n+2}}=costante$

da cui segue che $n=-2$

ed:

$E(r)=1.8\cdot 10^{6}V/m$

c)

Poiché il sistema è isolato e conservativo possiamo utilizzare la conservazione dell'energia:

$E_{iniziale}=E_{finale}$ con $E_{iniziale}=\frac{1}{2}m{v}^2$ e

$E_{finale}=qV(r_a)$

Dobbiamo quindi calcolare il potenziale sulla superficie della sfera metallica considerando n=3.

Dalla definizione di potenziale abbiamo, considerando che $V(\mathrm{\infty })=0$:

$V(r_a)-V(\mathrm{\infty })=-\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{r_a}{\int }}\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dr}=-\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{r_a+d}{\int }}\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dr}-\underset{r_a+d}{\overset{r_a}{\int }}\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dr}=-\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{r_a+d}{\int }}\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_o{r}^2}dr-\underset{r_a+d}{\overset{r_a}{\int }}\frac{Q{r}_a^3}{4\pi {\epsilon }_o{r}^{3+2}}dr$

Quindi:

$V(r_a)=\frac{Q}{4\pi {ϵ}_0}[\frac{1}{r_a+d}+\frac{1}{4r_a}-\frac{r_a^3}{4(r_a+d{)}^4}]$

$V(r_a)=5.2\times 10^{4}V$

per cui $v=\sqrt{\frac{2qV(r_a)}{m}}=102m/s$

9. Forza tra armature di un condensatore

Un problema di questo genere si risolve con il teorema dei lavori virtuali che qui viene usato in pratica. Immaginiamo di lasciare avvicinare, spontaneamente, le armature di una piccola quantità $dz$. Il lavoro meccanico fatto nel muovere le armature sarà:

$dW=Fdz$

Si noti che essendo la forza diretta nella direzione dello spostamento abbiamo scritto una espressione con grandezze scalari. Il lavoro fatto deve in realtà essere pari alla variazione dell'energia elettrostatica del condensatore che è :

$U=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}$

Dove $C={\epsilon }_{o}S/z=0.88nF$ è la capacità del condensatore, la carica sulle armature non cambia, al contrario della d.d.p., lasciando avvicinare tra di loro le armature. La variazione di energia elettrostatica a causa dell'avvicinamento delle armature sarà:

$dU=\frac{1}{2}{Q}^2\frac{d(1/C)}{dz}=\frac{Q^2}{2{\epsilon }_{o}S}dz$

Cioè diminuisce l'energia accumulata e viene a spese di questa energia fatto un lavoro:

$Fdz=\frac{Q^2}{2{\epsilon }_{o}S}dz$

segue che la forza attrattiva è pari a:

$F=\frac{Q^2}{2{\epsilon }_{o}S}=0.011N$

10. Condensatore sferico

a)

Il campo elettrico tra le armature si calcola con il teorema di Gauss:

$\underset{S}{\int }\overrightarrow{D}\cdot \overrightarrow{dS}=Q$

da cui

$\overrightarrow{D}=\frac{Q}{4\pi r^2}\hat{r}$

La differenza di potenziale tra le 2 armature, essendo $\overrightarrow{D}={\epsilon }_o{\epsilon }_r\overrightarrow{E}$, si calcola dalla definizione di potenziale

$V(R_1)-V(R_2)=\underset{R_1}{\overset{R_2}{\int }}\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dr}=\frac{Q(R_2-R_1)}{4\pi {\epsilon }_o{\epsilon }_r{R}_1{R}_2}$

e quindi:

$C=\frac{Q}{V}=\frac{4\pi {\epsilon }_o{\epsilon }_r{R}_1{R}_2}{(R_2-R_1)}=55.6pF$

per cui la carica sul condensatore collegato sarà data da:

$Q_0=C{V}_0=\frac{4\pi {\epsilon }_o{\epsilon }_r{R}_1{R}_2}{(R_2-R_1)}{V}_0=1.1nC$

b)

Le densità superficiali di carica di polarizzazione sul dielettrico in prossimità delle armature sono date da: ${\sigma }_P=\overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{n}$ e quindi

$\sigma (R_1)=-{\epsilon }_o({\epsilon }_r-1)\frac{Q_0}{4\pi {\epsilon }_o{\epsilon }_r}(\frac{1}{R_1}{)}^2=-5.3nC{m}^{-2}$

$\sigma (R_2)={\epsilon }_o({\epsilon }_r-1)\frac{Q_0}{4\pi {\epsilon }_o{\epsilon }_r}(\frac{1}{R_2}{)}^2=1.3nC{m}^{-2}$

c)

Una volta caricato e staccato dal generatore, il capacitore mantiene la carica iniziale $Q_0$, ma, dopo la rimozione del dielettrico, la sua capacità diventa:

$C^{\prime }=\frac{4\pi {ϵ}_0{R}_1{R}_2}{(R_2-R_1)}=\frac{C}{{ϵ}_r}=22.2pF$

per cui la nuova differenza di potenziale ai suoi capi è:

$V^{\prime }=\frac{Q_0}{C^{\prime }}={ϵ}_r{V}_0=50V$

11. Tre gusci

Il vettore spostamento elettrico non dipende dalla presenza o meno del dielettrico:

$\underset{Sferar\ge R_1}{\int }\overrightarrow{D}\cdot \overrightarrow{dS}=Q$

$D_r=\frac{Q}{4\pi r^2}r\ge R_1$

Quindi:

$E_{r1}=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_o{\epsilon }_1{r}^2}{R}_1\le r\le R_2$

$P_{r1}={\epsilon }_o({\epsilon }_1-1)E_{r1}=\frac{Q({\epsilon }_1-1)}{4\pi {\epsilon }_1{r}^2}{R}_1\le r\le R_2$

Quindi nella interfaccia tra $R_1$ e il dielettrico 1:

${\sigma }_a={\overrightarrow{P}}_1\cdot \hat{n}=-\frac{Q({\epsilon }_1-1)}{4\pi {\epsilon }_1{R}_1^2}=-6.4\cdot 10^{-4}C/m^2$

All'interno del dielettrico 1 a distanza $R_2$

${\sigma }_b^{+}={\overrightarrow{P}}_1\cdot \hat{n}=\frac{Q({\epsilon }_1-1)}{4\pi {\epsilon }_1{R}_2^2}$

Mentre nel dielettrico 2:

$E_{r2}=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_o{\epsilon }_2{r}^2}{R}_2\le r\le R_3$

$P_{r2}={\epsilon }_o({\epsilon }_2-1)E_{r2}=\frac{Q({\epsilon }_2-1)}{4\pi {\epsilon }_2{r}^2}{R}_2\le r\le R_2$

All'interno del dielettrico 2 a distanza $R_2$

${\sigma }_b^{-}={\overrightarrow{P}}_2\cdot \hat{n}=-\frac{Q({\epsilon }_2-1)}{4\pi {\epsilon }_2{R}_2^2}$

Quindi nell'interfaccia tra 1 e 2:

${\sigma }_b={\sigma }_b^{+}+{\sigma }_b^{-}=\frac{Q}{4\pi R_2^2}(\frac{{\epsilon }_1-1}{{\epsilon }_1}-\frac{{\epsilon }_2-1}{{\epsilon }_2})=-3.7\cdot 10^{-5}C/m^2$

Sulla faccia più esterna vi è solo la componente uscente dal dielettrico 2:

${\sigma }_c={\overrightarrow{P}}_2\cdot \hat{n}=\frac{Q({\epsilon }_2-1)}{4\pi {\epsilon }_2{R}_3^2}=8.7\cdot 10^{-5}C/m^2$

12. Due strati in serie

Il modulo del vettore spostamento elettrico vale:

$|D|=\frac{Q}{S}=10^{-5}C/m^2$

Quindi di conseguenza il modulo del vettore di Polarizzazione nei due dielettrici vale:

$|P_1|=\frac{{\epsilon }_{r1}-1}{{\epsilon }_{r1}}=-0.66\cdot 10^{-5}C/m^2$

$|P_2|=\frac{{\epsilon }_{r2}-1}{{\epsilon }_{r2}}=0.89\cdot 10^{-5}C/m^2$

Quindi nell'interfaccia I armatura positiva-dielettrico 1 essendo ${\overrightarrow{P}}_1$, diretto anti parallelamente alla superficie del dielettrico, la densità di carica superficiale di polarizzazione vale:

${\sigma }_{M1}=-|P_1|=-0.66\cdot 10^{-5}C/m^2$

Mentre nell'interfaccia dielettrico 2 - II armatura negativa essendo ${\overrightarrow{P}}_2$ diretto parallelamente alla superficie del dielettrico, la densità di carica superficiale di polarizzazione vale:

${\sigma }_{2M}=|P_2|=0.89\cdot 10^{-5}C/m^2$

Nella interfaccia tra i due mezzi bisogna considerare che ${\overrightarrow{P}}_1$ è diretto parallelamente alla superficie, mentre ${\overrightarrow{P}}_2$ è diretto anti parallelamente. Per cui la densità di carica superficiale di polarizzazione vale:

${\sigma }_{12}=|P_1|-|P_2|=-0.22\cdot 10^{-5}C/m^2$

b)

Il campo elettrico nel primo dielettrico vale:

$|E_1|=\frac{|D|}{{\epsilon }_o{\epsilon }_{r1}}=3.76\cdot 10^{5}V/m$

Nel secondo dielettrico:

$|E_2|=\frac{|D|}{{\epsilon }_o{\epsilon }_{r2}}=1.26\cdot 10^{5}V/m$

Quindi la d.d.p. tra le armature vale:

$\mathrm{\Delta }V=|E_1|d_1+|E_2|d_2=176V$

c)

La capacità è eguale a:

$C=\frac{Q}{\mathrm{\Delta }V}={\epsilon }_o\frac{S({\epsilon }_{r1}+{\epsilon }_{r2})}{d_2{\epsilon }_{r1}+d_1{\epsilon }_{r2}}=5.7nF$

In realtà si poteva anche calcolare considerando che è come se fossero due condensatori in serie uno di capacità:

$C_1={\epsilon }_o{\epsilon }_{r1}\frac{S}{d_1}$

e l'altro:

$C_2={\epsilon }_o{\epsilon }_{r21}\frac{S}{d_2}$

che in serie sono equivalenti a:

$C_e=\frac{C_1{C}_2}{C1+C_2}={\epsilon }_o\frac{S({\epsilon }_{r1}+{\epsilon }_{r2})}{d_2{\epsilon }_{r1}+d_1{\epsilon }_{r2}}=5.7nF$

13. Due strati in parallelo

a)

Il campo elettrico deve essere lo stesso in tutti e due i dielettrici e vale in modolo $E$ . Mentre lo spostamento elettrico è diverso nei due dielettrici, in modulo:

$D_1={\epsilon }_o{\epsilon }_{r1}E$

$D_2={\epsilon }_o{\epsilon }_{r2}E$

La carica totale sulla armatura positiva deve valere $Q$ e quindi:

$Q=D_{1}S/2+D_{2}S/2={\epsilon }_o({\epsilon }_{r1}+{\epsilon }_{r2})S/2E$

Quindi il modulo del campo elettrico vale:

$E=\frac{2Q}{S{\epsilon }_o({\epsilon }_{r1}+{\epsilon }_{r2})}=1.88\cdot 10^{5}V/m$

b)

La differenza di potenziale tra le armature è semplicemente:

$\mathrm{\Delta }V=Ed=188V$

c)

Il modulo del vettore di Polarizzazione nei due dielettrici vale:

$|P_1|={\epsilon }_o({\epsilon }_{r1}-1)E=3.3\cdot 10^{-6}C/m^2$

$|P_2|={\epsilon }_o({\epsilon }_{r2}-1)E=1.33\cdot 10^{-5}C/m^2$

Quindi nell'interfaccia I armatura positiva-dielettrico 1 essendo ${\overrightarrow{P}}_1$, diretto anti parallelamente alla superficie del dielettrico, la densità di carica superficiale di polarizzazione vale:

${\sigma }_{M1}=-|P_1|=-3.3\cdot 10^{-6}C/m^2$

Come anche sull'altra interfaccia:

${\sigma }_{M2}=-|P_2|=-1.33\cdot 10^{-5}C/m^2$

d)

La capacità è eguale a:

$C=\frac{Q}{\mathrm{\Delta }V}={\epsilon }_o({\epsilon }_{r1}+{\epsilon }_{r2})\frac{S}{2d}=5.3nF$

In realtà si poteva anche calcolare considerando che è come se fossero due condensatori in parallelo uno di capacità:

$C_1={\epsilon }_o{\epsilon }_{r1}\frac{S}{2d}$

e l'altro:

$C_2={\epsilon }_o{\epsilon }_{r21}\frac{S}{2d}$

che in parallelo sono equivalenti a:

$C_e=C_1+C_2={\epsilon }_o({\epsilon }_{r1}+{\epsilon }_{r2})\frac{S}{2d}=5.3nF$

14. Un dielettrico non uniforme

Lo spostamento elettrico è pari a:

$\overrightarrow{D}=\frac{Q}{S}\hat{n}$

avendo indicato con $Q$ la carica sull'armatura positiva e con $\hat{n}$ la normale alla stessa armatura.

Quindi nel dielettrico:

$\overrightarrow{P}=\frac{{\epsilon }_r(x)-1}{{\epsilon }_r(x)}\overrightarrow{D}=\frac{ax}{ax+d}\frac{Q}{S}\hat{n}$

Quindi sulla interfaccia armatura positiva la carica superficiale di polarizzazione è nulla. Mentre sulla armatura negativa essa vale:

$Q_s=\frac{a}{a+1}Q$

La densità volumetrica di carica di polarizzazione vale:

${\rho }_p=-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{P}=-\frac{\partial P_x}{\partial x}=-\frac{a(ax+d)-a^{2}x}{(ax+d{)}^2}=-\frac{ad}{(ax+d{)}^2}\frac{Q}{S}$

Quindi la carica totale volumetrica di polarizzazione vale:

$Q_v=\underset{0}{\overset{d}{\int }}{\rho }_{p}Sdx=-adQ\underset{0}{\overset{d}{\int }}\frac{dx}{(ax+d{)}^2}$

Facendo la sostituzione di variabile: $ax+b=y$ si ha:

$Q_v=-\frac{adQ}{a}\underset{d}{\overset{d+ad}{\int }}\frac{dy}{y^2}=-Qd{[-\frac{1}{y}]}_d^{d+ad}=Qd{\left[\frac{1}{y}\right]}_d^{d+ad}=Q[1/(1+a)-1]=-\frac{a}{a+1}Q$

Che è eguale e contraria alla carica superficiale di polarizzazione.

15. Sfera carica dielettrica

a)

La densità di carica libera volumetrica è pari a :

${\rho }_l=\frac{3Q}{4\pi R_1^3}$

Applicando il teorema di Gauss generalizzato per i dielettrici all'interno della zona dove è la carica libera:

$D_{r}4\pi r^2=\frac{4}{3}\pi r^3{\rho }_{l}0\le r\le R_1$

da cui:

$D_r=\frac{{\rho }_{l}r}{3}=\frac{Qr}{4\pi R_1^3}0\le r\le R_1$

Mentre all'esterno della zona carica:

$D_r=\frac{Q}{4\pi r^2}{R}_1\le r\le \mathrm{\infty }$

Quindi possiamo distinguere tre zone per il campo elettrico:

$E_r=\frac{Qr}{4\pi {\epsilon }_o{\epsilon }_r{R}^3}0\le r\le R_1$

$E_r=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_o{\epsilon }_r{r}^2}{R}_1\le r\le R_2$

$E_r=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_o{r}^2}{R}_2\le r\le \mathrm{\infty }$

b)

Il vettore di polarizzazione è presente solo nel dielettrico e vale nella parte centrale:

$P_r=\frac{Qr({\epsilon }_r-1)}{4\pi {\epsilon }_r{R}_1^3}0\le r\le R_1$

e in quella più esterna:

$P_r=\frac{Q({\epsilon }_r-1)}{4\pi {\epsilon }_r{r}^2}{R}_1\le r\le R_2$

Notiamo che in $R_1$ i due valori coincidono (anche se la funzione ha una discontinuità). Quindi non vi è carica superficiale di polarizzazione su tale superficie. Mentre quella in $R_2$ vale:

${\sigma }_2=\overrightarrow{P}\cdot \hat{n}=\frac{Q({\epsilon }_r-1)}{4\pi {\epsilon }_r{R}_2^2}$

c)

Nella regione non carica del dielettrico ($R_1\le r\le R_2$) la divergenza di $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}P$ è nulla in quanto:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \left(\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\right)=0$

e quindi non vi è carica volumetrica.

Mentre nella regione interna la carica di polarizzazione del dielettrico ($0\le r\le R_1$) vale:

${\rho }_p=-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{P}=-\frac{3Q({\epsilon }_r-1)}{4\pi {\epsilon }_r{R}_1^3}$