Esercizi di fisica con soluzioni/Magnetismo della materia

Esercizi

1. Un semplice anello

Un anello di materiale ferromagnetico sottile ha un diametro di $d=3cm$, ed una sezione di $S=1m{m}^2$. E' fatto di ferro dolce, quindi con un ciclo di isteresi stretto, con buona approssimazione la permeabilità magnetica relativa è costante e pari a ${\mu }_r=1000$. Se attraverso le $N=100$ spire avvolte attorno all'anello scorre una corrente di $I=1mA$. Determinare a) la riluttanza; b) il campo di induzione magnetica all'interno del materiale; c) il momento magnetico totale dell'anello.

2. Un anello con un taglio

Un anello di materiale ferromagnetico sottile ha un perimetro di $\ell =4cm$, ed una sezione di $S=1m{m}^2$. Assumendo la permeabilità magnetica relativa costante pari a ${\mu }_r=1500$. a) Quale deve essere il taglio da praticare per avere una riluttanza di $ℝ=10^8{H}^{-1}$. b) Quale è la corrente da iniettare nelle $N=50$ spire avvolte attorno all'anello per avere un campo di induzione magnetica di $B_o=0.1T$ nel taglio. c) Se una volta annullata la corrente di magnetizzazione rimane l'anello magnetizzato con un campo di induzione residuo di $B_r=B_o/2$ nel taglio: determinare $H$ nel taglio e nel materiale ferro magnetico.

3. Un magnete permanente

Un magnete permanente è fatto da un toro di lunghezza $\ell =30cm$ ed un traferro in aria di $d=15mm$. Il campo di induzione magnetica nel traferro vale $|B|=0.4T$. Determinare il campo magnetico nel magnete e la sua magnetizzazione

4. Magnete con curva di magnetizzazione

La relazione tra $B$ e $H$ nel secondo quadrante per un magnete permanente è approssimata con la legge:

$B=aH+b$

Con $a=3\cdot 10^{-5}Tm/A$ e $b=0.6T$. Il magnete ha una forma toroidale con lunghezza $\ell =25cm$, determinare il campo B in funzione della dimensione $d$ del traferro discutendo i casi limite e in particolare per $d=4cm$.

5. Un elettromagnete

Un elettromagnete è costituito da un materiale il cui ciclo di isteresi per quanto riguarda il caso studiato è descritto dalla legge:

$B=B_s(1-e^{-H/H_s})H>0$

con $B_s=1.1T$ e $H_s=2000A/m$. La lunghezza della parte ferromagnetica è $L=30cm$, mentre la spaziatura di ciascuno due traferri è di $G=2mm$ e la bobina di alimentazione è fatta di $N=40$ spire. Determinare: a) la permeabilità magnetica per piccoli campi magnetici; b) il valore della corrente necessaria generare nel traferro un campo di $B=0.6T$.

Trascurare il flusso disperso (che viene mostrato in maniera esagerata nella figura).

6. Un circuito magnetico

Il circuito magnetico mostrato a fianco è costituito da sette rami a forma di parallelepipedo di lunghezza $\ell =30cm$ e sezione costante $S=1m{m}^2$. Il materiale di cui è fatto il circuito magnetico è ferromagnetico con una permeabilità ${\mu }_r=1000$. La bobina che alimenta il circuito è fatta da $N=20$ spire percorse da una corrente $I=5A$.

Determinare a) la riluttanza totale del circuito magnetico vista dalla bobina di alimentazione; b) $B,H,M$ nel primo, secondo e terzo ramo parallelo verticale.

7. Anello toroidale

Un anello toroidale ferromagnetico ha sezione costante $S=4m{m}^2$ e lunghezza media $\ell =25cm$ (le dimensioni trasversali lineari sono trascurabili rispetto a $\ell$). La permeabilità magnetica relativa dell'anello è ${\mu }_r=800$ (supposta costante). Sul bordo sono avvolte $N=500$ spire. Nelle spire viene fatta scorrere una corrente $I_0=200mA$.

Determinare a) l'induttanza dell'anello; b) il valore del campo di induzione magnetica all'interno dell'anello; c) la corrente affinché nel traferro il campo di induzione magnetica rimanga uguale dopo aver asportato un fatta di materiale di spessore $d=1.5mm$; d) l'energia immagazzinata nel campo magnetico con la corrente calcolata nel punto c).

Soluzioni

1. Un semplice anello

a)

La lunghezza del percorso magnetico vale $\ell =\pi d=0.094m$. Quindi la riluttanza vale:

$ℝ=\frac{\ell }{{\mu }_o{\mu }_{r}S}=74\cdot 10^6{H}^{-1}$

b)

Essendo un anello sottile l'intensità del campo magnetico è semplicemente pari a:

$|H|=\frac{NI}{\ell }=1.07A/m$

Quindi il campo di induzione magnetica vale:

$|B|={\mu }_o{\mu }_r|H|=1.3mT$

c)

Il vettore magnetizzazione vale:

$|M|=({\mu }_r-1)|H|=1070A/m$

Quindi il momento magnetico totale vale:

$|m|=|M|\ell S=1\cdot 10^{-4}A{m}^2$

2. Un anello con un taglio

a)

Chiamata ${ℝ}_o$ la riluttanza dell'anello non tagliato vale:

${ℝ}_o=\frac{\ell }{{\mu }_o{\mu }_{r}S}=21\cdot 10^6{H}^{-1}$

Mentre la riluttanza totale vale:

$ℝ={ℝ}_o+{ℝ}_t$

Dove ${ℝ}_t$ è la riluttanza della zona con taglio, che definendo $d$ la dimensione del taglio, è pari a:

${ℝ}_t=\frac{d}{{\mu }_{o}S}$

Quindi:

$d={\mu }_{o}S(ℝ-{ℝ}_o)=10\mu m$

b)

Essendo:

$NI=ℝ\varphi =ℝBS$

segue che:

$I=\frac{ℝBS}{N}=0.2A$

c)

Il campo H_t e B_t=B_r nel taglio essendoci il vuoto sono paralleli e legati dalla relazione:

$H_t=\frac{B_r}{{\mu }_o}=\frac{B_o}{2{\mu }_o}=39789A/m$

Dovendo essere:

$H_{t}d+H_m\ell =0$

$H_m=-H_t\frac{d}{\ell }=-98A/m$

cioè il campo magnetico all'interno dell'anello è in direzione opposta a quello esterno. Notiamo come invece $M$ sia:

$M=\frac{B_o}{2{\mu }_o}-H_m=39887A/m$

3. Un magnete permanente

Il campo magnetico nel traferro vale:

$H_t=\frac{B}{{\mu }_0}=3.2\cdot 10^{5}A/m$

Il campo magnetico nel magnete si ricava dal fatto che:

$H_{t}d+H_m\ell =0$

Quindi $H_m$ è in direzione opposta a $B$ all'interno del magnete:

$H_m=-H_t\frac{d}{\ell }=-1.6\cdot 10^{4}A/m$

Il vettore magnetizzazione vale:

$M=\frac{B}{{\mu }_0}-H_m=3.3\cdot 10^{5}A/m$

4. Magnete con curva di magnetizzazione

Il campo magnetico nel magnete si ricava dal fatto che:

$H_{t}d+H_m\ell =0$

Quindi $H_m$ è in direzione opposta a $B$ all'interno del magnete:

$H_m=-H_t\frac{d}{\ell }=-\frac{Bd}{{\mu }_0\ell }$

Quindi dovendo essere:

$B=-\frac{Bad}{{\mu }_0\ell }+b$

Si ha che:

$B=\frac{b}{1+ad/({\mu }_0\ell )}$

cioè per $ad/({\mu }_0\ell )\ll 1$ $B\approx b$, mentre se $ad/({\mu }_0\ell )\gg 1$ si ha che:

$B\approx \frac{{\mu }_0\ell b}{ad}$

cioè inversamente proporzionale alla dimensione del traferro. Nel caso specifico essendo:

$\frac{ad}{{\mu }_0\ell }=3.8$

$B=0.12T$

5. Un elettromagnete

a)

Se $H\ll H_s$ posso approssimare l'esponenziale con:

$e^{-H/H_s}\approx 1-\frac{H}{H_s}$

Quindi:

$B\approx \frac{B_{s}H}{H_s}={\mu }_o{\mu }_{r}H$

Quindi:

${\mu }_r=\frac{B_s}{{\mu }_o{H}_s}=438$

b)

In un elettromagnete se il flusso disperso è trascurabile il campo di induzione magnetica nel traferro è eguale a quello nel nucleo. Il campo magnetico assume due valori diversi nel traferro:

$H_T=\frac{B_o}{{\mu }_o}=4.8\cdot 10^{5}A/m$

Mentre all'interno del ferromagnete bisogna tenere conto della relazione che lega B ad H occorre cioè trovare $H_F$ tale che:

$B_o=B_s(1-e^{-H_F/H_s})$

La cui soluzione è:

$H_F=H_s\log (1-B_o/B_s)=1570A/m$

Dovendo essere per il teorema della circuitazione:

$NI=H_{F}L+H_{o}2G$

Segue che:

$I=\frac{H_{F}L}{N}+\frac{B_{o}2G}{N{\mu }_o}=60A$

6. Un circuito magnetico

La riluttanza di un solo ramo:

${ℝ}_o=\frac{\ell }{{\mu }_o{\mu }_{r}S}=2.4\cdot 10^8{H}^{-1}$

La riluttanza totale è dato dalla serie di ${ℝ}_{m1}=3R_o$ con il parallelo di ${ℝ}_{m2}=R_o$ e ${ℝ}_{m3}=3R_o$ cioè:

${ℝ}_T={ℝ}_{m1}+\frac{{ℝ}_{m2}{ℝ}_{m3}}{{ℝ}_{m2}+{ℝ}_{m3}}=3{ℝ}_o+\frac{{ℝ}_{o}3{ℝ}_o}{{ℝ}_o+3{ℝ}_o}=\frac{15}{4}{ℝ}_o=9\cdot 10^8{H}^{-1}$

Quindi :

$\varphi =\frac{NI}{{ℝ}_T}=1.11\cdot 10^{-7}T{m}^2$

quindi:

$B_1=\frac{{\varphi }_1}{S}=0.11T{H}_1=\frac{B_1}{{\mu }_o{\mu }_r}=87A/m{M}_1=({\mu }_r-1)H_1=8691A/m$

Inoltre essendo:

$NI=3\ell H_1+\ell H_2$

$NI=3\ell H_1+3\ell H_3$

Segue che:

$H_2=3H_3$

e anche:

${\varphi }_2=3{\varphi }_3$

Quindi dovendo essere:

$\varphi ={\varphi }_2+{\varphi }_3=4{\varphi }_3$

Segue che:

$B_3=\frac{B_1}{4}=0.0275T{H}_3=\frac{H_1}{4}=22A/m{M}_3=\frac{M_1}{4}=2172A/m$

$B_2=3\frac{B_1}{4}=0.0825T{H}_2=3\frac{H_1}{4}=65A/m{M}_2=3\frac{M_1}{4}=6520A/m$

7. Anello toroidale

a)

La riluttanza dell'anello è pari a:

${ℝ}_0=\frac{\ell }{{\mu }_0{\mu }_{r}S}=6.2\cdot 10^7{H}^{-1}$

Quindi:

$L_0=\frac{N^2}{{ℝ}_0}=4mH$

b)

Il valore del campo di induzione magnetica all'interno dell'anello:

$B_0=\frac{N{I}_0}{{ℝ}_{0}S}=0.4T$

c)

Il taglio fa divenire la riluttanza di:

${ℝ}_T={ℝ}_0+\frac{d}{{\mu }_0\cdot S}=3.6\cdot 10^8{H}^{-1}$

Per cui per avere lo stesso campo $B_0$ occorre che:

$I=\frac{B_0{ℝ}_{T}S}{N}=1.16A$

d)

L'energia magnetica si può calcolare mediante o l'energia immagazzinata nella induttanza:

$L_1=\frac{N^2}{{ℝ}_T}=0.7mH$

$E_m=\frac{1}{2}{L}_1{I}^2=0.47mJ$

si poteva anche calcolare ricavando $H$ nel traferro:

$H_T=\frac{B_0}{{\mu }_0}=3.2\cdot 10^{5}A/m$

e nel materiale ferromagnetico:

$H_F=\frac{B_0}{{\mu }_0{\mu }_r}=400A/m$

Quindi l'energia magnetica nel materiale ferromagnetico:

$E_F=\frac{1}{2}{B}_0{H}_F\ell S=0.080mJ$

Mentre nel traferro:

$E_T=\frac{1}{2}{B}_0{H}_{T}dS=0.386mJ$

In totale:

$E_{tot}=E_F+E_T=0.47mJ$