Teoria dei segnali2/Serie e trasformata

Base canonica

Funzione porta

${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\Delta }t}\left(t\right)$ è la funzione porta unitaria di supporto $\mathrm{\Delta }t$ centrato nell'origine. Un segnale $x\left(t\right)$ può essere approssimato con un segnale $x^{\prime }\left(t\right)$ costante a tratti ottenuto da una combinazione lineare di infinite porte ortogonali tra di loro (cioè con supporto disgiunto):

$x\left(t\right)\approx x^{\prime }\left(t\right)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x\left(n\mathrm{\Delta }t\right){\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\Delta }t}(t-n\mathrm{\Delta }t)$

Se $\mathrm{\Delta }t\to 0$ l'approssimazione diventa un'identità:

$x\left(t\right)=x^{\prime }\left(t\right)=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x\left(n\mathrm{\Delta }t\right){\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\Delta }t}(t-n\mathrm{\Delta }t)$

Seno cardinale

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(t\right)\triangleq \frac{\sin \left(\pi t\right)}{\pi t}$

Delta di Dirac

Definizione

$x\left(0\right)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}x\left(\tau \right)\delta \left(\tau \right)d\tau$

La delta di Dirac si può costruire come limite di varie funzioni, tra cui:

$\delta \left(t\right)=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\Delta }t}\left(t\right)=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(\frac{t}{\pi \mathrm{\Delta }t}\right)$

dove:

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(\frac{t}{\pi \mathrm{\Delta }t}\right)=\frac{\sin \frac{t}{\mathrm{\Delta }t}}{\frac{t}{\mathrm{\Delta }t}}$

Proprietà

• La delta di Dirac ha area unitaria:

  $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\delta \left(\tau \right)d\tau =1$

• Traslare la delta di Dirac significa trovare tutti i campioni che assume la funzione $x\left(t\right)$:

  $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}x\left(\tau \right)\delta (t-\tau )d\tau =x\left(t\right)$

• La delta di Dirac ha energia infinita:

  $E\left(\delta \right)\to +\mathrm{\infty }$

• La radice della delta di Dirac:

  $\sqrt{\delta \left(t\right)}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{\mathrm{\Delta }t}}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\Delta }t}\left(t\right)$

ha energia unitaria:

$E\left(\sqrt{\delta }\right)=1$

Definizione della base canonica

L'insieme infinito e non numerabile di delta $\delta (t-\tau )$ può essere quindi visto come una base canonica non normalizzata per l'insieme dei segnali, cioè un segnale può essere rappresentato come l'insieme dei suoi campioni:

$x\left(t\right)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}x\left(\tau \right)\delta (t-\tau )d\tau =\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x\left(n\mathrm{\Delta }t\right)\mathrm{\Delta }t\cdot \frac{1}{\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\Delta }t}(t-n\mathrm{\Delta }t)$

dove gli elementi della base (infiniti e non numerabili) sono:

$\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\Delta }t}(t-n\mathrm{\Delta }t)$

e i coefficienti (infiniti e non numerabili) sono:

$\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }x\left(n\mathrm{\Delta }t\right)\mathrm{\Delta }t$

È però una base ortogonale non normalizzata perché ha energia infinita. Le radici della delta invece formano una base ortonormale:

$x\left(t\right)=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x\left(n\mathrm{\Delta }t\right)\sqrt{\mathrm{\Delta }t}\cdot \frac{1}{\sqrt{\mathrm{\Delta }t}}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\Delta }t}(t-n\mathrm{\Delta }t)$

Energia

$E\left(x\right)=\int x^2\left(t\right)dt=\underset{\mathrm{\Delta }\to 0}{\lim }\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{x}^2\left(n\mathrm{\Delta }\tau \right)\mathrm{\Delta }\tau$

Prodotto scalare

$⟨x,y⟩=\int x\left(t\right)y^{*}\left(t\right)dt=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x\left(n\mathrm{\Delta }\tau \right)y^{*}\left(n\mathrm{\Delta }\tau \right)\mathrm{\Delta }\tau$

Tuttavia non conviene usare questa base perché non introduce alcuna semplificazione.

Base alternativa sinusoidale

Serie di Fourier

Un segnale è a supporto finito se non è nullo solo nell'intervallo $[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$. La base canonica per questa classe di segnali è l'insieme dei campioni ristretto al supporto:

$x\left(t\right)=\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\int }}x\left(\tau \right)\delta (t-\tau )d\tau$

Esiste un'altra base ortonormale completa per tutti i segnali complessi ad energia finita e supporto finito, che è un insieme infinito ma, a differenza della base canonica, numerabile:

$x\left(t\right)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{c}_n{w}_n\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}⟨x\left(t\right),w_n\left(t\right)⟩e^{j\frac{2\pi }{T}nt}$

dove gli elementi della base $w_n\left(t\right)$ (infiniti e numerabili) sono:

$w_n\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{T}}{e}^{j\frac{2\pi }{T}nt},-\frac{T}{2}\le t\le \frac{T}{2}$

e i coefficienti $c_n$ (complessi, infiniti e numerabili) sono:

$c_n=⟨x\left(t\right),w_n\left(t\right)⟩=\frac{1}{\sqrt{T}}\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\int }}x\left(\theta \right)e^{-j\frac{2\pi }{T}n\theta }d\theta$

Siccome la base è completa vale l'uguaglianza di Parseval:

$E\left(x\right)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\left|c_n\right|}^2=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{|⟨x\left(t\right),w_n\left(t\right)⟩|}^2$

Il segnale $x\left(t\right)$ è in corrispondenza biunivoca con una sequenza infinita di coefficienti, e si può vedere come un vettore a infinite dimensioni:

$x\left(t\right)\iff {\left(c_n\right)}_{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}$

La base ortonormale introdotta precedentemente è la normalizzazione della seguente base ortogonale:

$x\left(t\right)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\mu }_n{w_n}^{\prime }\left(t\right)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}⟨x\left(t\right),{w_n}^{\prime }\left(t\right)⟩e^{j\frac{2\pi }{T}nt}$

dove gli elementi della base ${w_n}^{\prime }\left(t\right)$ sono:

${w_n}^{\prime }\left(t\right)=\sqrt{T}{w}_n\left(t\right)=e^{j\frac{2\pi }{T}nt},-\frac{T}{2}\le t\le \frac{T}{2}$

e i coefficienti ${\mu }_n$ sono:

${\mu }_n=\frac{1}{\sqrt{T}}{c}_n=\frac{1}{T}\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\int }}x\left(\theta \right)e^{-j\frac{2\pi }{T}n\theta }d\theta$

Usando questa base l'energia vale:

$E\left(x\right)=T\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\left|{\mu }_n\right|}^2$

Trasformata di Fourier

Segnali a supporto $T$ infinito si approssimano con la trasformata di Fourier:

$x\left(t\right)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}X\left(f\right)e^{j2\pi ft}df$

• $X\left(f\right)=ℱ\left\{x\left(t\right)\right\}\triangleq \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}x\left(\theta \right)e^{-j2\pi f\theta }d\theta$
• $x\left(t\right)={ℱ}^{-1}\left\{X\left(f\right)\right\}\triangleq \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}X\left(f\right)e^{j2\pi ft}df$

Condizione di esistenza

Nel dominio delle funzioni, il segnale $x\left(t\right)$ deve essere modulo integrabile:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\left|x\left(t\right)\right|dt\in ℝ$

Alcune trasformate fondamentali

Delta di Dirac

$ℱ\left\{\delta \left(t\right)\right\}=1\Rightarrow \delta \left(t\right)={ℱ}^{-1}\left\{1\right\}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{j2\pi ft}df$

Funzione segno

$ℱ\{\mathrm{sgn}t\}=\frac{1}{j\pi f}$

Funzione gradino

$U\left(f\right)=ℱ\left\{u\left(t\right)\right\}=\frac{1}{2}\delta \left(f\right)+\frac{1}{j2\pi f}$