Teoria dei segnali2/Proprietà trasformata

Convoluzione

L'operatore prodotto di convoluzione è definito in questo modo:

$z\left(t\right)=x\left(t\right)*y\left(t\right)\triangleq \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}x\left(\tau \right)y(t-\tau )d\tau$

La convoluzione tra due segnali $x\left(t\right)$, a supporto finito $[-a,+a]$ e $y\left(t\right)$, a supporto finito $[-b,+b]$:

• ha un supporto di ampiezza pari alla somma delle ampiezze: $[-(b+a),+(b+a)]$;
• riduce le discontinuità, e in particolare è di classe $C^{n+1}$ se le due funzioni sono di classe $C^n$.

Convoluzione di porte

La convoluzione $z\left(t\right)$ tra la porta $x\left(\tau \right)={\mathrm{\Pi }}_{2a}\left(\tau \right)$ e la porta $y\left(\tau \right)={\mathrm{\Pi }}_{2b}\left(\tau \right)$ ha supporto $2(b+a)$ ed è una funzione continua (classe $C^0$):

Se $a=b$ la convoluzione $z\left(t\right)$ è la funzione $2a\mathrm{tri}\left(\frac{t}{2a}\right)$:

Effettuando infinite convoluzioni si ottiene una gaussiana.

Al contrario, nel dominio delle frequenze il supporto è ristretto all'intervallo di frequenze in cui entrambe le trasformate $X\left(f\right)$ e $Y\left(f\right)$ non sono nulle:

Proprietà

Commutativa

$x\left(t\right)*y\left(t\right)=y\left(t\right)*x\left(t\right)$

Associativa

$x\left(t\right)*[y\left(t\right)*w\left(t\right)]=[x\left(t\right)*y\left(t\right)]*w\left(t\right)$

Distributiva

$x\left(t\right)*[y\left(t\right)+w\left(t\right)]=x\left(t\right)*y\left(t\right)+x\left(t\right)*w\left(t\right)$

Proprietà della delta di Dirac

Campionamento

La moltiplicazione di una funzione $x\left(t\right)$ per una funzione delta $\delta (t-\tau )$, traslata di $\tau$, restituisce il campione di $x\left(t\right)$ in $t=\tau$:

$x\left(t\right)\delta (t-\tau )=x\left(\tau \right)\delta (t-\tau )$

e pertanto si può introdurre una semplificazione sostituendo $x\left(t\right)$ una qualsiasi funzione $y\left(t\right)$ che assuma lo stesso valore in $t=\tau$, in particolare la funzione costante $y\left(t\right)=x\left(\tau \right)$.

Traslazione

La convoluzione di una funzione $x\left(t\right)$ con una funzione delta $\delta (t-\tau )$, traslata di $\tau$, restituisce il segnale traslato:

$x\left(t\right)*\delta (t-\tau )=x(t-\tau )$

Proprietà della trasformata di Fourier

Linearità

La trasformata di Fourier e la sua inversa sono operatori lineari:

$ℱ\{a_1{x}_1\left(t\right)+a_2{x}_2\left(t\right)\}=a_1ℱ\left\{x_1\left(t\right)\right\}+a_2ℱ\left\{x_2\left(t\right)\right\}$

Anticipo o ritardo

La trasformata di Fourier del segnale $x\left(t\right)$ ritardato o anticipato di una fase $\theta$ vale:

$ℱ\left\{x(t-\theta )\right\}=ℱ\left\{x\left(t\right)\right\}{e}^{-j2\pi \theta f}$

Corrisponde graficamente a una rotazione della fase ($\arg X\left(f\right)-2\pi \theta f$), mentre il modulo $\left|X\left(f\right)\right|$ non varia.

Modulazione e traslazione

La modulazione del segnale $x\left(t\right)$, di una frequenza $f_0$, corrisponde alla traslazione della sua trasformata di Fourier:

$ℱ\left\{x\left(t\right)e^{j2\pi f_{0}t}\right\}=X(f-f_0)$

e si ottiene dalla composizione di due trasformate del segnale una simmetrica all'altra rispetto all'asse verticale:

$ℱ\{x\left(t\right)\cos \left(2\pi f_{0}t\right)\}=\frac{1}{2}[X(f-f_0)+X(f+f_0)]$

$ℱ\{x\left(t\right)\sin \left(2\pi f_{0}t\right)\}=\frac{1}{2j}[X(f-f_0)-X(f+f_0)]$

Scalamento

Lo scalamento corrisponde a una dilatazione o un restrigimento sull'asse dei tempi, e a rispettivamente un restringimento o una dilatazione sull'asse delle frequenze:

$ℱ\left\{x\left(Kt\right)\right\}=\frac{1}{\left|K\right|}X\left(\frac{f}{K}\right)$

Relazioni di parità

Se il segnale $x\left(t\right)$ è reale, allora la sua trasformata di Fourier $X\left(f\right)$ ha le seguenti relazioni di parità:

• la parte reale $\mathrm{\Re }\left\{X\left(f\right)\right\}$ è pari:

  $\mathrm{\Re }\left\{X(-f)\right\}=\mathrm{\Re }\left\{X\left(f\right)\right\}$

• la parte immaginaria $\mathrm{\Im }\left\{X\left(f\right)\right\}$ è dispari:

  $\mathrm{\Im }\left\{X(-f)\right\}=-\mathrm{\Im }\left\{X\left(f\right)\right\}$

• il modulo $\left|X\left(f\right)\right|$ è pari:

  ${\left|X\left(f\right)\right|}^2={\mathrm{\Re }}^2\left\{X\left(f\right)\right\}+{\mathrm{\Im }}^2\left\{X\left(f\right)\right\}=\text{pari}\times \text{pari}+\text{dispari}\times \text{dispari}=\text{pari}$

• la fase $\arg X\left(f\right)$ è dispari:

  $\arg X\left(f\right)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\mathrm{\Im }\left\{X\left(f\right)\right\}}{\mathrm{\Re }\left\{X\left(f\right)\right\}}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\text{dispari}\right)=\text{dispari}$

Se il segnale $x\left(t\right)$ è reale vale inoltre la simmetria hermitiana (o simmetria coniugata):

$X^{*}(-f)=X\left(f\right)$

Convoluzione e prodotto

La trasformata di Fourier della convoluzione è pari al prodotto delle singole trasformate:

$Z\left(f\right)=ℱ\{x\left(t\right)*y\left(t\right)\}=X\left(f\right)Y\left(f\right)$

Derivazione ed integrazione

Derivazione

$ℱ\left\{\frac{\partial }{\partial t}x\left(t\right)\right\}=j2\pi fX\left(f\right)$

$ℱ\left\{\frac{{\partial }^n}{\partial t^n}x\left(t\right)\right\}={\left(j2\pi f\right)}^{n}X\left(f\right)$

Integrazione

$ℱ\left\{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}x\left(r\right)dr\right\}=\frac{1}{2}X\left(0\right)\delta \left(f\right)+\frac{X\left(f\right)}{j2\pi f}$

Dualità

$ℱ\left\{X\left(t\right)\right\}=x(-f)\Rightarrow ℱ\left\{x\left(t\right)\right\}={ℱ}^{-1}\left\{x(-f)\right\}$

Altre proprietà

Uguaglianza di Parseval

$E\left(x\right)=\int {\left|x\left(t\right)\right|}^{2}dt=\int {\left|X\left(f\right)\right|}^{2}df$

Invarianza prodotto scalare

$⟨x\left(t\right),y\left(t\right)⟩=⟨X\left(f\right),Y\left(f\right)⟩$

Diseguaglianza di Schwarz

$|⟨X\left(f\right),Y\left(f\right)⟩|\le \Vert X\left(f\right)\Vert \Vert Y\left(f\right)\Vert$

Relazione tempo-frequenza

Secondo la proprietà dello scalamento espandere l'asse dei tempi corrisponde a comprimere l'asse delle frequenze.

Per valutare quantitativamente la compattezza non si può tuttavia usare il supporto, perché si dimostra che:

• se la funzione $x\left(t\right)$ ha supporto finito, la sua trasformata $X\left(f\right)$ non ha supporto finito;
• se la funzione $X\left(f\right)$ ha supporto finito, la sua antitrasformata $x\left(t\right)$ non ha supporto finito.

Si definisce estensione temporale $d$:

$d^2=\int t^2\frac{{\left|x\left(t\right)\right|}^2}{E\left(x\right)}dt$

Si definisce estensione di frequenza $D$:

$D^2=4{\pi }^2\int f^2\frac{{\left|X\left(f\right)\right|}^2}{E\left(x\right)}df$

È possibile dimostrare che vale:

$d\cdot D\ge \frac{1}{2}$

L'estensione è il valore quadratico medio di una variabile casuale con distribuzione pari a:

• tempo: $\frac{{\left|x\left(t\right)\right|}^2}{E\left(x\right)}$
• frequenza: $\frac{{\left|X\left(f\right)\right|}^2}{E\left(x\right)}$

Supponendo nullo il valor medio, il valore quadratico medio coincide con la varianza.

Linearità	$ℱ\{a_1{x}_1\left(t\right)+a_2{x}_2\left(t\right)\}=a_1ℱ\left\{x_1\left(t\right)\right\}+a_2ℱ\left\{x_2\left(t\right)\right\}$
Anticipo o ritardo	$ℱ\left\{x(t-\theta )\right\}=ℱ\left\{x\left(t\right)\right\}{e}^{-j2\pi \theta f}$
Modulazione e traslazione	$ℱ\left\{x\left(t\right)e^{j2\pi f_{0}t}\right\}=X(f-f_0)$
Scalamento	$ℱ\left\{x\left(Kt\right)\right\}=\frac{1}{\left|K\right|}X\left(\frac{f}{K}\right)$
Relazioni di parità	$x\left(t\right)\in ℝ\iff \{\begin{array}{c}\mathrm{\Re }\left\{X\left(f\right)\right\}\text{e}\left|X\left(f\right)\right|\text{sono pari}\\ \mathrm{\Im }\left\{X\left(f\right)\right\}\text{e}\arg X\left(f\right)\text{sono dispari}\end{array}$
Convoluzione e prodotto	$ℱ\{x\left(t\right)*y\left(t\right)\}=X\left(f\right)Y\left(f\right)$
Dualità	$ℱ\left\{X\left(f\right)\right\}=x(-t)\Rightarrow ℱ\left\{x\left(t\right)\right\}={ℱ}^{-1}\left\{x(-t)\right\}$

Esempi di trasformate

Funzione porta

$ℱ\left\{{\mathrm{\Pi }}_T\left(t\right)\right\}=T\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(fT\right)$

Segnale numerico

Nel trasferimento in modulazione di un segnale digitale, il segnale sagomatore di riferimento viene moltiplicato in ampiezza per +1 o −1 (invertito) a seconda se il bit da trasferire è rispettivamente 1 o 0. Generalizzando da una base binaria a una base qualunque, il segnale sagomatore $r(t-iT)$ viene moltiplicato per una opportuna costante $a_i$, e il segnale digitale $x\left(t\right)$ sia ottenuto dalla seguente combinazione lineare:

$x\left(t\right)=\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{a}_{i}r(t-iT)\cos \left(2\pi f_{0}t\right)$

Per la proprietà del ritardo:

$ℱ\left\{r(t-iT)\right\}=R\left(f\right)e^{-j2\pi fiT}$

Per la proprietà di linearità:

$ℱ\left\{\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{a}_{i}r(t-iT)\right\}=\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{a}_iℱ\left\{r(t-iT)\right\}=R\left(f\right)\sum _{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{a}_i{e}^{-j2\pi fiT}=Z\left(f\right)$

Siccome $R\left(t\right)$ è a coefficiente della sommatoria, un segnale numerico $z\left(t\right)$ non può avere un'occupazione spettrale maggiore di quella del segnale sagomatore $r\left(t\right)$ → l'ampiezza dello spettro $Z\left(t\right)$ del segnale è controllabile tramite un opportuno segnale sagomatore.

Infine per la proprietà di modulazione:

$ℱ\left\{x\left(t\right)\right\}=\frac{1}{2}[Z(f-f_0)+Z(f-f_0)]$