Teoria dei segnali2/Segnali periodici

Template:Teoria dei segnali2 I segnali periodici:

$x\left(t\right)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}_T(t-nT)=x(t+T)$

sono un caso particolare dei segnali ciclici:

$x_c\left(t\right)=\underset{n_1}{\overset{n_2}{\int }}{x}_T(t-nT)\ne x_c(t+T)$

Trasformata di Fourier di un segnale periodico

La serie di Fourier derivata per il segnale a supporto finito:

$x_T\left(t\right)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mu }_n{e}^{j\frac{2\pi }{T}nt},-\frac{T}{2}\le t\le \frac{T}{2}{\mu }_n=\frac{1}{T}\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\int }}{x}_T\left(t\right)e^{-j\frac{2\pi }{T}nt}dt$

quando interpretata su tutto l'asse dei tempi è anche la serie di Fourier del segnale periodico $x\left(t\right)$:

$x\left(t\right)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mu }_n{e}^{j\frac{2\pi }{T}nt},\mathrm{\forall }t$

da cui si può ottenere la trasformata di Fourier del segnale periodico:

$X\left(f\right)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\mu }_n\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{j\frac{2\pi }{T}nt}{e}^{-j2\pi ft}dt=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\mu }_n\delta (f-\frac{n}{T})$

dove:

${\mu }_n=\frac{1}{T}\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\int }}x\left(t\right)e^{-j\frac{2\pi }{T}nt}dt=$

e poiché $x_T\left(t\right)$ è il segnale $x\left(t\right)$ troncato in $[0,T]$:

$=\frac{1}{T}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}_T\left(t\right)e^{-j\frac{2\pi }{T}nt}dt=\frac{1}{T}{X}_T\left(\frac{n}{T}\right)$

La trasformata di Fourier del segnale $x\left(t\right)$ è quindi una sommatoria dei campioni, presi a multipli di $\frac{1}{T}$, della trasformata di Fourier del segnale troncato $x_T\left(t\right)$:

$X\left(f\right)=\frac{1}{T}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{X}_T\left(\frac{n}{T}\right)\delta (f-\frac{n}{T})$

Treno di impulsi

Considerando come segnale periodico il segnale campionatore, o treno di impulsi:

$c_T\left(t\right)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (t-nT)$

secondo la formula appena ricavata la sua trasformata, poiché $ℱ\left\{\delta \left(t\right)\right\}=1$, è ancora un treno di impulsi:

$C_T\left(f\right)=\frac{1}{T}\sum _{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (f-\frac{n}{T})$

Siccome per definizione di trasformata di Fourier vale anche:

$C_T\left(f\right)=ℱ\left\{c_T\left(t\right)\right\}=\sum _{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-j2\pi fnT}$

vale anche la seguente uguaglianza:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-j2\pi nfT}=\frac{1}{T}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (t-\frac{n}{T})$

Aumentare il periodo del treno di impulsi nel periodo del tempo corrisponde a diminuire il suo periodo nel dominio della frequenza.

Campionamento nel tempo e periodicizzazione in frequenza

Moltiplicando un segnale $x\left(t\right)$ per un treno di impulsi si ottiene:

• nel dominio del tempo una sequenza equispaziata di suoi campioni:

  $x\left(t\right)\cdot c_T\left(t\right)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x\left(t\right)\delta (t-nT)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x\left(nT\right)\delta (t-nT)$

• nel dominio della frequenza una trasformata periodica di periodo $\frac{1}{T}$:

  $X\left(f\right)*C_T\left(f\right)=X\left(f\right)*\frac{1}{T}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (f-\frac{n}{T})=\frac{1}{T}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}X\left(f\right)*\delta (f-\frac{n}{T})=\frac{1}{T}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}X(f-\frac{n}{T})$

Quindi si ottiene la seguente relazione:

$ℱ\left\{\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x\left(t\right)\delta (t-nT)\right\}=\frac{1}{T}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}X\left(f\right)*\delta (f-\frac{n}{T})$

Periodicizzazione nel tempo e campionamento in frequenza

Facendo il prodotto di convoluzione di un segnale $x\left(t\right)$ per un treno di impulsi si ottiene:

• nel dominio del tempo un segnale periodico di periodo pari alla spaziatura degli impulsi:

  $x\left(t\right)*c_T\left(t\right)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x\left(t\right)*\delta (t-nT)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(t-nT)$

• nel dominio della frequenza una trasformata campionata con spaziatura $\frac{1}{T}$:

  $X\left(f\right)\cdot C_T\left(t\right)=\frac{1}{T}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}X\left(f\right)\delta (f-\frac{n}{T})=\frac{1}{T}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}X\left(\frac{n}{T}\right)\delta (f-\frac{n}{T})$

Quindi si ottiene una relazione parallela alla precedente:

$ℱ\{\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x\left(t\right)*\delta (t-nT)\}=\frac{1}{T}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}X\left(f\right)\delta (f-\frac{n}{T})$

Rappresentazioni di un segnale periodico

Il segnale $x\left(t\right)$:

$x\left(t\right)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}z(t-nT)=x(t+T)$

è periodico di periodo $T$ anche quando il segnale $z\left(t\right)$ non è a supporto limitato in $[0,T]$, e quindi nella periodicizzazione di $z\left(t\right)$ alcune parti si vanno a sovrapporre. La sua trasformata di Fourier vale ancora:

$x\left(t\right)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}z(t-nT)=z\left(t\right)*\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (t-nT)$

$X\left(f\right)=Z\left(f\right)\frac{1}{T}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (t-\frac{n}{T})=\frac{1}{T}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}Z\left(\frac{n}{T}\right)\delta (t-\frac{n}{T})$

La seguente rappresentazione di un segnale periodico $x\left(t\right)$:

$x\left(t\right)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}z(t-nT)=x(t+T)$

non è univoca, ma possono essere utilizzati tutti i segnali $z\left(t\right)$ che:

• nel dominio del tempo: coincidono con il segnale troncato $x_T\left(t\right)$ all'interno del periodo $T$:

  $z\left(t\right):\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}z(t-nT)=x_T\left(t\right)\mathrm{\forall }t\in [0,T]$

• nel dominio della frequenza: assumono gli stessi valori della trasformata di Fourier nelle frequenze $\frac{n}{T}$, le uniche che contano nel segnale periodico:

  $X\left(f\right)=\frac{1}{T}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{X}_T\left(\frac{n}{T}\right)\delta (f-\frac{n}{T})=\frac{1}{T}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}Z\left(\frac{n}{T}\right)\delta (f-\frac{n}{T})$

Esempio: segnale periodico costante

Il segnale periodico costante $x\left(t\right)=1$ si può rappresentare come sommatoria di due diverse funzioni periodiche:

$\{\begin{array}{c}x\left(t\right)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Pi }}_T(t-nT)\\ z\left(t\right)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Lambda }}_T(t-nT)=x\left(t\right)\end{array}$

che hanno due differenti supporti (rispettivamente $T$ e $2T$), ma che nella periodicizzazione (di egual periodo $T$) vengono a coincidere.

Nel dominio della frequenza i campioni di $X_T\left(f\right)$ e $Z\left(f\right)$ coincidono:

$\{\begin{array}{c}X\left(f\right)=ℱ\left\{{\mathrm{\Lambda }}_T\left(t\right)\right\}=T\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(fT\right)\\ Z\left(f\right)=ℱ\left\{{\mathrm{\Pi }}_T\left(t\right)\right\}=T{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}}^2\left(fT\right)\end{array}$

Esempio

Considerando i segnali $x_{2T}\left(t\right)$, di supporto $2T$, e $z\left(t\right)$, di supporto $4T$:

$\{\begin{array}{c}{x}_{2T}\left(t\right)={\mathrm{\Pi }}_T(t+\frac{T}{2})-{\mathrm{\Pi }}_T(t-\frac{T}{2})\\ z\left(t\right)={\mathrm{\Pi }}_T(t+\frac{T}{2})-{\mathrm{\Pi }}_T(t-\frac{5T}{2})\end{array}$

e campionando le loro trasformate di Fourier:

$\{\begin{array}{c}{X}_{2T}\left(f\right)=T\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(fT\right)(e^{j\pi fT}-e^{-j\pi fT})\\ Z\left(f\right)=T\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(fT\right)(e^{j\pi fT}-e^{-j\pi f5T})\end{array}$

nelle frequenze $\frac{n}{2T}$, i campioni coincidono:

$\{\begin{array}{c}{X}_{2T}\left(\frac{n}{2T}\right)=T\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(\frac{n}{2}\right)(e^{jn\frac{\pi }{2}}-e^{-jn\frac{\pi }{2}})=jT\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(\frac{n}{2}\right)\sin \frac{\pi n}{2}\\ Z\left(\frac{n}{2T}\right)=T\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(\frac{n}{2}\right)(e^{jn\frac{\pi }{2}}-e^{-j\pi n\frac{5}{2}})=jT\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(\frac{n}{2}\right)\sin \frac{\pi n}{2}=X_{2T}\left(\frac{n}{2T}\right)\end{array}$