Teoria dei segnali2/Spettro di energia e segnali troncati

Segnali troncati

A volte non si conosce il segnale su tutto il supporto ma solo su un certo intervallo $T$:

$\{\begin{array}{c}{x}_T\left(t\right)=x\left(t\right)\cdot {\mathrm{\Pi }}_T\left(t\right)\\ X_T\left(f\right)=X\left(f\right)*ℱ\left\{{\mathrm{\Pi }}_T\left(t\right)\right\}=X\left(f\right)*T\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(fT\right)\end{array}$

Se il segnale $x\left(t\right)$ ha una banda limitata in frequenza:

$X\left(f\right)=0\left|f\right|>\frac{B}{2}$

si può scrivere:

$X_T\left(f\right)=T\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\int }}X\left(\phi \right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left((f-\phi )T\right)d\phi$

Siccome un segnale a supporto limitato nel tempo non può avere una banda limitata in frequenza e viceversa, il segnale $x\left(t\right)$ è a banda limitata e al contrario il segnale troncato ha una banda illimitata:

$X_T\left(f\right)\ne 0\left|f\right|>\frac{B}{2}$

per effetto delle oscillazioni della funzione sinc:

Fenomeno di Gibbs

Benché facendo tendere la funzione sinc a una delta si eliminano le oscillazioni:

$\underset{T\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\left[T\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(fT\right)\right]=\delta \left(f\right)$

la seguente relazione:

$\underset{T\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{X}_T\left(f\right)=X\left(f\right)$

continua a non valere se il segnale $x\left(t\right)$ presenta delle discontinuità nel dominio delle frequenze.

Esempio

$\{\begin{array}{c}x\left(t\right)=B\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(Bt\right)\\ X\left(f\right)={\mathrm{\Pi }}_B\left(f\right)\end{array}$

Facendo tendere $T$ a infinito si possono restringere le oscillazioni secondarie fino a rette verticali, come nel segnale di partenza, ma i massimi e i minimi, rispettivamente 1,09 e −0,09, non cambiano e rimangono diversi da quelli del segnale di partenza, rispettivamente 1 e 0:

Spettri di energia e di potenza e funzione di autocorrelazione

Segnali a energia finita

Spettro di energia

Lo spettro di energia $S_x\left(f\right)$ di un segnale dà informazioni sul contenuto di energia alle singole frequenze:

$S_x\left(f\right)\triangleq {\left|X\left(f\right)\right|}^2=X\left(f\right)X^{*}\left(f\right)\Rightarrow E\left(x\right)=\int S_x\left(f\right)df$

Per un segnale all'uscita di un sistema LTI:

$Y\left(f\right)=H\left(f\right)X\left(f\right)\Rightarrow S_y\left(f\right)={\left|H\left(f\right)\right|}^2{S}_x\left(f\right)\Rightarrow E\left(y\right)=\int S_y\left(f\right)df$

Funzione di autocorrelazione

La funzione di autocorrelazione $R_x\left(\tau \right)$ è definita:

$R_x\left(\tau \right)\triangleq {ℱ}^{-1}\left\{S_x\left(f\right)\right\}=x\left(\tau \right)*x^{*}(-\tau )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}x(t+\tau )x^{*}\left(t\right)dt=⟨x(t+\tau ),x\left(t\right)⟩$

Nell'origine:

$R_x\left(0\right)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}x\left(t\right)x^{*}\left(t\right)dt=E\left(x\right)\in {ℝ}^{+}$

Proprietà

• Per la funzione di autocorrelazione vale la simmetria hermitiana:

$R_x\left(\tau \right)=R_x^{*}(-\tau )$

Se il segnale $x\left(t\right)$ è reale, la funzione di autocorrelazione è pari:

$R_x\left(\tau \right)=R_x(-\tau )$

• Per la disuguaglianza di Schwarz, la funzione di autocorrelazione ha un massimo nell'origine:

${\left|R_x\left(\tau \right)\right|}^2={|\int x(t+\tau )x^{*}\left(t\right)dt|}^2\le E^2\left(x\right)=R_x^2\left(0\right)$

Mutua correlazione

Considerando una coppia di segnali $x\left(t\right)$ e $y\left(t\right)$, si definiscono funzione di mutua correlazione $R_{xy}\left(\tau \right)$:

$R_{xy}\left(\tau \right)\triangleq x\left(\tau \right)*y(-\tau )=\int x(t+\tau )y^{*}\left(t\right)dt=R_{yx}^{*}\left(\tau \right)$

e spettro di energia mutua $S_{xy}\left(f\right)$:

$S_{xy}\left(f\right)\triangleq ℱ\left(R_{xy}\left(\tau \right)\right)=X\left(f\right)Y^{*}\left(f\right)=S_{yx}^{*}\left(f\right)$

Considerando la somma $z\left(t\right)$ di questi due segnali:

${\left|Z\left(f\right)\right|}^2={\left|X\left(f\right)\right|}^2+{\left|Y\left(f\right)\right|}^2+2\mathrm{\Re }\left\{X\left(f\right)Y^{*}\left(f\right)\right\}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{S}_z\left(f\right)=S_x\left(f\right)+S_y\left(f\right)+2\mathrm{\Re }\left\{S_{xy}\left(f\right)\right\}\\ R_z\left(\tau \right)=R_x\left(\tau \right)+R_y\left(\tau \right)+2\mathrm{\Re }\left\{R_{xy}\left(\tau \right)\right\}\end{array}$

Segnali periodici

Ricordando le formule della potenza e dell'energia, la potenza media di un segnale periodico $x\left(t\right)$ è finita:

$\{\begin{array}{c}P\left(x\right)=\frac{1}{T}E\left(x_T\right)\\ E\left(x_T\right)=T\sum _{{}_i}{\left|{\mu }_i\right|}^2\end{array}\Rightarrow P\left(x\right)=\sum _{{}_i}{\left|{\mu }_i\right|}^2\in ℝ$

Spettro di potenza

Lo spettro di potenza $G_x\left(f\right)$ di un segnale periodico $x\left(t\right)$ vale:

$G_x\left(f\right)\triangleq \sum _{{}_i}{\left|{\mu }_i\right|}^2\delta (f-\frac{i}{T})$

La formula dello spettro di potenza $G_x\left(f\right)$ ricorda quella della trasformata di Fourier di $x\left(t\right)$:

$X\left(f\right)=\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\mu }_i\delta (f-\frac{i}{T})$

Funzione di autocorrelazione

La funzione di autocorrelazione $R_x\left(\tau \right)$ di un segnale periodico $x\left(t\right)$ vale:

$R_x\left(\tau \right)\triangleq \frac{1}{T}\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\int }}x(t+\tau )x^{*}\left(t\right)dt$

Si noti che la formula della funzione di autocorrelazione per un segnale periodico è leggermente diversa da quella per i segnali non periodici definita sopra.

Segnali aperiodici a potenza finita

Tutti i segnali periodici hanno potenza finita, ma non tutti i segnali a potenza finita sono periodici.

Spettro di energia

Per segnali non periodici ma a potenza finita si definisce periodogramma lo spettro di energia del segnale troncato $x_T\left(t\right)$ (normalizzato):

$S_T\left(f\right)\triangleq \frac{1}{T}{\left|X_T\left(f\right)\right|}^2$

dove $T$ è un intervallo a piacere.

Spettro di potenza

Lo spettro di potenza $G_x\left(f\right)$ è definito:

$G_x\left(f\right)\triangleq \underset{T\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{S}_T\left(f\right)=\underset{T\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{T}{\left|X_T\left(f\right)\right|}^2$

Anche in questo caso la formula dello spettro di potenza per segnali aperiodici è differente da quella per segnali periodici.

Per un segnale all'uscita di un sistema LTI, lo spettro di potenza è pari a:

$G_y\left(f\right)=G_x\left(f\right){\left|H\left(f\right)\right|}^2$

Funzione di autocorrelazione

La funzione di autocorrelazione ${\mathrm{\Phi }}_x\left(\tau \right)$ è definita:

${\mathrm{\Phi }}_x\left(\tau \right)\triangleq {ℱ}^{-1}\left\{G_x\left(f\right)\right\}=\underset{T\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{T}\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\int }}x(t+\tau )x^{*}\left(t\right)dt$

L'integrale $\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\int }}x(t+\tau )x^{*}\left(t\right)dt$ cresce linearmente con $T$, quindi questa crescita è compensata da $\frac{1}{T}$.