Elaborazione numerica dei segnali/Trasformata di Fourier a tempo discreto

Trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT)

Definizione di DTFT

La trasformata di Fourier a tempo discreto (Template:Tooltip) $X\left(e^{j2\pi f}\right)$ è la trasformata di Fourier della sequenza $x\left(n\right)$:

$X\left(e^{j2\pi f}\right)=ℱ\left\{x\left(n\right)\right\}=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x\left(k\right)e^{-j2\pi fk}=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x\left(k\right)e^{-j\omega k}$

dove $\omega$ è la pulsazione discreta: $\omega =2\pi f$. Template:Cassetto

La DTFT viene indicata con $X\left(e^{j2\pi f}\right)$ anziché con $X\left(f\right)$ per distinguerla dalla trasformata di Fourier di un segnale continuo, ma è a tutti gli effetti in funzione della variabile continua $f$.

La DTFT è in realtà il caso particolare per $T_c=1$ della trasformata di Fourier di un segnale analogico $x\left(t\right)$ campionato con frequenza di campionamento $f_c=\frac{1}{T_c}$:

$X_c\left(f\right)=ℱ\left\{\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x\left(k{T}_c\right)\delta (t-k{T}_c)\right\}=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x\left(k{T}_c\right)e^{-j2\pi fk{T}_c}$

che è periodica di periodo $f_c$ → la DTFT è periodica di periodo:

$\{\begin{array}{c}{f}_c=\frac{1}{T_c}=1\\ \omega =2\pi f_c=2\pi \end{array}$

Inversione della DTFT (IDTFT)

Siccome la DTFT $X\left(e^{j\omega }\right)$ è periodica, i coefficienti $x\left(k\right)$ possono essere interpretati come i coefficienti ${\mu }_k$ dello sviluppo in serie di Fourier della DTFT:

Trasformata di Fourier a tempo discreto inversa (IDTFT)

Tempo continuo	Tempo discreto
	in funzione di $f$	in funzione di $\omega$
$x\left(t\right)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\mu }_k{e}^{j\frac{2\pi }{T}kt}$ ${\mu }_k=\frac{1}{T}\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{+\frac{T}{2}}{\int }}x\left(t\right)e^{-j\frac{2\pi }{T}kt}dt$	$X\left(e^{j2\pi f}\right)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x\left(k\right)e^{-j2\pi fk}$ $x\left(k\right)=\underset{-\frac{1}{2}}{\overset{+\frac{1}{2}}{\int }}X\left(e^{j2\pi f}\right)e^{j2\pi fk}df$	$X\left(e^{j\omega }\right)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x\left(k\right)e^{-j\omega k}$ $x\left(k\right)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{+\pi }{\int }}X\left(e^{j\omega }\right)e^{j\omega k}d\omega$

Condizioni di esistenza

Se la sequenza $x\left(k\right)$ è assolutamente sommabile, allora:

• esiste la sua DTFT:

$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\left|x\left(k\right)\right|\in ℝ\Rightarrow \left|X\left(e^{j\omega }\right)\right|\in ℝ\mathrm{\forall }\omega$

• la sua energia è finita:

$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\left|x\left(k\right)\right|\in ℝ\Rightarrow E_x=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\left|x\left(k\right)\right|}^2\in ℝ$

Proprietà della DTFT

Linearità

La DTFT è un operatore lineare:

$z\left(n\right)=a_1\cdot x\left(n\right)+a_2\cdot y\left(n\right)⟺Z\left(e^{j2\pi f}\right)=a_1\cdot X\left(e^{j2\pi f}\right)+a_2\cdot Y\left(e^{j2\pi f}\right)$

Ribaltamento

Un ribaltamento della $x\left(n\right)$ corrisponde a calcolare la sua DTFT invertendo il segno della frequenza $f$:

$z\left(n\right)=x(-n)⟺Z\left(e^{j2\pi f}\right)=X\left(e^{-j2\pi f}\right)$

Ritardo

Una traslazione del tempo della sequenza $x\left(n\right)$ corrisponde a moltiplicare la sua DTFT per un esponenziale complesso:

$z\left(n\right)=x(n-N)⟺Z\left(e^{j2\pi f}\right)=X\left(e^{j2\pi f}\right)e^{-j2\pi fN}$

Traslazione in frequenza (modulazione)

Una traslazione in frequenza della DTFT di una sequenza $x\left(n\right)$ corrisponde a moltiplicare la sequenza per un esponenziale complesso:

$z\left(n\right)=x\left(n\right)\cdot e^{j2\pi f_{0}n}⟺Z\left(e^{j2\pi f}\right)=X\left(e^{j2\pi (f-f_0)}\right)$

Derivazione in frequenza

$z\left(n\right)=n\cdot x\left(n\right)⟺-2\pi j\cdot Z\left(e^{j2\pi f}\right)=\frac{d}{df}X\left(e^{j2\pi f}\right)$

Convoluzione lineare

La convoluzione tra due sequenze $x\left(n\right)$ e $y\left(n\right)$ corrisponde al prodotto tra le singole DTFT:

$z\left(n\right)=x\left(n\right)*y\left(n\right)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x\left(k\right)y(n-k)⟺Z\left(e^{j2\pi f}\right)=X\left(e^{j2\pi f}\right)\cdot Y\left(e^{j2\pi f}\right)$

Prodotto

Il prodotto tra due sequenze $x\left(n\right)$ e $y\left(n\right)$ corrisponde alla convoluzione tra le singole DTFT, con estremi di integrazione $-\frac{1}{2}$ e $+\frac{1}{2}$ grazie al fatto che la DTFT è periodica:

$z\left(n\right)=x\left(n\right)\cdot y\left(n\right)⟺Z\left(e^{j2\pi f}\right)=X\left(e^{j2\pi f}\right)*Y\left(e^{j2\pi f}\right)=\underset{-\frac{1}{2}}{\overset{+\frac{1}{2}}{\int }}X\left(e^{j2\pi \eta }\right)Y\left(e^{j2\pi (f-\eta )}\right)d\eta$

Relazioni di parità

Se la sequenza $x\left(n\right)$ è reale vale la simmetria hermitiana per le sue DTFT attorno alle frequenze $f=0$ e $f=\frac{1}{2}$:

$\{\begin{array}{c}X\left(e^{j2\pi f}\right)=X^{*}\left(e^{-j2\pi f}\right)\\ X\left(e^{j2\pi (f-\frac{1}{2})}\right)=X^{*}\left(e^{-j2\pi (f+\frac{1}{2})}\right)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{X}_R\left(e^{j2\pi f}\right)+j{X}_I\left(e^{j2\pi f}\right)=X_R\left(e^{-j2\pi f}\right)-j{X}_I\left(e^{-j2\pi f}\right)\\ X_R\left(e^{j2\pi (f-\frac{1}{2})}\right)+j{X}_I\left(e^{j2\pi (f-\frac{1}{2})}\right)=X_R\left(e^{-j2\pi (f+\frac{1}{2})}\right)-j{X}_I\left(e^{-j2\pi (f+\frac{1}{2})}\right)\end{array}$

e quindi entrambe le DTFT hanno le seguenti relazioni di parità:

• la parte reale è pari:

  $\{\begin{array}{c}{X}_R\left(e^{j2\pi f}\right)=X_R\left(e^{-j2\pi f}\right)\\ X_R\left(e^{j2\pi (f-\frac{1}{2})}\right)=X_R\left(e^{-j2\pi (f+\frac{1}{2})}\right)\end{array}$

• la parte immaginaria è dispari:

  $\{\begin{array}{c}{X}_I\left(e^{j2\pi f}\right)=-X_I\left(e^{-j2\pi f}\right)\\ X_I\left(e^{j2\pi (f-\frac{1}{2})}\right)=-X_I\left(e^{-j2\pi (f+\frac{1}{2})}\right)\end{array}$

• il modulo è pari:

  $\{\begin{array}{c}{\left|X\left(e^{j2\pi f}\right)\right|}^2=X_R^2\left(e^{j2\pi f}\right)+X_I^2\left(e^{j2\pi f}\right)\\ {\left|X\left(e^{j2\pi (f-\frac{1}{2})}\right)\right|}^2=X_R^2\left(e^{j2\pi (f-\frac{1}{2})}\right)+X_I^2\left(e^{j2\pi (f-\frac{1}{2})}\right)\end{array}$

• la fase è dispari:

  $\{\begin{array}{c}\arg X_I\left(e^{j2\pi f}\right)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{X_I\left(e^{j2\pi f}\right)}{X_R\left(e^{j2\pi f}\right)}\\ \arg X_I\left(e^{j2\pi (f-\frac{1}{2})}\right)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{X_I\left(e^{j2\pi (f-\frac{1}{2})}\right)}{X_R\left(e^{j2\pi (f-\frac{1}{2})}\right)}\end{array}$

Valore iniziale e somma dei campioni

Valore iniziale

${x\left(n\right)|}_{n=0}=x\left(0\right)=\underset{-\frac{1}{2}}{\overset{+\frac{1}{2}}{\int }}X\left(e^{j2\pi f}\right)df$

Somma dei campioni

${X\left(e^{j2\pi f}\right)|}_{f=0}=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x\left(k\right)$

Ne consegue che sequenze a valor medio nullo hanno DTFT nulla in $f=0$.

Relazione di Parseval

La relazione di Parseval nel dominio del tempo discreto ha estremi di integrazione finiti:

$E_x=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\left|x\left(k\right)\right|}^2=\underset{-\frac{1}{2}}{\overset{+\frac{1}{2}}{\int }}{\left|X\left(e^{j2\pi f}\right)\right|}^{2}df$

Relazione di Parseval generalizzata

$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x\left(k\right)y^{*}\left(k\right)=\underset{-\frac{1}{2}}{\overset{+\frac{1}{2}}{\int }}X\left(e^{j2\pi f}\right)Y^{*}\left(e^{j2\pi f}\right)df$

Spettro di energia

Lo spettro di energia $S_x\left(f\right)$ dà informazioni sulla distribuzione dell'energia della sequenza $x\left(n\right)$ nel dominio della frequenza:

$S_x\left(f\right)={\left|X\left(e^{j2\pi f}\right)\right|}^2$

Proprietà

Lo spettro di energia $S_x\left(f\right)$:

• non può essere negativo;
• se $x\left(n\right)$ è reale, è reale e pari;
• è periodico di periodo 1.

DTFT notevoli

	Sequenza $x\left(n\right)$	DTFT $X\left(e^{j2\pi f}\right)$
Sequenza delta	$\delta \left(n\right)$	$1$
Sequenza costante	$1$	$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (f-n)$ $\delta \left(f\right)f\in [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$
Sequenza segno	$\mathrm{sgn}\left(n\right)$	$\frac{1+e^{-j2\pi f}}{1-e^{-j2\pi f}}$
Sequenza gradino	$u\left(n\right)$	$\frac{1}{2}\delta \left(f\right)+\frac{1}{1-e^{-j2\pi f}}$
Sequenza esponenziale	$e^{j2\pi f_{0}n}$	$\delta (f-f_0)$
Sequenza cosinusoidale	$\cos \left(2\pi f_{0}n\right)$	$\frac{1}{2}[\delta (f-f_0)+\delta (f+f_0)]$
Sequenza sinusoidale	$\sin \left(2\pi f_{0}n\right)$	$\frac{1}{2j}[\delta (f-f_0)-\delta (f+f_0)]$
Sequenza sinc	$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(\frac{n}{N}\right)$	$N\cdot P_{\frac{1}{N}}\left(f\right)$
Sequenza porta	$p_{2K+1}\left(n\right)$	$\frac{\sin \left[\pi f(2K+1)\right]}{\sin \left(\pi f\right)}$

Banda di un segnale a tempo discreto

Banda assoluta

La banda assoluta della sequenza $x\left(n\right)$ è la frequenza $B_x\le \frac{1}{2}$, quindi all'interno del singolo periodo della DTFT, per cui la DTFT $\left|X\left(e^{j2\pi f}\right)\right|$ è identicamente nulla al di fuori dell'intervallo $[-B_x,B_x]$. È l'equivalente della banda unilatera nel dominio del tempo discreto, però si considera solamente un periodo della funzione nel dominio della frequenza (la DTFT ha sempre supporto infinito). Template:Clear

Banda equivalente

La larghezza di banda $B_{\text{eq}}$ è pari alla semilarghezza del rettangolo:

• la cui altezza è pari al massimo ${\left|X_M\right|}^2$ dello spettro di energia $S_x\left(f\right)$;
• la cui area è uguale all'energia complessiva $E\left(S_x\right)$ della DTFT, cioè all'area sottesa da $S_x\left(f\right)$ all'interno del singolo periodo della DTFT:

$2B_{\text{eq}}{\left|X_M\right|}^2=\underset{-\frac{1}{2}}{\overset{+\frac{1}{2}}{\int }}{S}_x\left(f\right)df=\underset{-\frac{1}{2}}{\overset{+\frac{1}{2}}{\int }}{\left|X\left(e^{2j\pi f}\right)\right|}^{2}df$

che per la relazione di Parseval è anche uguale all'energia della sequenza $x\left(n\right)$, data dalla somma di tutti i suoi campioni:

$2B_{\text{eq}}{\left|X_M\right|}^2=E_x=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x\left(k\right)$

Banda B_x%

La banda $B_{x\mathrm{\%}}$ è la frequenza per cui l'intervallo $[-B_{x\mathrm{\%}},B_{x\mathrm{\%}}]$ corrisponde all'$x\mathrm{\%}$ dell'energia complessiva della sequenza $y\left(n\right)$, ovvero all'$x\mathrm{\%}$ dell'area sottesa dallo spettro di energia $S_y\left(f\right)$ all'interno del singolo periodo della DTFT:

$\underset{-B_{x\mathrm{\%}}}{\overset{+B_{x\mathrm{\%}}}{\int }}{S}_y\left(f\right)df=\frac{x}{100}\underset{-\frac{1}{2}}{\overset{+\frac{1}{2}}{\int }}{S}_y\left(f\right)df=\frac{x}{100}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\left|y\left(n\right)\right|}^2$

Banda a 3 dB

La banda a 3 dB $B_{3\text{ dB}}$ è la frequenza a cui l'ampiezza dello spettro di energia $S_x\left(f\right)$ si riduce di 3 dB rispetto al suo massimo:

$S_x\left(B_{3\text{ dB}}\right)=\frac{{\left|X_M\right|}^2}{2}$