Controlli automatici/Inseguimento riferimenti polinomiali

Caratteristiche di un sistema di controllo in retroazione

Schema a blocchi di un sistema di controllo in catena chiusa con retroazione dall'uscita in assenza di disturbi

Un sistema di controllo in retroazione, in assenza di disturbi, avente una funzione d'anello $G_a\left(s\right)=C\left(s\right)F\left(s\right)$ in forma minima e priva di zeri nell'origine, è di tipo $h$ se la sua funzione d'anello $G_a\left(s\right)$ ha un polo nell'origine ($s=0$) di molteplicità $h$.

Il guadagno stazionario $K_{Ga}$ della funzione d'anello $G_a$ del sistema di controllo in retroazione di tipo $h$ in esame è definito:

$K_{Ga}=\underset{s\to 0}{\lim }{s}^h{G}_a\left(s\right)$

• se il sistema è di tipo 0, il guadagno stazionario $K_{Ga}$ è detto guadagno di posizione:

  $K_{Ga}=G_a\left(0\right)$

• se il sistema è di tipo 1, il guadagno stazionario $K_{Ga}$ è detto guadagno di velocità:

  $K_{Ga}=N\left(0\right),G_a(s)=\frac{N\left(s\right)}{s}$

• se il sistema è di tipo 2, il guadagno stazionario $K_{Ga}$ è detto guadagno di accelerazione:

  $K_{Ga}=M\left(0\right),G_a(s)=\frac{M\left(s\right)}{s^2}$

La funzione di trasferimento d'errore $W_{e,y}(s)$ del sistema di controllo in retroazione in esame è definita:

$\{\begin{array}{c}{W}_{e,y}\left(s\right)=\frac{e(s)}{y_{\text{des}}(s)}=\frac{1}{1+G_a(s)}\\ W_e\left(s\right)=\frac{e\left(s\right)}{r\left(s\right)}=K_r{W}_{e,y}(s)=\frac{K_r}{1+G_a(s)}\end{array}$

Segnali canonici di riferimento

Le specifiche relative alla precisione di inseguimento in regime permanente vengono formulate in riferimento a un certo segnale canonico polinomiale $r(t)$:

$r(t)=\frac{t^k}{k!}\Rightarrow r(s)=\frac{1}{s^{k+1}},k=0,1,2,\dots$

dove $k$ è il grado del segnale $r(t)$:

• $k=0$: gradino:

  $r(t)=\epsilon (t)\Rightarrow y_{\text{des}}(t)=K_{r}r(t)=K_r\epsilon (t)$

es.: sistema meccanico dove l'uscita è la posizione: posizione costante pari a $K_r$

• $k=1$: rampa:

  $r(t)=t\Rightarrow y_{\text{des}}(t)=K_{r}r(t)=K_{r}t$

es.: sistema meccanico dove l'uscita è la posizione: velocità costante pari a $K_r$

• $k=2$: arco di parabola:

  $r(t)=\frac{t^2}{2}\Rightarrow y_{\text{des}}(t)=K_{r}r(t)=\frac{K_r}{2}{t}^2$

es.: sistema meccanico dove l'uscita è la posizione: accelerazione costante pari a $K_r$

Esistono inoltre i segnali canonici di riferimento sinusoidali:

$r(t)=\sin \left({\omega }_{0}t\right)\Rightarrow r(s)=\frac{{\omega }_0}{s^2+{\omega }_0^2}$

Inseguimento di riferimenti polinomiali

Errore in regime permanente $e_{\mathrm{\infty }}$

		Riferimento $r(t)$
		grado 0: $\epsilon (t)$	grado 1: $t$	grado 2: $\frac{1}{2}{t}^2$
S i s t e m a	tipo 0	$\frac{K_r}{1+K_{Ga}}$	$+\mathrm{\infty }$	$+\mathrm{\infty }$
	tipo 1	0	$\frac{K_r}{K_{Ga}}$	$+\mathrm{\infty }$
	tipo 2	0	0	$\frac{K_r}{K_{Ga}}$

Tramite il teorema del valore finale è possibile valutare l'errore di inseguimento in regime permanente $e_{\mathrm{\infty }}$:

$e_{\mathrm{\infty }}=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }e(t)=\underset{s\to 0}{\lim }se(s)=\underset{s\to 0}{\lim }s{W}_e(s)r(s)$

Dato un segnale canonico di riferimento polinomiale $r(t)$ di grado $k$:

• se il tipo del sistema è pari a $k$, l'errore di inseguimento in regime permanente $e_{\mathrm{\infty }}$ è finito e non nullo, e diminuisce all'aumentare del guadagno stazionario $K_{Ga}$ → anche in assenza di disturbi si ha un errore intrinseco in regime permanente ${e_r}_{\mathrm{\infty }}$, che può essere ridotto (ma non annullato) aumentando il guadagno stazionario $K_{Ga}$;
• se il tipo del sistema è maggiore di $k$, l'errore di inseguimento in regime permanente $e_{\mathrm{\infty }}$ è sempre nullo → il sistema è in grado di inseguire il segnale canonico di riferimento polinomiale, e l'uscita $y(t)$ del sistema converge perfettamente al valore desiderato $y_{\text{des}}$;
• se il tipo del sistema è minore di $k$, l'errore di inseguimento in regime permanente $e_{\mathrm{\infty }}$ è sempre infinito → il sistema non è in grado di inseguire il segnale canonico di riferimento polinomiale, e la distanza tra l'uscita $y(t)$ del sistema e il valore desiderato $y_{\text{des}}$ cresce indefinitamente.

Sistemi con zeri nell'origine

Se la funzione d'anello $G_a(s)$ presenta almeno uno zero nell'origine ($s=0$), il sistema risulta certamente di tipo 0: essendo in forma minima per ipotesi, la funzione d'anello $G_a(s)$ non può presentare poli nell'origine → il sistema non è in grado di inseguire segnali canonici di riferimento polinomiali di grado superiore a zero.

Nel caso del segnale canonico di riferimento polinomiale $r(t)$ di grado zero, l'unico che il sistema è in grado di inseguire:

$y_{\text{des}}(t)=K_{r}r(t)=K_r\epsilon (t)\Rightarrow {y_{\text{des}}}_{\mathrm{\infty }}=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{y}_{\text{des}}(t)=K_r$

l'uscita $y(t)$ del sistema converge a zero in regime permanente:

$K_{Ga}=G_a\left(0\right)=0\Rightarrow e_{\mathrm{\infty }}=\frac{K_r}{1+\cancel{K_{Ga}}}=K_r\Rightarrow y_{\mathrm{\infty }}={y_{\text{des}}}_{\mathrm{\infty }}-e_{\mathrm{\infty }}=K_r-K_r=0$

Implicazioni sul progetto del controllore

Le specifiche di precisione relative all'errore di inseguimento in regime permanente $e_{\mathrm{\infty }}$ (riferite a riferimenti polinomiali) possono imporre vincoli sulla funzione d'anello $G_a(s)=C(s)F(s)$. Dato un processo $ℱ$ con funzione di trasferimento $F(s)$ (che include il sistema da controllare $𝒮$), i vincoli sono imposti sulla funzione di trasferimento $C(s)$ del controllore $𝒞$.

Vincoli sul numero di poli nell'origine

Sia $n_{0,f}$ il numero di poli nell'origine di una generica funzione di trasferimento $f(s)$. Dato un segnale canonico di riferimento polinomiale $r(t)$ di grado $k$, l'errore di inseguimento in regime permanente $e_{\mathrm{\infty }}$ è finito se il sistema è almeno di tipo $k$:

$n_{0,G_a}=n_{0,F}+n_{0,C}\ge k$

Dato un processo $ℱ$, e quindi noto $n_{0,F}$, per garantire che il sistema sia almeno di tipo $k$:

• se $n_{0,F}\ge k$, non è necessario introdurre poli nell'origine nella funzione di trasferimento $C(s)$ perché l'errore in regime permanente $e_{\mathrm{\infty }}$ risulta già finito se $n_{0,F}=k$ o nullo se $n_{0,F}>k$;
• se $n_{0,F}<k$, è necessario che la funzione di trasferimento $C(s)$ abbia un numero $n_{0,C}$ di poli nell'origine pari a $k-n_{0,F}$.

Dato un segnale canonico di riferimento polinomiale $r(t)$ di grado $k$, l'errore di inseguimento in regime permanente $e_{\mathrm{\infty }}$ è nullo se il sistema è almeno di tipo $k+1$:

$n_{0,G_a}=n_{0,F}+n_{0,C}\ge k+1$

Dato un processo $ℱ$, e quindi noto $n_{0,F}$, per garantire che il sistema sia almeno di tipo $k+1$:

• se $n_{0,F}\ge k+1$, non è necessario introdurre poli nell'origine nella funzione di trasferimento $C(s)$ perché l'errore in regime permanente $e_{\mathrm{\infty }}$ risulta già nullo;
• se $n_{0,F}<k+1$, è necessario che la funzione di trasferimento $C(s)$ abbia un numero $n_{0,C}$ di poli nell'origine pari a $k+1-n_{0,F}$.

Vincoli sul guadagno stazionario

Se il tipo del sistema è pari al grado del riferimento polinomiale $r(t)$, l'errore di inseguimento in regime permanente $e_{\mathrm{\infty }}$, finito e non nullo, si riduce all'aumentare del guadagno stazionario $K_{Ga}$ della funzione d'anello $G_a$, e quindi si riduce all'aumentare del guadagno stazionario $K_C$ della funzione di trasferimento $C(s)$ del controllore:

$\left|e_{\mathrm{\infty }}\left(K_{Ga}\right)\right|\le e_{\text{max}}\Rightarrow \left|K_{Ga}\right|\ge {K_{Ga}}_{\text{min}}\Rightarrow \left|K_C\right|\ge {K_C}_{\text{min}}$