Controlli automatici/Margini di stabilità

Template:Controlli automatici Tra il comportamento del sistema vero e il modello utilizzato per rappresentarlo ci possono essere delle discrepanze che causano delle variazioni rispetto alla funzione d'anello nominale ${G_{a}}_{f} (s)$ , in particolare:

variazioni di $F (s)$ dovute all'incertezza e alla scarsa accuratezza del modello del processo;
variazioni di $C (s)$ dovute a problemi nella realizzazione pratica del compensatore.

L'asintotica stabilità del sistema controllato deve essere mantenuta anche in condizioni perturbate: si parla in tal caso di stabilità robusta. Il grado di robustezza del sistema a fronte di variazioni del suo modello nominale è valutato attraverso opportuni indicatori di robustezza, che permettono di quantificare l'ampiezza delle massime perturbazioni sul modello che garantiscono il mantenimento dell'asintotica stabilità del sistema.

Margini di guadagno e di fase

Se:

il guadagno $K_{C}$ è positivo;
la funzione d'anello nominale ${G_{a}}_{f} (s)$ è a minima rotazione di fase, cioè non ha singolarità (poli e zeri) a parte reale positiva ( $n_{i, a} = 0$ );
esiste una sola pulsazione $ω$ per cui il modulo $| {G_{a}}_{f} (s) |$ risulta unitario → il diagramma polare della funzione d'anello nominale ${G_{a}}_{f} (s)$ interseca una volta la circonferenza di raggio unitario;
esiste una sola pulsazione $ω$ di valore finito per cui la fase $∠ {G_{a}}_{f} (s)$ vale $- 180^{\circ}$ → il diagramma polare della funzione d'anello nominale ${G_{a}}_{f} (s)$ interseca una volta il semiasse reale negativo;

allora:

i margini di stabilità di guadagno $m_{G}$ e di fase $m_{φ}$ sono leggibili facilmente dai diagrammi di Bode della funzione d'anello nominale ${G_{a}}_{f} (s)$ ;
il sistema è asintoticamente stabile se e solo se i margini di guadagno ${m_{G}}_{dB}$ e di fase $m_{φ}$ risultano positivi.

Margine di guadagno

Data una funzione d'anello nominale ${G_{a}}_{f} (s)$ che nel diagramma polare interseca il semiasse reale negativo nell'unico punto $(x_{A}, 0)$ corrispondente alla pulsazione $ω_{π}$ , il guadagno $K_{C}$ è un fattore moltiplicativo (positivo) che rappresenta le variazioni del modulo rispetto alla funzione d'anello nominale ${G_{a}}_{f} (s)$ :

G_{a} (s) = K_{C} {G_{a}}_{f} (s)

Aumentando il guadagno $K_{C}$ , il modulo della funzione d'anello $G_{a} (s)$ aumenta ed il punto di intersezione si sposta verso sinistra → quando il punto di intersezione raggiunge il punto critico $(- 1, 0)$ il sistema esce dalle condizioni di asintotica stabilità.

Il margine di guadagno $m_{G}$ corrisponde al fattore moltiplicativo $K_{C}$ per cui il punto di intersezione raggiunge il punto critico $(- 1, 0)$ :

m_{G} = \frac{1}{| x_{A} |}, - 1 < x_{A} < 0

Le variazioni del guadagno $K_{C}$ non devono superare il margine di guadagno $m_{G}$ affinché il sistema rimanga in condizioni di asintotica stabilità. Il grado di robustezza aumenta all'aumentare del margine di guadagno $m_{G}$ .

Un sistema è detto a stabilità regolare se risulta asintoticamente stabile per qualunque valore positivo del guadagno $K_{C}$ non superiore alla soglia massima determinata dal margine di guadagno $m_{G}$ .

Il margine di guadagno $m_{G}$ può essere letto agevolmente sui diagrammi di Bode della funzione d'anello $G_{a} (s)$ : esso corrisponde, sul diagramma del modulo, alla distanza dall'asse delle ascisse in cui il modulo vale $1 = 0 dB$ , in corrispondenza della pulsazione $ω_{π}$ alla quale la fase vale $- 180^{\circ}$ :

{\begin{matrix} {m_{G}}_{dB} = - {| G_{a} (j ω_{π}) |}_{dB} \\ ∠ G_{a} (j ω_{π}) = - 180^{\circ} \end{matrix}

Margine di fase

Sia data una funzione d'anello nominale ${G_{a}}_{f} (s)$ che nel diagramma polare interseca la circonferenza di raggio unitario nell'unico punto $1 e^{j φ_{C}}$ corrispondente alla pulsazione $ω_{c}$ , detta pulsazione critica (o di cross-over, o di taglio).

A causa per esempio della presenza di un ritardo temporale nell'anello di retroazione, la fase della funzione d'anello $G_{a} (s)$ in corrispondenza della pulsazione critica $ω_{c}$ diminuisce ed il punto di intersezione si sposta verso l'asse reale → quando il punto di intersezione raggiunge il punto critico $(- 1, 0)$ il sistema esce dalle condizioni di asintotica stabilità.

Il margine di fase $m_{φ}$ corrisponde alla perdita di fase per cui il punto di intersezione raggiunge il punto critico $(- 1, 0)$ :

m_{φ} = 180^{\circ} + φ_{C}, - 180^{\circ} < φ_{C} < - 90^{\circ}

La perdita di fase alla pulsazione critica $ω_{c}$ non deve superare il margine di fase $m_{φ}$ affinché il sistema rimanga in condizioni di asintotica stabilità. Il grado di robustezza aumenta all'aumentare del margine di fase $m_{φ}$ .

Il margine di fase $m_{φ}$ può essere letto agevolmente sui diagrammi di Bode della funzione d'anello $G_{a} (s)$ : esso corrisponde, sul diagramma della fase, alla distanza dall'asse in cui la fase vale $- 180^{\circ}$ , in corrispondenza della pulsazione critica $ω_{c}$ alla quale il modulo vale $1 = 0 dB$ :

{\begin{matrix} m_{φ} = 180^{\circ} + ∠ G_{a} (j ω_{c}) \\ {| G_{a} (j ω_{c}) |}_{dB} = 0 \end{matrix}

Estensioni delle definizioni dei margini

Se non tutte le condizioni prima elencate sono soddisfatte è necessario ricavare i margini di stabilità dal diagramma polare:

il diagramma polare interseca più volte l'asse reale: possono presentarsi vari casi, tra cui i sistemi a stabilità marginale (o condizionata): il guadagno $K_{C}$ deve mantenersi al di sopra del margine di attenuazione ${m_{G}}_{1}$ e al di sotto del margine di amplificazione ${m_{G}}_{2}$ ;
il diagramma polare interseca più volte la circonferenza unitaria: il margine di fase $m_{φ}$ deve essere letto in corrispondenza del punto di intersezione più vicino all'asse reale;
la funzione d'anello $G_{a} (s)$ non è a minima rotazione di fase.

Picco di risonanza

Il picco di risonanza $M_{r}$ della funzione di trasferimento in catena chiusa $W_{y} (s)$ è approssimabile al valore massimo ${W_{y}}_{r}$ del suo modulo in corrispondenza della pulsazione di risonanza $ω_{r}$ :

M_{r} = \frac{{W_{y}}_{r}}{| W_{y} (0) |}, {W_{y}}_{r} = | W_{y} (j ω_{r}) | = \max {| W_{y} (j ω) |}

se la funzione d'anello $G_{a} (s)$ non ha poli nell'origine:
$M_{r} \approx {W_{y}}_{r}$
se la funzione d'anello $G_{a} (s)$ ha almeno un polo nell'origine:
$M_{r} = {W_{y}}_{r}$

Template:Cassetto

Se la funzione di trasferimento in catena chiusa $W_{y} (s)$ ha una coppia di poli complessi coniugati, il suo picco di risonanza $M_{r}$ dipende dallo smorzamento $ζ$ dei poli:

M_{r} \approx | W_{y} (j ω_{r}) | = \frac{1}{2 ζ \sqrt{1 - ζ^{2}}}, {\begin{matrix} 0 < ζ < \frac{\sqrt{2}}{2} \\ ω_{r} = ω_{n} \sqrt{1 - 2 ζ^{2}} \end{matrix}

Il picco di risonanza $M_{r}$ è un indicatore di stabilità "indiretto": più lo smorzamento $ζ$ è piccolo e la coppia di poli è vicina all'asse immaginario, più il picco di risonanza $M_{r}$ è elevato e il sistema è vicino alla condizione di instabilità. Valori tipici del picco di risonanza $M_{r}$ sono dell'ordine di qualche dB, da $5 dB$ per $ζ = 0, 3$ a $1 dB$ per $ζ = 0, 5$ .

Affinché il picco di risonanza $M_{r}$ sia inferiore ad un certo valore limite ${M_{r}}_{lim}$ desiderato:

M_{r} \leq {M_{r}}_{lim}

il diagramma di Nyquist della funzione d'anello $G_{a} (s)$ deve essere esterno per tutti i valori di $ω$ alla circonferenza corrispondente al valore limite ${M_{r}}_{lim}$ :

{(ℛ {G_{a} (j ω)} - ℛ_{0})}^{2} + {(ℐ {G_{a} (j ω)})}^{2} = ρ^{2}, {\begin{matrix} ℛ_{0} = \frac{{M_{r}}_{lim}^{2}}{1 - {M_{r}}_{lim}^{2}} \\ ρ = \frac{{M_{r}}_{lim}}{| 1 - {M_{r}}_{lim}^{2} |} \end{matrix}

Controlli automatici/Margini di stabilità

Indice

Margini di guadagno e di fase

Margine di guadagno

Margine di fase

Estensioni delle definizioni dei margini

Picco di risonanza

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