Controlli automatici/Regolatori PID

Template:Controlli automatici Un regolatore ad azione proporzionale, integrale, derivativa (PID) permette di stabilizzare un sistema anche se non è completamente noto il modello matematico dinamico che lo rappresenta.

Modello dei regolatori PID

La legge di controllo ideale nel dominio del tempo di un regolatore PID:

$\{\begin{array}{c}u(t)=K_{P}e(t)+K_I\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}e\left(\tau \right)d\tau +K_D\frac{de(t)}{dt}\\ u(s)=\underset{u_P(s)}{\underbrace{K_{P}e(s)}}+\underset{u_I(s)}{\underbrace{K_I\frac{e(s)}{s}}}+\underset{u_D(s)}{\underbrace{K_{D}se(s)}}\end{array}$

combina tre tipi di azioni:

• azione proporzionale: la legge di controllo ha un termine $u_P(s)$ proporzionale all'errore di inseguimento;
• azione integrale: la legge di controllo ha un termine $u_I(s)$ proporzionale all'integrale (valor medio nel tempo) dell'errore di inseguimento, che garantisce un errore di inseguimento in regime permanente nullo rispetto a ingressi di riferimento costanti;
• azione derivativa: la legge di controllo ha un termine $u_D(s)$ proporzionale alla derivata dell'errore di inseguimento, che recupera la fase persa dal termine integrale.

Se il guadagno del processo da controllare è positivo, i guadagni $K_P$, $K_I$ e $K_D$ del regolatore sono positivi o nulli.

La funzione di trasferimento ideale $R_{\text{PID}}(s)$ di un regolatore PID è data da:

$R_{\text{PID}}(s)=K_P+\frac{K_I}{s}+K_{D}s=\underset{R_P}{\underbrace{K_P}}+\underset{R_I(s)}{\underbrace{\frac{K_P}{T_{I}s}}}+\underset{R_D(s)}{\underbrace{K_P{T}_{D}s}}$

dove:

• $T_I$ è detto tempo integrale:

  $T_I=\frac{K_P}{K_I}$

• $T_D$ è detto tempo derivativo:

  $T_D=\frac{K_D}{K_P}$

Realizzazione pratica dei regolatori PID

La funzione di trasferimento ideale $R_{\text{PID}}(s)$ è impropria per $T_I\ne 4T_D$ → affinché il regolatore sia fisicamente realizzabile, si inserisce nel blocco derivativo un polo di chiusura $p_c$, cioè un polo che causa una perdita di fase a partire da una pulsazione molto superiore alla pulsazione di taglio ${\omega }_c$ evitando di ridurre il margine di fase:

$R_{\text{PID}}^r(s)=K_P(1+\frac{1}{T_{I}s}+\frac{T_{D}s}{1+\frac{T_D}{N}s}),p_c=-\frac{N}{T_D}\gg {\omega }_c$

Il parametro $N$ non dev'essere troppo grande per non causare un eccessivo aumento dell'attività sul comando:

$u\left(0\right)\propto K_P(1+N)$

Sottocasi

• regolatore P: usato per sistemi semplici e stabili in catena aperta anche in assenza del polo nell'origine (azione integrale):

  $R_P=K_P,K_I=K_D=0$

• regolatore PI: usato per sistemi che richiedono nello stesso tempo un polo nell'origine (azione integrale) e un buon anticipo di fase (zero):

  $R_{PI}(s)=K_P\left(\frac{1+T_{I}s}{T_{i}s}\right),K_D=0$

• regolatore PD: corrisponde a una rete anticipatrice con polo pari al polo di chiusura (molto grande):

  $R_{PD}(s)=K_P(1+\frac{T_{D}s}{1+\frac{T_{D}s}{N}}),K_I=0$

Accorgimenti realizzativi

In presenza del regolatore PID $R_{\text{PID}}^r(s)$, la funzione di trasferimento del sistema in catena chiusa $W_y(s)$ presenta come zeri quelli del regolatore PID $R_{\text{PID}}^r(s)$ e quelli del sistema da controllare $F(s)$:

Inoltre, in caso di un ingresso $y_{\text{des}}(t)$ a gradino l'uscita del blocco derivativo $R_D(s)$, e di conseguenza il comando $u(t)$, si comporta nell'istante iniziale come un impulso che può facilmente mandare in saturazione l'attuatore, cioè il comando $u(t)$ raggiunge il suo valore massimo. Spostando i blocchi derivativo $R_D(s)$ e proporzionale $R_P(s)$, si dimostra tramite l'algebra dei blocchi che nella funzione $W_y(s)$ rimangono i soli zeri del sistema da controllare $F(s)$:

Ciò permette di limitare l'azione derivativa in caso di ingresso a gradino, e di ridurre la sovraelongazione nel transitorio.

Se il comando raggiunge il valore di saturazione, è necessario attendere la "scarica" del blocco integrale affinché l'attuatore ritorni ad operare in condizioni di linearità. Questo fenomeno, detto di wind-up, è risolvibile con l'inserimento di una caratteristica non lineare nella parte PI del regolatore (schema di desaturazione).

Metodi di taratura

I parametri $K_P$, $T_I$ e $T_D$ del regolatore si determinano in via sperimentale tramite i metodi di taratura:

• in anello chiuso: le prove sperimentali sono effettuate retroazionando il sistema con un regolatore P;
• in anello aperto: le prove sperimentali sono effettuate direttamente sul sistema senza alcun tipo di controllo.

Determinazione dei parametri del regolatore tramite i metodi di taratura

		Anello chiuso	Anello aperto
		Ziegler e Nichols	Ziegler e Nichols	Cohen e Coon	IMC
Regolatore P	$K_P$	$0,5{\overline{K}}_P$	$\frac{{\tau }_G}{K_G{\theta }_G}$	$\frac{3{\tau }_G+{\theta }_G}{3K_G{\theta }_G}$
Regolatore PI	$K_P$	$0,45{\overline{K}}_P$	$\frac{0,9{\tau }_G}{K_G{\theta }_G}$	$\frac{10,8{\tau }_G+{\theta }_G}{12K_G{\theta }_G}$	$\frac{{\tau }_G}{K_G({\theta }_G+T_g)}$
	$T_I$	$0,8\overline{T}$	$3{\theta }_G$	${\theta }_G\cdot \frac{30{\tau }_G+3{\theta }_G}{9{\tau }_G+20{\theta }_G}$	${\tau }_G$
Regolatore PID	$K_P$	$0,6{\overline{K}}_P$	$\frac{1,2{\tau }_G}{K_G{\theta }_G}$	$\frac{16{\tau }_G+3{\theta }_G}{12K_G{\theta }_G}$	$\frac{{\tau }_G+0,5{\theta }_G}{K_G(0,5{\theta }_G+T_g)}$
	$T_I$	$0,5\overline{T}$	$2{\theta }_G$	${\theta }_G\cdot \frac{32{\tau }_G+6{\theta }_G}{13{\tau }_G+8{\theta }_G}$	${\tau }_G+0,5{\theta }_G$
	$T_D$	$0,125\overline{T}=\frac{1}{4}{T}_I$	$0,5{\theta }_G=\frac{1}{4}{T}_I$	$\frac{4{\tau }_G{\theta }_G}{11{\tau }_G+2{\theta }_G}$	$\frac{0,5{\theta }_G{\tau }_G}{0,5{\theta }_G+{\tau }_G}$

I metodi di taratura più classici di Ziegler e Nichols danno in genere risultati poco soddisfacenti dal punto di vista delle prestazioni, anche se la stabilità è solitamente ottenuta. I metodi di taratura più avanzati, sia in anello aperto sia in anello chiuso, sono preferibili ogni volta in cui sia necessario garantire migliori indici di robustezza e/o un migliore comportamento del sistema durante il transitorio.

Metodo di Ziegler e Nichols in anello chiuso

Il sistema viene chiuso in retroazione negativa unitaria con l'inserimento di un compensatore statico puramente proporzionale. Applicato un segnale di riferimento a gradino, il guadagno del compensatore aumenta fino a quando raggiunge il valore ${\overline{K}}_P$ e l'uscita presenta permanentemente delle oscillazioni di periodo costante $\overline{T}$.

Una volta determinati ${\overline{K}}_P$ e $\overline{T}$, si calcolano i parametri $K_P$, $T_I$ e $T_D$ del regolatore.

Quando viene raggiunto il valore ${\overline{K}}_P$, il sistema si trova ai limiti della stabilità, ovvero un ulteriore aumento del guadagno lo renderebbe instabile → ${\overline{K}}_P$ coincide con il margine di guadagno $m_G$ del sistema →

• le oscillazioni di periodo $\overline{T}$ hanno pulsazione ${\omega }_{\pi }$:

  ${\overline{K}}_P=m_G\Rightarrow \overline{T}=\frac{2\pi }{{\omega }_{\pi }}$

• il metodo è applicabile soltanto a sistemi aventi margine di guadagno finito.

Imposizione del margine di fase

Il metodo di Ziegler-Nichols in anello chiuso porta spesso ad un margine di fase inferiore a 40° → la risposta al gradino del sistema controllato presenza oscillazioni poco smorzate.

È possibile imporre un margine di fase desiderato $m_{\phi }$ imponendo le seguenti condizioni sulla funzione d'anello $G_a(s)$ (non nota) risultante dall'inserimento del regolatore PID:

$\{\begin{array}{c}\mathrm{\angle }{G}_a\left(j{\omega }_{\pi }\right)=(1-\frac{m_{\phi }}{180})(-\pi )\\ \left|G_a\left(j{\omega }_{\pi }\right)\right|=1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{K}_P={\overline{K}}_P\cos m_{\phi }\\ T_I=\frac{\overline{T}}{\pi }\cdot \frac{1+\sin m_{\phi }}{\cos m_{\phi }}\\ T_D=\frac{1}{4}{T}_I=\frac{\overline{T}}{4\pi }\cdot \frac{1+\sin m_{\phi }}{\cos m_{\phi }}\end{array}$

Metodi di taratura in anello aperto

I metodi di taratura in anello aperto permettono di determinare un modello approssimato al I ordine del processo da controllare $F(s)$:

$G(s)=\frac{K_G}{1+{\tau }_{G}s}{e}^{-{\theta }_{G}s}$

dove:

• $K_G$ è il guadagno della funzione $G(s)$;
• ${\tau }_G$ è la costante di tempo del polo dominante;
• ${\theta }_G$ è il ritardo temporale della risposta al gradino.

Questi metodi sono applicabili a sistemi:

• ben approssimabili a una funzione di trasferimento di tale forma;
• asintoticamente stabili in catena aperta;
• con risposta al gradino monotona.

Applicato un segnale di riferimento a gradino di ampiezza $\overline{u}$, si determinano $K_G$, ${\tau }_G$ e ${\theta }_G$ tramite il metodo della tangente:

Metodo di Ziegler e Nichols in anello aperto

Anche il metodo di Ziegler e Nichols in anello aperto porta spesso ad un margine di fase basso → la risposta al gradino del sistema controllato presenza oscillazioni poco smorzate.

Metodo di Cohen e Coon

Il metodo di Cohen e Coon impone una condizione sulle oscillazioni durante il transitorio della risposta al gradino: impone che ogni picco sia smorzato del 25% rispetto al picco precedente.

Metodo di controllo a modello interno

Il metodo di controllo a modello interno (Template:Tooltip) cerca di ricavare il regolatore confrontando il sistema da controllare $F(s)$ con il suo modello approssimato $G(s)$:

$R(s)=\frac{Q(s)R_G(s)}{1-Q(s)R_G(s)G(s)}$

dove:

• $d_c$ è la differenza tra il sistema da controllare $F(s)$ e il suo modello approssimato $G(s)$;
• $Q(s)$ è l'inverso della parte a fase minima di $G(s)$;
• $R_G(s)$ è un filtro del I ordine:

  $R_G(s)=\frac{1}{1+T_{g}s}$

Il blocco $G(s)$ non è una funzione razionale a causa del termine di ritardo →

• si ottiene un regolatore di tipo PI approssimando il termine di ritardo di $G(s)$ nel seguente modo:

  $e^{-s{\theta }_G}\approx 1-s{\theta }_G$

• si ottiene un regolatore di tipo PID approssimando il termine di ritardo di $G(s)$ nel seguente modo:

  $e^{-s{\theta }_G}\approx \frac{1-s\frac{{\theta }_G}{2}}{1+s\frac{{\theta }_G}{2}}$

All'aumentare del parametro $T_g>0$ del filtro del I ordine $R_G(s)$, la banda passante ${\omega }_B$ diminuisce e i margini di guadagno $m_G$ e di fase $m_{\phi }$ aumentano.