Meccanica dei fluidi/Legge di Stevino

Consideriamo un volumetto $dV$; esso avrà una massa infinitesima $dm$, che sarà uguale a:

$dm=\rho dV$

Dove $\rho$ è la densità del fluido, che in questo caso considereremo uniforme. Sul volumetto agiranno quindi le seguenti forze:

$\begin{array}{cc}& d{\overrightarrow{F}}^{(s)}=PdS\\ & d{\overrightarrow{F}}^{(v)}=\overrightarrow{g}dm=\overrightarrow{g}\rho dV\end{array}$

Infatti, le uniche forze di volume agenti sono le forze peso delle particelle, che quindi si sommano nella forza peso complessiva del volumetto, applicata al centro di massa, e la forza di superficie corrisponde alla pressione del fluido. Considero un sistema di riferimento cartesiano, dove sia l'asse $z$ la quota, a tre assi esterno al fluido. Poiché esso è in quiete, avremo che:

$\begin{array}{cc}{\overrightarrow{F}}^{\text{tot}}& =0\\ d{\overrightarrow{F}}^{(s)}+d{\overrightarrow{F}}^{(v)}& =0\end{array}$

Consideriamo un volumetto cubico. Analizziamo le due facce perpendicolare all'asse $y$ e le forze che agiscono su di esse. Le uniche forze agenti sono le forze di superficie, applicate al centro geometrico delle due superfici. I due centri avranno coordinate $(x,y,z)$ e $(x,y+dy,z)$. Le due forze, dirette verso il centro del volumetto, saranno quindi:

$\begin{array}{cc}& d{\overrightarrow{F}}_1^s=P(x,y,z)dS\\ & d{\overrightarrow{F}}_2^s=P(x,y+dy,z)dS\end{array}$

Poiché la risultante delle forze deve essere nulla, avremo che $d{\overrightarrow{F}}_1^s+d{\overrightarrow{F}}_2^s=0$, quindi (si ricorda che le forze hanno verso opposto):

$P(x,y,z)dS-P(x,y+dy,z)dS=0$

Da cui $P(x,y,z)=P(x,y+dy,z)$, ovvero la pressione resta costante lungo l'asse delle $y$. Lo stesso ragionamento può essere fatto anche per l'asse delle $x$, da cui concludiamo che:

$\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}=0$

Che è un altro modo per dire che i punti con la stessa quota hanno la stessa pressione.

Cosa accade invece lungo l'asse $z$? In questo caso non agiscono solo le forze di superficie lungo le due facce, ma anche la forza di volume, corrispondente alla forza peso, è esercitata perpendicolarmente su di esse. Ricordando che $dS=dxdy$ e che $dV=dxdydz$, avremo quindi che:

$\begin{array}{cc}& P(x,y,z)dxdy-P(x,y,z+dz)dxdy-g\rho dxdydz=0\\ & [P(x,y,z)-P(x,y,z+dz)]=g\rho dz\end{array}$

Sviluppo in serie il termine $P(x,y,z+dz)$, che diventa $P(x,y,z)+\frac{\partial P}{\partial z}dz$, sostituisco nell'espressione precedente ottenendo:

$-\frac{\partial P}{\partial z}dz=g\rho dz$

Da cui la conclusione:

$\frac{\partial P}{\partial z}=-g\rho$

Ovvero la pressione sull'asse $z$ non è costante. Consideriamo allora un fluido in quiete in un recipiente, e prendiamo due punti $A$ e $B$ a diversa quota, con $z_B>z_A$. Calcoliamo la differenza di pressione:

$P_B-P_A=\underset{A}{\overset{B}{\int }}dP=\underset{A}{\overset{B}{\int }}\frac{\partial P}{\partial z}dz=-\underset{A}{\overset{B}{\int }}(g\rho )dz=-\rho g(z_B-z_A)$

Chiamata $z_B-z_A=h$ la differenza di quota, possiamo riscrivere la precedente espressione come segue:

$P_B=P_A-\rho gh$

Questa è conosciuta anche come legge di Stevino e afferma che, in liquido in quiete, la pressione aumenta con l'aumentare della profondità.