Meccanica del punto materiale/Moto rettilineo

Iniziamo con una definizione:

Il moto rettilineo si svolge su una traiettoria rettilinea. Il punto si muove dunque lungo una retta, su cui vengono arbitrariamente fissati origine e verso, e il moto di questo è descrivibile tramite la sola coordinata $x=x(t)$ (moto a una dimensione).

Attraverso lo studio delle variazioni della posizione del punto nel tempo è possibile definire la velocità del punto; una variazione di velocità nel tempo, invece, fa acquisire al punto un'accelerazione.

Velocità

Questo dato è però insufficiente a descrivere il moto di un punto.

Esempio. Un punto che parte dalla posizione $x_0$ con velocità $v$ e nella posizione $x_1$ inverte il verso del moto per poi fermarsi in $x_0$, ha $⟨v⟩=0$ poiché posizione iniziale e finale coincidono.

Per definire le caratteristiche effettive del moto è quindi necessario ridurre l'intervallo di tempo considerato, facendolo tendere a zero. Si calcola cioè la derivata dello spazio in funzione del tempo

Nota la velocità istantanea, si può ricavare la funzione $x(t)$ (legge oraria o equazione del moto) attraverso l'operazione inversa della derivazione, l'integrazione.

Se la velocità non è costante ma varia nel tempo, il punto possiede un'accelerazione.

Accelerazione

Anche in questo caso l'accelerazione media non è sufficiente a descrivere accuratamente il moto, pertanto è opportuno calcolare tale variazione in un intervallo di tempo tendente a zero.

Velocità e accelerazione a "confronto"

	$v$	$a$
0	quiete	moto uniforme
costante	moto uniforme	moto uniformemente accelerato
+	il punto si muove nello stesso verso dell'asse	la velocità cresce
-	il punto si muove nel verso opposto dell'asse	la velocità decresce

Posso correlare tra loro spostamento, velocità iniziale, velocità finale e accelerazione tramite il seguente procedimento:

$\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}a=\frac{dv}{dx}va\cdot dx=dv\cdot$

$\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}adx=\underset{v_0}{\overset{v}{\int }}vdv\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}adx=[\frac{v^2}{2}{]}_{v_0}^v$

$\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}adx=\frac{v^2}{2}-\frac{v_0^2}{2}2\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}adx=v^2-v_0^2$

Se a è costante (moto rettilineo uniformemente accelerato) si ha $a_0=a(x)$, quindi:

$v^2-v_0^2=2a\mathrm{\Delta }x$

Tipi di moto

Moto rettilineo uniforme

Il moto è rettilineo uniforme con $v_0=⟨v⟩=v(t)$, cioè con velocità costante.

In questo caso la legge oraria è:

$v=v_0;\frac{dX}{dt}=v_0;dx=v_0\cdot dt;$

$\underset{x_0}{\overset{x_t}{\int }}dx=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{v}_{0}dt;\underset{x_0}{\overset{x_t}{\int }}dX=v_0\underset{0}{\overset{t}{\int }}dt;$

$[x{]}_{x_0}^{x(t)}=v_0[t{]}_0^t;x(t)-x_0=v_0(t-0);$

$\Rightarrow x(t)=x_0+v_0\cdot t$

Moto uniformemente accelerato

Se l'accelerazione è costante ($⟨a⟩=a(t)$), il moto è detto uniformemente accelerato.

L'equazione di tale moto è ricavabile attraverso una doppia integrazione dell'accelerazione istantanea. La legge oraria è:

$a_0=a{a}_0=\frac{dv}{dt}dv=a_0\cdot dt$

$\underset{v_0}{\overset{v(t)}{\int }}dv=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{a}_{0}dt\underset{v_0}{\overset{v(t)}{\int }}dv=a_0\underset{0}{\overset{t}{\int }}dt$

${\left[v\right]}_{v_0}^{v(t)}=a_0{\left[t\right]}_0^{t}v(t)-v_0=a_0\cdot (t-0)$

$v(t)=v_0+a_0\cdot t$

$v(t)=\frac{dx}{dt}{v}_0+a_0\cdot t=\frac{dx}{dt}dx=(v_0+a_0\cdot t)dt$

$\underset{x_0}{\overset{x(t)}{\int }}dx=\underset{0}{\overset{t}{\int }}(v_0+a_0\cdot t)dt\underset{x_0}{\overset{x(t)}{\int }}dx=v_0\underset{0}{\overset{t}{\int }}dt+a_0\underset{0}{\overset{t}{\int }}t\cdot dt$

${\left[x\right]}_{x_0}^{x(t)}=v_0{\left[t\right]}^{t_0}+a_0{\left[\frac{t^2}{2}\right]}^{t_0}$

$x(t)-x_0=v_0\cdot t+a_0\frac{t^2}{2}$

$\Rightarrow x(t)=x_0+v_0\cdot t+a_0\frac{t^2}{2}$

Moto di un grave in una dimensione

$\left|\overrightarrow{a}\right|=9,8\frac{m}{s^2}=g$

Lascio cadere un corpo dall'altezza $h$ (trascuro la resistenza dell'aria):

$y=y_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a\cdot t^2$

Si considerino $y_0=h$ in cui $h$ è l'altezza da cui si lascia cadere il corpo, $v_0=0$ e $a=g$. Si ottiene in tal modo:

$y=h-\frac{g}{2}{t}^2$

Per ricavare il tempo d'impatto $t_i$ pongo $y=0$:

$y=0h-\frac{g}{2}{t}^2=0t^2=\frac{2h}{g}$

$t_i=\sqrt{\frac{2h}{g}}$

Per ricavare la velocità d'impatto $v_i$ pongo $t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$ nell'equazione $v=v_0+a_{0}t$. Considero inoltre $v_0=0$ e $a=g$:

$v=-gt=-g\sqrt{\frac{2h}{g}}=-\sqrt{2hg}$

Moto in una dimensione con attrito viscoso

Nel moto in una dimensione con attrito viscoso agisce una forza $k>0$ che frena il moto, causando una diminuzione dell'accelerazione $a$ che quindi è direttamente proporzionale alla costante $-k$: più è grande $k$, più sarà frenato il moto.

$a=-kvk>0$

Sapendo anche che $a=\frac{dv}{dt}$, si può dedurre la seguente equazione:

$\frac{dv}{dt}=-kv\frac{dv}{v}=-kdt$

$\underset{v_0}{\overset{v(t)}{\int }}\frac{1}{v}dv=-k\underset{0}{\overset{t}{\int }}dt[lnv{]}_{v_0}^{v(t)}=-k[t{]}_0^t$

$\ln v(t)-\ln v_0=-k(t-0)\ln \frac{v(t)}{v_0}=-kt$

$e^{\ln \frac{v(t)}{v_0}}=e^{-kt}\frac{v(t)}{v_0}=e^{-kt}$

$v(t)=e^{-kt}\cdot v_0$

Diagramma orario della funzione $v(t)$: $e^{-kt}=\frac{1}{e^{kt}}$, quindi $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{e^{kt}}=0$. Posso dedurre da ciò che il grafico della funzione $v(t)$ è una curva esponenziale, con $v(t)$ che tende a 0 al tendere di $t$ all'infinito.

La velocità a un tempo $t=\tau =\frac{1}{k}$ è:

$v(\tau )=\frac{1}{e^{\frac{1}{k}k}}\cdot v_0\simeq \frac{1}{2,7}{v}_0$

Quindi $v(\tau )$ è pari a circa $\frac{1}{3}$ della velocità iniziale $v_0$

Per quanto riguarda la legge oraria, sapendo che $v(t)=\frac{dx}{dt}$, si ricava che:

$\frac{dx}{dt}=v_0{e}^{-kt}dx=v_0{e}^{-kt}dt$

$\underset{0}{\overset{x(t)}{\int }}dx=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{v}_0\cdot \frac{1}{e^{kt}}dt$

$x(t)=v_0\cdot (1-e^{-kt})$