Meccanica del punto materiale/Moto circolare

Moto generico in due dimensioni

Considerata una traiettoria curvilinea su cui viene fissata arbitrariamente un'origine $O$ e il verso di percorrenza:

La velocità media

$V_m(t_1,t_2)=\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}$

è rappresentata dal vettore che ha stessa direzione del segmento $x_1{x}_2$ e verso coincidente con quello del moto. Si può quindi notare come, ancor meno che nel moto a una dimensione, la velocità media dia informazioni poco dettagliate riguardo al moto del punto.

Applicando l'operazione di limite si ottiene la velocità istantanea

$V=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }{V}_m(t,t+\mathrm{\Delta }t)=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }X}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{dX}{dt}$

il cui vettore è tangente alla traiettoria nella posizione $x_1$ in cui si trova il punto nell'istante $t$ considerando.

Derivando una seconda volta si ottiene l'accelerazione istantanea

$a=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\cdot \frac{dx}{dt}=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$

il cui vettore è parallelo al raggio di curvatura in $x_1$, dunque perpendicolare al vettore $v(t)$.

Scomposizione generica del moto in tre dimensioni

$\hat{i}$, $\hat{j}$, $\hat{k}$ sono versori, e sono quindi costanti in tutto lo spazio. $\overrightarrow{x}(t)$ è il versore posizione. Scomponendolo sui tre assi $x$, $y$ e $z$ si ottiene:

$\overrightarrow{x}(t)=x(t)\cdot \hat{i}+y(t)\cdot \hat{j}+z(t)\cdot \hat{k}$

Ricavo, a partire dalla scomposizione di $\overrightarrow{x}(t)$, la scomposizione sui tre assi del vettore velocità $\overrightarrow{v}(t)$:

$\overrightarrow{v}(t)=\frac{d\overrightarrow{x}}{dt}=\frac{dx}{dt}\hat{i}+\frac{dy}{dt}\hat{j}+\frac{dz}{dt}\hat{k}$

Sapendo inoltre che

$\overrightarrow{v}(t)=v_x\hat{i}+v_y\hat{j}+v_z\hat{k}$

Deduco la seguente uguaglianza

$v_x=\frac{dx}{dt};v_y=\frac{dy}{dt};v_z=\frac{dz}{dt}$

Si può inoltre ricavare la scomposizione sui tre assi del vettore accelerazione $\overrightarrow{a}(t)$:

$\overrightarrow{a}(t)=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{d{v}_x}{dt}\hat{i}+\frac{d{v}_y}{dt}\hat{j}+\frac{d{v}_z}{dt}\hat{k}$

Analogamente a quanto mostrato nel paragrafo sovrastante riguardante la velocità, dimostro che dato che

$\overrightarrow{a}(t)=a_x\hat{i}+a_y\hat{j}+a_z\hat{k}$

allora si deduce che

$a_x=\frac{d{v}_x}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt};a_y=\frac{d{v}_y}{dy}=\frac{d^{2}y}{dt};a_z=\frac{d{v}_z}{dt}=\frac{d^{2}z}{dt}$

Moto circolare

La legge oraria è:

$\theta =\theta (t)$

Se il moto è circolare uniforme, la velocità angolare è costante: $\omega ={\omega }_0$, quindi si ha che:

$\frac{d\theta }{dt}={\omega }_0;d\theta ={\omega }_{0}dt;$

$\underset{{\theta }_0}{\overset{\theta (t)}{\int }}d\theta =\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{\omega }_{0}dt;$

$[\theta {]}_{{\theta }_0}^{\theta (t)}={\omega }_0[t{]}_{t_0}^t;\theta (t)-{\theta }_0={\omega }_{0}t-{\omega }_0{t}_0;$

Dato che $t_0=0s,{\omega }_0{t}_0=0$, perciò:

$\theta (t)={\theta }_0+{\omega }_{0}t$

ponendo ${\theta }_0=0_{\text{rad}}$,

$\theta =\omega t$

Scomposizione del moto

Applicando quanto appreso nel caso generale del moto curvilineo in due dimensioni sulle componenti dei vettori $v(t)$ e $a(t)$ a quello specifico del moto circolare, ottengo:

$\{\begin{array}{cc}& x(t)=r\cos \theta =r\cos (\omega t)\\ & y(t)=r\sin (\omega t)\\ \end{array}$

$\{\begin{array}{cc}& V_x(t)=\frac{dx}{dt}=-\omega r\sin (\omega t)\\ & V_y(t)=\omega r\cos (\omega t)\\ \end{array}$

$\{\begin{array}{cc}& a_x(t)=\frac{d{V}_x}{dt}=-{\omega }^{2}r\cos (\omega t)\\ & a_y(t)=\frac{d{V}_y}{dt}=-{\omega }^{2}r\sin (\omega t)\\ \end{array}$

dove $a$ è detta accelerazione centripeta.

Per questo si parla di moto uniforme nonostante sia presente un'accelerazione!

Legame tra $v$, $\omega$, $a$

$\theta =\frac{S}{R}$

$\omega =\frac{d\theta }{dt}=\frac{V}{R}$

Dato che $V=\frac{dS}{dt}$ si può dedurre che

$\omega =\frac{1}{R}\cdot \frac{dS}{dt}$

$|\overline{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}=\sqrt{({\omega }^{2}R\cos (\omega t){)}^2+({\omega }^{2}R\sin (\omega t){)}^2}={\omega }^{2}R\sqrt{{\cos }^2(\omega t)+{\sin }^2(\omega t)}$

Dato che ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$ si deduce che ${\cos }^2(\omega t)+{\sin }^2(\omega t)=1$ e dunque

$|\overline{a}|={\omega }^{2}R\cdot 1={\omega }^{2}R$

Tenendo inoltre conto del fatto che $\omega =\frac{V}{R}$, si può ricavare l'accelerazione in funzione della velocità istantanea

$a_c=\frac{V^2}{R}$