Meccanica del punto materiale/Moto armonico

Proiettando il moto circolare uniforme sugli assi cartesiani, è evidente come questo risulti essere la composizione di due moti armonici semplici. La legge oraria di questo particolare moto vario è:

$x(t)=A\cos (\omega t+\varphi )$

dove:

• $A$= ampiezza
• $\omega$ = pulsazione
• $\omega t+\varphi$ = fase del moto
• $\varphi$ = fase iniziale

Essendo il moto descritto dalla funzione coseno o seno, ha delle caratteristiche spaziali ben precise:

• il coseno è una funzione limitata superiormente e inferiormente, dunque assume dei valori estremi ($\pm 1$). Un punto che si muove di moto armonico quindi oscilla tra due posizioni limite corrispondenti a $\pm A$;
• la funzione coseno inoltre è periodica, pertanto anche il moto armonico è un moto periodico.

Per calcolare il periodo di un moto armonico, ovvero il tempo dopo cui il moto si ripete, basta ricordare che il periodo di $\sin x$ è $2\pi$ e sfruttare la definizione.

Si considerino due istanti, $t$ e $t^{\prime }=t+T$, con $T$ periodo del moto. Per la definizione di moto periodico, la posizione del punto in $t$ è uguale alla posizione $t^{\prime }$, per cui $x(t)=x(t^{\prime })$. Essendo il periodo di $\cos \theta 2\pi$, deve valere $\omega t+\varphi =\omega t^{\prime }+\varphi +2\pi$, quindi $\omega (t-t^{\prime })=2\pi$

Ecco quindi il periodo

$T=\frac{2\pi }{\omega }$

L'inverso del periodo si definisce frequenza

$\upsilon =\frac{1}{T}=\frac{\omega }{2\pi }$

La frequenza si misura come $[\upsilon ]=[T^{-1}]$ ovvero $\frac{1}{s}=1Hz=\frac{1ciclo}{s}$

Periodo e frequenza sono indipendenti dall'ampiezza e dalla fase iniziale, dipendono invece dalla pulsazione $\omega$. In particolare possiamo fare le seguenti considerazioni: più la pulsazione è grande, più il moto è lento ($T$ grande e $\nu$ piccolo), più la pulsazione è piccola, più il moto è veloce ($T$ piccolo e $\nu$ grande).

Velocità e accelerazione si ricavano per derivazione dalla legge oraria:

$v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega \sin (\omega t+\varphi )$

$a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-A{\omega }^2\cos (\omega t+\varphi )$

Da qui si ricava che l'accelerazione è proporzionale allo spostamento con segno negativo:

$a=-{\omega }^{2}x$

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^{2}x=0$ (equazione del moto armonico)

Questa, definita equazione del moto armonico, è la condizione necessaria e sufficiente affinché un moto sia armonico. Soffermiamoci sul significato di questa affermazione. Se nello studio di un moto si trova un'accelerazione proporzionale allo spostamento con segno negativo e costante di proporzionalità $C$, si può immediatamente dedurre che la legge oraria del moto sarà quella di un moto armonico $x(t)=A\cos (\omega t+\varphi )$, con pulsazione $\omega =\sqrt{C}$. Un ottimo esempio è costituito dal moto di un corpo sottoposto a una forza elastica. Viceversa se si conosce l'equazione di un moto ed essa rappresenta un moto armonico si può dire che l'accelerazione a cui il corpo è sottoposto è della forma $a=-{\omega }^{2}x$.

Sovrapponendo i grafici di posizione, velocità e accelerazione, è possibile notare come questi differiscano tra loro solo per una differenza di fase:

• posizione e velocità sono in quadratura di fase (cioè sfasate di $T/4$ quindi di $\pi /2$);
• posizione e accelerazione in opposizione di fase (cioè sfasate di $T/2$ e quindi di $\pi$).

$A$ e $\varphi$ sono costanti, e una volta note permettono di calcolare le condizioni iniziali ($t=0$):

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{x}_0=A\sin \mathrm{\Phi }\\ v_0=\omega A\sin \mathrm{\Phi }\end{array}\end{array}$

Viceversa tali costanti possono essere ricavate conoscendo le condizioni iniziali $x_0$ e $v_0$.