Meccanica del punto materiale/Oscillatore armonico

L'oscillatore armonico semplice è un sistema fisico il cui stato dinamico è descritto dall'equazione differenziale:

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^{2}x=0$

dove $x$ è una grandezza fisica che oscilla con legge armonica.

I fenomeni periodici sono frequentissimi in natura. Nei moduli precedenti abbiamo visto alcuni esempi: il pendolo (semplice e composto) e il sistema molla-punto materiale. Per il pendolo, il moto è armonico semplice solo per piccoli spostamenti dalla verticale. Se gli angoli sono grandi il moto è ancora periodico, ma non armonico. Allo stesso modo, la legge di Hooke è un'approssimazione del comportamento di una molla, tanto migliore quanto gli allungamenti sono piccoli. È quindi importante rendersi conto che la condizione di oscillatore armonico semplice si verifica per un sistema che si allontana di poco da una posizione di equilibrio.

Con i metodi dell'analisi matematica si può dimostrare che la soluzione più generale dell'equazione differenziale dell'oscillatore armonico semplice è:

$x(t)=a\sin \omega t+b\cos \omega t$

che può essere riscritta come

$x(t)=A\sin (\omega t+\varphi )$

ponendo $a=A\cos \varphi$ e $b=A\sin \varphi$. L'ampiezza $A$ e la fase $\varphi$ sono determinate dalle condizioni iniziali del moto.

Può capitare che in alcune situazioni ci si trovi di fronte all'equazione differenziale non omogenea

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^{2}x=f(t)$

dove $f(t)$ è una qualsiasi funzione del tempo. In questo caso la soluzione più generale è:

$x(t)=a\sin \omega t+b\cos \omega t+x_p(t)$

dove $x_p(t)$ è una soluzione particolare dell'equazione non omogenea. Un esempio chiarirà le idee. Consideriamo una molla appesa verticalmente al soffitto, a cui è appesa una massa $m$. La molla viene tirata leggermente e lasciata andare. Vogliamo trovare la legge oraria del moto. Per la seconda legge della dinamica abbiamo che:

$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=mg-kx$

ponendo ${\omega }^2=k/m$ ci riconduciamo all'equazione differenziale non omogenea

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^{2}x=g$

Una soluzione particolare di questa equazione è $x_p=\frac{mg}{k}$. Dalle condizioni iniziali abbiamo che:

$x(0)=\frac{2mg}{k}=A\sin \varphi +\frac{mg}{k};v(0)=0=\omega A\cos \varphi$

Quindi la legge oraria è:

$x(t)=\frac{mg}{k}(1+\cos \omega t)$