Controlli automatici/Funzione di sensibilità

Sensibilità parametrica

Funzione di sensibilità rispetto a una variazione parametrica

La funzione di sensibilità $S_p^{W_y}$ della funzione di trasferimento in catena chiusa $W_y(s)$ rispetto ad un parametro $p$:

$S_p^{W_y}=\frac{\frac{\partial W_y(s)}{W_y(s)}}{\frac{\partial p}{p}}$

dove:

• $\frac{\partial W_y(s)}{W_y(s)}$ è la variazione relativa della funzione $W_y(s)$ come conseguenza della variazione del parametro $p$;
• $\frac{\partial p}{p}$ è la variazione relativa del parametro $p$;

misura l'influenza di variazioni sul parametro $p$ sulla fedeltà di risposta del sistema controllato:

• se la funzione di sensibilità $S_p^{W_y}$ è molto minore di 1, la funzione $W_y(s)$ risulta poco sensibile alle variazioni del parametro $p$, e quindi la risposta del sistema non varia significativamente al variare del parametro $p$;
• se la funzione di sensibilità $S_p^{W_y}$ è prossima a 1 o maggiore, la funzione $W_y(s)$ risulta molto sensibile alle variazioni del parametro $p$, e quindi la risposta del sistema varia pesantemente al variare del parametro $p$.

Sensibilità del sistema

Separando la sensibilità di $W_y(s)$ rispetto a $G_a(s)$ e la sensibilità di $G_a(s)$ rispetto a $p$:

$S_p^{W_y}=S_{G_a}^{W_y}\cdot S_p^{G_a}=\underset{S_{G_a}^{W_y}}{\underbrace{\frac{\frac{\partial W_y(s)}{W_y(s)}}{\frac{\partial G_a(s)}{G_a(s)}}}}\cdot \underset{S_p^{G_a}}{\underbrace{\frac{\frac{\partial G_a(s)}{G_a(s)}}{\frac{\partial p}{p}}}}$

si definisce sensibilità del sistema $S(s)$ la funzione di sensibilità $S_{G_a}^{W_y}$ della funzione di trasferimento $W_y(s)$ rispetto alla funzione d'anello $G_a(s)$:

$S(s)\triangleq S_{G_a}^{W_y}=\frac{\frac{\partial W_y(s)}{W_y(s)}}{\frac{\partial G_a(s)}{G_a(s)}}=\frac{1}{1+G_a(s)}\Rightarrow S(s)+W_y(s)=1$

• se le variazioni parametriche riguardano la funzione $C(s)$ del controllore, la sensibilità $S_p^{W_y}$ del sistema in catena chiusa può essere contenuta sia agendo sulla "qualità realizzativa" del controllore per ridurre la funzione di sensibilità $S_p^{G_a}$, sia riducendo la sensibilità $S(s)$;
• se le variazioni parametriche riguardano la funzione $F(s)$ del sistema da controllare, la sensibilità $S_p^{W_y}$ del sistema in catena chiusa può essere contenuta solo riducendo la sensibilità $S(s)$.

Possibili andamenti in frequenza del modulo della sensibilità $S(s)$ del sistema

In presenza di ingressi e/o disturbi sinusoidali, la sensibilità $S(s)$ è bassa solo in bassa frequenza:

• il sistema riesce ad inseguire con buona precisione un ingresso di riferimento sinusoidale $r(t)$:

  $r(t)=\sin \left({\omega }_{0}t\right)$

solo se la pulsazione ${\omega }_0$ del segnale è a bassa frequenza:

$S(s)\equiv W_{e,y}(s)=\frac{e(s)}{y_{\text{des}}(s)}\Rightarrow E=\left|W_e\left(j{\omega }_0\right)\right|=\left|K_r\right|\left|W_{e,y}\left(j{\omega }_0\right)\right|=\left|K_r\right|\left|S\left(j{\omega }_0\right)\right|$

• il sistema è poco sensibile a un disturbo sinusoidale ${d_y}_{\text{sin}}(t)$ posto sull'uscita $y(t)$:

${d_y}_{\text{sin}}(t)=D_s\sin \left({\omega }_{d}t\right)$

solo se la pulsazione ${\omega }_d$ del segnale è a bassa frequenza:

$S(s)\equiv W_{{d_y}_{\text{sin}}}(s)=\frac{{d_y}_{\text{sin}}(s)}{y(s)}\Rightarrow Y_{d,p}=D_s\left|W_{{d_y}_{\text{sin}}}\left(j{\omega }_d\right)\right|=D_s\left|S\left(j{\omega }_d\right)\right|$

• il sistema è poco sensibile a un disturbo sinusoidale ${d_u}_{\text{sin}}(t)$ posto sul comando $u(t)$:

${d_u}_{\text{sin}}(t)=D_s\sin \left({\omega }_{d}t\right)$

solo se la pulsazione ${\omega }_d$ del segnale è a bassa frequenza:

$S(s)\equiv W_{{d_u}_{\text{sin}}}(s)=\frac{{d_u}_{\text{sin}}(s)}{u(s)}\Rightarrow Y_{d,p}=D_s\left|W_{{d_u}_{\text{sin}}}\left(j{\omega }_d\right)\right|=D_s\left|S\left(j{\omega }_d\right)\right|$

Implicazioni sul progetto del controllore

La sensibilità $S(s)$ attraversa l'asse a 0 dB in un intorno della pulsazione di taglio ${\omega }_c$ della funzione $G_a(s)$ → se si vuole imporre che la sensibilità attraversi l'asse a 0 dB a una pulsazione inferiore a una data ${\omega }_M$, è necessario scegliere una pulsazione di taglio desiderata ${{\omega }_c}_{\text{des}}$ abbastanza superiore a ${\omega }_M$, ma non eccessivamente per non allargare troppo la banda ${\omega }_B$. Come prima scelta:

$\left|S\left(j\omega \right)\right|<1\text{ per }\omega <{\omega }_M\Rightarrow {{\omega }_c}_{\text{des}}=1,5{\omega }_M$

All'inserimento di una rete attenuatrice, la sensibilità $S(s)$ del sistema aumenta nell'intervallo di pulsazioni in cui il modulo della funzione d'anello $G_a(s)$ è diminuito → è opportuno evitare di collocare le reti attenuatrici a pulsazioni $x_i$ troppo basse.