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{{Algebra2}}

{{Algebra1/PdfModulo|Algebra2 sistnlin| Dimensioni: 335 KB}}

== Sistemi di secondo grado ==

Ricordiamo che un sistema di equazioni non è altro che l’insieme di più equazioni con le stesse incognite. L’insieme delle soluzioni è dato dall’intersezione degli insiemi delle soluzioni delle singole equazioni.

{{Algebra1/Definizione| Il ''grado di un sistema di equazioni'', se le equazioni sono polinomi, è dato dal prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono. }}

{{Algebra1/Esempio1| Determinare il grado dei seguenti sistemi di equazioni

* <math>\left\{\begin{array}{l}-2x+3y=4 \\3x+5y-2=0\end{array}\right.</math> entrambe le equazioni sono di primo grado; il sistema è di primo grado;
* <math>\left\{\begin{array}{l}2x-y=0 \\x^2+6y^2-9=0\end{array}\right.</math> la prima equazione è di primo grado, la seconda di secondo grado; il sistema è di secondo grado;
* <math>\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2=0 \\y=3x^2-2x+6=0\end{array}\right.</math> entrambe le equazioni sono di secondo grado; il sistema è di quarto grado.

}}

I sistemi di secondo grado sono dunque composti da un’equazione di secondo grado e da una di primo grado.

=== Sistemi di secondo grado numerici ===

{{Algebra1/Esempio1| Risolvere il seguente sistema <math>\left\{\begin{array}{l}{2x-y=0}\\{x^2+6y^2-9=0}\end{array}\right..</math><br />

Utilizziamo il metodo di sostituzione che abbiamo già visto per i sistemi di primo grado.

* Ricaviamo una delle due incognite dall’equazione di primo grado e sostituiamo nell’equazione di secondo grado:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}y=2x \\
x^2+6\cdot (2x)^2-9=0\end{array}\right. 
\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}y=2x \\
x^2+24x^2-9=0\end{array}\right. 
\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y=2x \\
25x^2-9=0\end{array}\right..</math>
}}

* Risolviamo l’equazione di secondo grado in una sola incognita. Questa equazione è detta ''equazione risolvente del sistema'': <math>25x^2-9=0\Rightarrow x_1=-\tfrac 3 5\;\vee\; x_2=\tfrac 3 5</math>.

* Si sostituiscono i valori trovati per la <math>x</math> nella equazione di primo grado per trovare i valori corrispondenti della <math>y</math>. Le coppie <math>(x_1;y_1)</math> e <math>(x_2;y_2)</math>, se ci sono, si dicono ''soluzioni del sistema''. 
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\
{25x^2-9=0}\end{array}\right. 
\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x_1=-\tfrac 3 5 \\
y_1=2\cdot \left(-\tfrac 3 5\right)=-\tfrac 6 5\end{array}\right.\vee 
\left\{\begin{array}{l}x_2=+\tfrac 3 5 \\
y_2=2\cdot \left(\tfrac 3 5\right)=+\tfrac 6 5 \end{array}\right.</math>
}}
[[File:Algebra2 sistnlin fig001 ells.svg|right|Sistema tra ellisse e retta]]
quindi le soluzioni del sistema sono:
{{Testo centrato|
<math>\left(-\tfrac 3 5;-\tfrac 6 5\right)\vee \left(\tfrac 3 5;\tfrac 6 5\right).</math>
}}

Le soluzioni del sistema possono essere interpretate geometricamente come i punti di intersezione tra la retta rappresentata dall’equazione <math>y=2x</math> e la curva rappresentata dall’equazione <math>x^2+6y^2=9</math>. Con qualsiasi software che disegni funzioni inseriamo le due equazioni e otteniamo la figura a lato. La curva rappresentata dalla seconda equazione è una ''ellisse''; i punti <math>A</math> e <math>B</math>, intersezione tra retta ed ellisse, corrispondono alle soluzioni del sistema.
}}

{{Algebra1/Esempio1| Risolvere il seguente sistema: <math>\left\{\begin{array}{l}x-y=-2 \\x^2+y-3x-1=0\end{array}\right..</math><br />

Isoliamo la <math>y</math> dell’equazione di primo grado e sostituiamo nell’equazione di secondo grado
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}y=x+2 \\
x^2+\left(x+2\right)-3x-1=0\end{array}\right. 
\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}y=x+2 \\
x^2-2x+1=0\end{array}\right.</math>
}}

L’equazione risolvente del sistema <math>x^2-2x+1=0</math> ha il discriminante uguale a zero e due soluzioni reali coincidenti: <math>x_1=x_2=1</math>. Quindi il sistema ha due soluzioni reali coincidenti
[[File:Algebra2 sistnlin fig002 prbl.svg|right|Sistema tra parabola e retta]]
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}y=x+2 \\x^2-2x+1=0\end{array}\right. 
\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=1 \\
y=1+2=3\end{array}\right.</math>
}}
cioè il suo insieme soluzione è costituito dalla coppia ordinata <math>(1;3).</math><br />

Le soluzioni del sistema possono essere interpretate geometricamente come i punti di incontro tra la retta rappresentata dall’equazione <math>y=x+2</math> e la parabola rappresentata dall’equazione <math>y=-x^2+3x+1</math>. La soluzioni saranno due punti reali coincidenti. Questo punto è detto punto di tangenza tra retta e parabola.
}}

{{Algebra1/Esempio1| Risolvere il seguente sistema: <math>\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2=4 \\3x+4y=12\end{array}\right..</math><br />

Isoliamo <math>y</math> nell’equazione di primo grado e sostituiamola nell’equazione di secondo grado
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}y=-\tfrac 3 4x+3 \\
x^2+\left(-\tfrac 3 4x+3\right)^2-4=0\end{array}\right. 
\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}y=-\tfrac 3 4x+3 \\
x^2+\tfrac 9{16}x^2-\tfrac 9 2x+9-4=0\end{array}\right. 
\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}y=-\tfrac 3 4x+3 \\
\tfrac{25}{16}x^2-\tfrac{9}{2}x+5=0\end{array}\right..</math>
}}

[[File:Algebra2 sistnlin fig003 crch.svg|right|Sistema tra circonferenza e retta]]
Risolviamo l’equazione di secondo grado in una sola incognita <math>\tfrac{25}{16}x^2-\tfrac 9 2x+5=0</math> e verifichiamo che <math>\Delta =\tfrac{81} 4-\tfrac{125} 4</math> è negativo, quindi l’equazione non ha soluzioni reali e <math>\text{I.S.}=\emptyset </math>. Il sistema non ha soluzioni reali e si dice ''impossibile''.<br />

Le soluzioni del sistema possono essere interpretate geometricamente come i punti di incontro tra la retta rappresentata dall’equazione <math>y=-\tfrac 3 4x+3</math> e la curva rappresentata dall’equazione <math>x^2+y^2=4</math>. Nella rappresentazione grafica ottenuta con un software che disegna funzioni le figure geometriche ottenute non hanno punti d’incontro. La curva rappresentata dalla prima equazione è una ''circonferenza''; retta e circonferenza non hanno punti di intersezione.
}}

'''Conclusione'''&nbsp;Un sistema di secondo grado, con equazione risolvente di secondo grado, rappresenta sempre l’intersezione tra una retta e una curva di secondo grado (circonferenza, parabola, ellisse o iperbole). Le soluzioni del sistema rappresentano i punti di incontro tra retta e curva. In base al segno del discriminante dell’equazione risolvente abbiamo:

* <math>\Delta >0</math> le soluzioni del sistema sono le coordinate di due punti distinti;

* <math>\Delta =0</math> le soluzioni del sistema sono le coordinate di due punti coincidenti;

* <math>\Delta <0</math> il sistema non ha soluzioni reali. Retta e curva non hanno punti in comune.

[[File:Algebra2 sistnlin fig004 tutte.svg|center|Sistemi non lineari]]

Se l’equazione risolvente risulta essere una equazione di ''primo grado'' o una ''uguaglianza'' vera o falsa, allora:

* se si ottiene una uguaglianza vera, il sistema è indeterminato;

* se si ottiene una uguaglianza falsa il sistema è impossibile;

* se l’equazione risolvente è di primo grado determinata, da essa si ricava il valore dell’incognita e si sostituisce tale valore nell’altra equazione. Il sistema ha una sola soluzione (in questo caso non si parla di due soluzioni coincidenti, come nel caso precedente di <math>\Delta =0</math>).

{{Algebra1/Esempio1| Risolvere il sistema <math>\left\{\begin{array}{l}x^2-y^2=0\\x+y=0\end{array}\right.</math>.<br />

Isoliamo la <math>y</math> dell’equazione di primo grado e sostituiamo nell’equazione di secondo grado.
[[File:Algebra2 sistnlin fig005 iprb.svg|right|Sistema x^2-y^2=0 e x+y=0]]
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}y=-x \\
x^2-(-x)^2=0\end{array}\right.\ 
\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}y=-x \\
x^2-x^2=0\end{array}\right. 
\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}y=-x\\
0=0\end{array}\right..</math>}}

L’equazione risolvente del sistema in questo caso è una ''identità'' (uguaglianza sempre verificata) e tutte le coppie formate da numeri opposti (la prima equazione ci vincola ad avere <math>y=-x</math>) sono soluzioni del sistema: <math>\forall k\in \mathbb{R}\Rightarrow \text{I.S.}=(k;-k)</math>. Il sistema ha infinite coppie di numeri reali che lo soddisfano e si dice ''indeterminato''.<br />

La figura è quella che otteniamo se inseriamo le due equazioni in un software che disegna funzioni. La curva di secondo grado è formata dalle due rette <math>x+y=0</math> e <math>x-y=0</math> e la seconda equazione rappresenta la retta a che si sovrappone alla precedente.
}}

{{Algebra1/Esempio1| Risolvere il sistema <math>\left\{\begin{array}{l}\tfrac 3 2x+y=0\\x^2-y^2=4\end{array}\right..</math><br />

Isoliamo la <math>y</math> dell’equazione di primo grado e sostituiamo nell’equazione di secondo grado
[[File:Algebra2 sistnlin fig006 iprb.svg|right|Sistema impossibile tra iperble e retta]]
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}y=-\tfrac 3 2x \\
x^2-\left(-\tfrac 3 2x\right)^2=4\end{array}\right.
\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y=-\tfrac 3 2x \\
x^2-\tfrac 9 4x^2=4\end{array}\right.
\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y=-\tfrac 3 2x\\
-\tfrac 5 4x^2=4\end{array}\right..</math>}}

L’equazione risolvente del sistema <math>-\tfrac 5 4x^2=4</math> non ha soluzioni, quindi il sistema è ''impossibile''.<br />

La figura a lato è quella che otteniamo se inseriamo le due equazioni in un software che disegna le funzioni. L’equazione di secondo grado rappresenta una curva detta ''iperbole'' e la seconda equazione rappresenta la retta; vediamo che curva e retta non hanno punti di intersezione.
}}

{{Algebra1/Esempio1| Risolvere il sistema <math>\left\{\begin{array}{l}x^2-y^2=4\\-x+y=-1\end{array}\right..</math><br />

Isoliamo la <math>y</math> dell’equazione di primo grado e sostituiamo nell’equazione di secondo grado
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}y=x-1 \\
x^2-(x-1)^2-4=0\end{array}\right.
\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y=x-1 \\
x^2-x^2+2x-1-4=0\end{array}\right.
\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y=x-1\\2x=5\end{array}\right..</math>
}}
[[File:Algebra2 sistnlin fig007 iprb.svg|right|Sistema tra iperbole e retta con una soluzione]]
L’equazione risolvente del sistema in questo caso è l’equazione di primo grado <math>2x-5=0</math>, la cui soluzione è <math>x=\tfrac 5 2</math>. Si sostituisce il valore trovato nell’altra equazione e troviamo la soluzione del sistema che in questo caso è unica: 
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}y=x-1 \\2x=5\end{array}\right. 
\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\tfrac 5 2 \\
y=\tfrac 5 2-1=\tfrac 3 2\end{array}\right.</math>
}}
quindi, l’insieme soluzione è&nbsp;&nbsp;<math>\left(\tfrac 5 2;\tfrac 3 2\right).</math><br />

La figura a lato è quella che otteniamo se inseriamo le due equazioni in un applicativo che disegna funzioni. L’equazione di secondo grado rappresenta una curva detta iperbole e la seconda equazione rappresenta una retta; vediamo che curva e retta hanno un solo punto di intersezione.
}}

=== Sistemi di secondo grado letterali ===

{{Algebra1/Esempio1| Discutere e risolvere il seguente sistema: <math>\left\{\begin{array}{l}y-kx=-2\\y-x^2=2\end{array}\right.</math>.<br />

Si risolve come nel caso degli analoghi sistemi numerici. Bisognerà, nell’equazione risolvente, discutere per quali valore del parametro <math>k</math> si otterranno soluzioni reali. Ricaviamo la <math>y</math> dalla prima equazione e sostituiamola nella seconda equazione: 
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}y=kx-2\\kx-2-x^2=2\end{array}\right.\ \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}y=kx-2\\-x^2+kx-4=0\end{array}\right.\ \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}y=kx-2\\x^2-kx+4=0\end{array}\right..</math>
}}

Discutiamo l’equazione risolvente di secondo grado
{{Testo centrato|
<math>\Delta =k^2-16 \Rightarrow\left\{
\begin{array}{l}\Delta >0\Rightarrow k<-4\vee k>4\Rightarrow x_1=\tfrac{k-\sqrt{k^2-16}} 2\vee x_2=\tfrac{k+\sqrt{k^2-16}} 2\\
\Delta =0\Rightarrow k=-4\vee k=4\Rightarrow x_1=x_2=\tfrac k 2 \\
\Delta <0\Rightarrow -4<k<4\Rightarrow \text{I.S.}=\emptyset \end{array}\right..</math>
}}

Sostituiamo nella prima equazione <math>y-kx=-2</math> i valori della <math>x</math> così ricavati. Si ha:
{{Testo centrato|
<math>\text{per } k\le -4\vee k\ge 4\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x_1=\tfrac{k-\sqrt{k^2-16}} 2 \\y_1=\tfrac{k^2-4-k\sqrt{k^2-16}} 2\end{array}\right.\vee \left\{\begin{array}{l}x_2=\tfrac{k+\sqrt{k^2-16}} 2 \\y_2=\tfrac{k^2-4+k\sqrt{k^2-16}} 2\end{array}\right..</math>
}}
}}

== Sistemi frazionari ==

{{Algebra1/Definizione| Si dice ''frazionario'' un sistema in cui almeno una delle equazioni che lo compongono è frazionaria. }}

Poiché una delle equazioni è frazionaria, l’incognita compare al denominatore e per questo motivo occorre procedere alla definizione del dominio in cui si ricercano le soluzioni del sistema.

{{Algebra1/Esempio1| Risolvere il seguente sistema <math>\left\{\begin{array}{l}2x-y=2 \\\tfrac x{y+2}=\tfrac x{2y+5}\end{array}\right.</math>.<br />

Determiniamo le condizioni di esistenza di <math> \tfrac x{y+2}=\tfrac x{2y+5} \Rightarrow\text{C.E.}\; y\neq -2\;\wedge\; y\neq -\tfrac 5 2</math>.<br />

Trasformiamo l’equazione frazionaria nella sua forma canonica di equazione intera: 
{{Testo centrato|
<math>\begin{aligned}
 &\tfrac x{y+2}=\tfrac x{2y+5}\\
\Rightarrow & x\cdot (2y+5)-x\cdot (y+2)=0\\
\Rightarrow & 2{xy}+5x-{xy}-2x=0\\
\Rightarrow & xy+3x=0.\end{aligned}</math>
}}

Il sistema diventa:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}y=2x-2\\
xy+3x=0\end{array}\right.
\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y=2x-2\\
x(2x-2)+3x=0\end{array}\right.
\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y=2x-2\\
2x^2+x=0\end{array}\right..</math>
}}

<math>2x^2+x=0</math> è l’equazione risolvente che ha soluzioni <math>x_1=0\;\vee\; x_2=-\tfrac 1 2</math>. Sostituiamo le soluzioni trovate nell’equazione di primo grado e otteniamo le soluzioni del sistema:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}x_1=0 \\
y_1=-2\end{array}\right.\vee 
\left\{\begin{array}{l}x_2=-\tfrac 1 2\\
y_2=-3\end{array}\right. 
\Rightarrow\left(0;-2\right)\vee \left(-\tfrac 1 2;-3\right).</math>
}}

La soluzione <math>(0;-2)</math> non soddisfa le <math>\text{C.E.}</math>,&nbsp;quindi il sistema ha soluzione <math>\left(-\tfrac 1 2;-3\right)</math>. }}

== Sistemi in più incognite ==

Quanto detto si può estendere ai sistemi di secondo grado di tre o più equazioni con altrettante incognite. Per risolvere uno di tali sistemi si cercherà, operando successive sostituzioni a partire dalle equazioni di primo grado, di ottenere un’equazione di secondo grado in una sola incognita (equazione risolvente del sistema). A partire dalle eventuali soluzioni di tale equazione, si determineranno poi le soluzioni del sistema stesso.

{{Algebra1/Esempio1| Risolvere il sistema <math>\left\{\begin{array}{l}2x+y-z=0\\3x+4y-2z=1\\xy-y^2+z-5y=0\end{array}\right..</math><br />

Isoliamo <math>z</math> dalla prima equazione, che è di primo grado, e sostituiamo nelle altre equazioni:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}z=2x+y\\
3x+4y-2(2x+y)=1\\
{xy}-y^2+(2x+y)-5y=0\end{array}\right. \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}z=2x+y\\
3x+4y-4x-2y=1\\
xy-y^2+2x-4y=0\end{array}\right. \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}z=2x+y\\
-x+2y-1=0\\
xy-y^2+2x-4y=0\end{array}\right..</math>}}

Ricaviamo <math>x</math> dalla seconda equazione e la sostituiamo nelle altre: 
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}z=2(2y-1)+y\\
x=2y-1\\
2y^2-y-y^2+4y-2-4y=0\end{array}\right. \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}z=5y-2\\
x=2y-1\\
y^2-y-2=0\end{array}\right..</math>
}}

L’equazione <math>y^2-y-2=0</math> è l’equazione risolvente del sistema; le sue soluzioni sono <math>y_1=2\;\vee\; y_2=-1</math>.<br />

Sostituiamo i valori trovati per la <math>y</math> nelle altre equazioni per trovare i valori corrispondenti della <math>x</math> e della <math>z</math>:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}z=5\cdot 2-2=8 \\x=2\cdot 2-1=3 \\y=2 \end{array}\right.\vee \left\{\begin{array}{l}z=5\cdot(-1)-2=-7 \\x=2\cdot(-1)-1=-3 \\y=-1 \end{array}\right.\Rightarrow (3;2;8)\;\vee\;(-3;-1;-7).</math>
}}
}}

== Sistemi simmetrici ==

{{Algebra1/Definizione| Un sistema di due equazioni in due incognite si dice ''simmetrico'' se rimane lo stesso scambiando tra loro le incognite. }}

Per esempio, se nel sistema 
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{x^2+y^2+3{xy}+5=0}\end{array}\right.</math>
}}
scambiamo la <math>x</math> con la <math>y</math>, otteniamo
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{y+x=1}\\{y^2+x^2+3{yx}+5=0}\end{array}\right.</math>
}}
che è identico al precedente.

Risolviamo il sistema, le soluzioni sono
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x_1=-2}\\{y_1=3}\end{array}\right.\vee \left\{\begin{array}{l}{x_2=3}\\{y_2=-2}\end{array}\right.</math>
}}
e come si può notare <math>x</math> e <math>y</math> vengono scambiate anche nella soluzione.

In generale, se il sistema è simmetrico, trovata una coppia soluzione <math>(a;b)</math> l’altra è <math>(b;a)</math>.

=== Sistema simmetrico fondamentale ===

Il sistema simmetrico fondamentale è del tipo <math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=s}\\{xy=p}\end{array}\right.</math> e risolve il problema di trovare due numeri, nota la loro somma e il loro prodotto.

Ricordiamo che nell’equazione di secondo grado <math>x^2+bx+c=0</math>, la somma delle radici è <math>-b</math>, mentre il prodotto è <math>c</math>. Pertanto, basta risolvere l’equazione <math>t^2-st+p=0</math>, detta ''equazione risolvente''.

In base al segno del discriminante <math>\Delta = s^2-4p</math> abbiamo:

* <math>\Delta>0</math>: l’equazione risolvente ha due soluzioni distinte <math>t_1</math> e <math>t_2</math>, le soluzioni del sistema sono: 
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x_1=t_1}\\{y_1=t_2}\end{array}\right.\vee \left\{\begin{array}{l}{x_2=t_2}\\{y_2=t_1}\end{array}\right.;</math>
}}
* <math>\Delta=0</math>: l’equazione risolvente ha radici coincidenti <math>t_1=t_2</math>, le soluzioni del sistema sono:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x_1=t_1}\\{y_1=t_1}\end{array}\right.\vee \left\{\begin{array}{l}{x_2=t_1}\\{y_2=t_1}\end{array}\right.;</math>
}}
* <math>\Delta<0</math>: l’equazione non ammette soluzioni reali. Il sistema è impossibile.

{{Algebra1/Esempio1| [[File:Algebra2 sistnlin fig008 iprb.svg|right|Sistema tra iperble e retta con due soluzioni]]
Risolvere il seguente sistema <math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=5}\\{xy=4}\end{array}\right.</math>.<br />

L’equazione risolvente è <math>t^2-5t+4=0</math> le cui soluzioni sono: <math>t_1=1\vee t_2=4</math>.<br />

Le soluzioni del sistema sono quindi le seguenti: 
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x_1=1}\\{y_1=4}\end{array}\right.\vee \left\{\begin{array}{l}{x_2=4}\\{y_2=1}\end{array}\right..</math>
}}

Possiamo interpretare i risultati ottenuti nel piano cartesiano: la retta di equazione <math>x+y=5</math> interseca l’iperbole equilatera <math>{xy}=4</math> nei due punti <math>A(1;4)</math> e <math>B(4;1)</math>.
}}

{{Algebra1/Esempio1|
[[File:Algebra2 sistnlin fig009 iprb.svg|right|Sistema impossibile tra iperbole e retta]]
Risolvere il seguente sistema <math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{xy=4}\end{array}\right.</math>.<br />

L’equazione risolvente è
{{testo centrato|
<math>t^2-t+4=0</math>
}}
che ha il discriminante negativo e dunque non ha soluzioni reali. Il sistema è impossibile.<br />

Possiamo interpretare i risultati ottenuti nel piano cartesiano: la retta di equazione <math>x+y=1</math> non interseca mai l’iperbole equilatera <math>{xy}=4</math>.
}}

{{Algebra1/Esempio1| [[File:Algebra2 sistnlin fig010 iprb.svg|right|Sistema tra iperble e retta con una soluzione]]
Risolvere il seguente sistema <math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=2}\\{xy=1}\end{array}\right..</math><br />

L’equazione risolvente è <math>t^2-2t+1=0</math> le cui soluzioni sono: <math>t_1=t_2=1</math>.

Il sistema ha due soluzioni coincidenti:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x_1=1}\\{y_1=1}\end{array}\right.\vee \left\{\begin{array}{l}{x_2=1}\\{y_2=1}\end{array}\right..</math>
}}

Possiamo interpretare i risultati ottenuti nel piano cartesiano: la retta di equazione <math>x+y=2</math> è tangente all’iperbole equilatera <math>xy=1</math> nel punto <math>(1;1)</math>.
}}

=== Sistemi simmetrici riconducibili al sistema simmetrico fondamentale ===

In questa categoria rientrano i sistemi simmetrici che, mediante artifici, possono essere trasformati in sistemi simmetrici del tipo visto nella sezione precedente.

{{Algebra1/Esempio1| Risolvere il sistema <math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=a}\\{x^2+y^2+{bx}+{by}=c}\end{array}\right..</math><br />

È possibile trasformare il sistema in un sistema simmetrico fondamentale. Infatti, ricordando l’identità <math>x^2+y^2=(x+y)^2-2{xy}</math>, il sistema può essere riscritto come: 
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=a}\\
{(x+y)^2-2{xy}+b(x+y)=c}\end{array}\right.
\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x+y=a}\\
{a^2-2{xy}+{ba}=c}\end{array}\right.
\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x+y=a}\\
{{xy}=\tfrac{a^2+{ab}-c} 2}\end{array}\right..</math>
}}

Posto <math>a=s</math>&nbsp;&nbsp;e&nbsp;&nbsp;<math>p=\tfrac{a^2+{ab}-c} 2</math>&nbsp;&nbsp;il sistema diventa
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=s}\\{{xy}=p}\end{array}\right..</math>
}}
}}

{{Algebra1/Esempio1| Risolvere il sistema <math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=7}\\{x^2+y^2=25}\end{array}\right.</math><br />

Ricordando l’identità <math>x^2+y^2=(x+y)^2-2{xy}</math>, il sistema può essere riscritto come: 
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=7}\\
{(x+y)^2-2{xy}=25}\end{array}\right.
\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x+y=7}\\
{(7)^2-2{xy}=25}\end{array}\right.
\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x+y=7}\\
{-2{xy}=25-49}\end{array}\right.\Rightarrow 
\left\{\begin{array}{l}{x+y=7}\\{{xy}=12}\end{array}\right..</math>
}}

L’equazione risolvente è <math>t^2-7t+12=0</math> le cui soluzioni sono <math>t_1=3\vee t_2=4.</math><br />

Le soluzioni del sistema sono:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x_1=3}\\
{y_1=4}\end{array}\right.\vee \left\{\begin{array}{l}{x_2=4}\\
{y_2=3}\end{array}\right..</math>
}}
}}

{{Algebra1/Esempio1| Risolvere il sistema <math>\left\{\begin{array}{l}{-3x-3y=-5}\\{2x^2+2y^2=10}\end{array}\right.</math><br />

Dividendo per <math>-3</math> la prima equazione, per <math>2</math> la seconda e ricordando l’identità
<math>x^2+y^2=(x+y)^2-2{xy}</math> si ha: 
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=\tfrac 5 3}\\
{x^2+y^2=5}\end{array}\right.
\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x+y=\tfrac 5 3}\\
{(x+y)^2-2{xy}=5}\end{array}\right.
\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x+y=\tfrac 5 3}\\
{\left(\tfrac 5 3\right)^2-2{xy}=5}\end{array}\right.
\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x+y=\tfrac 5 3}\\
{{xy}=-\tfrac{10} 9}\end{array}\right..</math>
}}

L’equazione risolvente è <math>t^2-\tfrac 5 3t-\tfrac{10} 9=0</math> le cui soluzioni sono: <math>t_1=\tfrac{5-\sqrt{65}} 6\vee t_2=\tfrac{5+\sqrt{65}} 6</math>.<br />

Le soluzioni del sistema sono quindi le seguenti:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x_1=\tfrac{5-\sqrt{65}} 6}\\{y_1=\tfrac{5+\sqrt{65}} 6}\end{array}\right.\vee \left\{\begin{array}{l}{x_2=\tfrac{5+\sqrt{65}} 6}\\{y_2=\tfrac{5-\sqrt{65}} 6}\end{array}\right..</math>
}}
}}

=== Sistemi non simmetrici riconducibili a sistemi simmetrici ===

Rientrano in questa classe i sistemi che, pur non essendo simmetrici, possono essere trasformati, mediante opportune sostituzioni, in sistemi simmetrici. Naturalmente questi sistemi si possono risolvere anche con la procedura solita di sostituzione per i sistemi di secondo grado.

{{Algebra1/Esempio1| Risolvere il sistema <math>\left\{\begin{array}{l}{x-y=8}\\{{xy}=-15}\end{array}\right..</math><br />

Mediante la sostituzione <math>y'=-y</math> otteniamo <math>\left\{\begin{array}{l}{x+y'=8}\\{xy'=15}\end{array}\right.</math> che è un sistema simmetrico fondamentale.<br />

L’equazione risolvente è <math>t^2-8t+15=0</math> le cui soluzioni sono <math>t_1=3\vee t_2=5</math>, pertanto il sistema ha le soluzioni
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x_1=3}\\
{{y_1}'=5}\end{array}\right.\vee 
\left\{\begin{array}{l}{x_2=5}\\
{{y_2}'=3}\end{array}\right..</math>
}}

Dall’uguaglianza <math>y'=-y\Rightarrow y=-y'</math> otteniamo le soluzioni del sistema dato 
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x_1=3}\\
{y_1=-5}\end{array}\right.\vee 
\left\{\begin{array}{l}{x_2=5}\\
{y_2=-3}\end{array}\right..</math>
}}
}}

{{Algebra1/Esempio1| Risolvere il sistema <math>\left\{\begin{array}{l}{2x-3y=8}\\{{xy}=2}\end{array}\right..</math><br />

Mediante la sostituzione <math>x'=2x</math> e <math>y'=-3y</math> da cui <math>x=\tfrac{x'} 2</math> e <math>y=-\tfrac{y'} 3</math> otteniamo
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x'+y'=8}\\
{\tfrac{x'} 2\cdot \left(-\tfrac{y'} 3\right)=2}\end{array}\right.
\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x'+y'=8}\\
{x'y'=-12}\end{array}\right.</math>
}}
che è un sistema simmetrico fondamentale.<br />

Risolviamo il sistema simmetrico <math>\left\{\begin{array}{l}{x'+y'=8}\\{x'y'=-12}\end{array}\right.</math> con la procedura nota. L’equazione risolvente è <math>t^2-8t-12=0</math> le cui soluzioni sono <math>t_{1\text{,}2}=4\pm 2\sqrt 7</math>; pertanto il sistema ha le soluzioni:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x_1'=4-2\sqrt 7}\\
{y_1'=4+2\sqrt 7}\end{array}\right.\vee 
\left\{\begin{array}{l}{x_2'=4+2\sqrt 7}\\
{y_2'=4-2\sqrt 7}\end{array}\right..</math>
}}

Dalle sostituzioni <math>x=\tfrac{x'} 2</math> e <math>y=-\tfrac{y'} 3</math> otteniamo le soluzioni del sistema iniziale
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x_1=\tfrac{4-2\sqrt 7} 2=2-\sqrt 7}\\
{y_1=\tfrac{-4-2\sqrt 7} 3}\end{array}\right.\vee 
\left\{\begin{array}{l}{x_2=\tfrac{4+2\sqrt 7} 2=2+\sqrt 7}\\
{y_2=\tfrac{-4+2\sqrt 7} 3}\end{array}\right..</math>
}}<br />

'''Procedura di sostituzione'''&emsp;
Ricaviamo una delle due incognite dall’equazione di primo grado e sostituiamola nell’altra equazione
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{2x-3y=8} \\{{xy}=2}\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{y=\tfrac{2x-8} 3}\\{{xy}=2}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{y=\tfrac{2x-8} 3}\\{x\left(\tfrac{2x-8} 3\right)=2}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{y=\tfrac{2x-8} 3}\\{2x^2-8x-6=0}\end{array}\right..</math>}}

Risolviamo l’equazione <math>2x^2-8x-6=0</math> avente come soluzioni <math>x_1=2-\sqrt 7\vee x_2=2+\sqrt 7</math>. Sostituiamo i valori trovati e ricaviamo i valori della <math>y:</math>
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x_1=2-\sqrt 7}\\{y_1=\tfrac{-4-2\sqrt 7} 3}\end{array}\right.\vee \left\{\begin{array}{l}{x_2=2+\sqrt 7}\\{y_2=\tfrac{-4+2\sqrt 7} 3}\end{array}\right..</math>
}}
}}

=== Sistemi simmetrici di grado superiore al secondo ===

Introduciamo le seguenti trasformazioni dette ''formule di Waring'',<ref>Edward Waring, matematico inglese (1736 – 1798).
</ref> dal nome del matematico che le ha formulate per primo. Con tali formule, si possono trasformare le potenze di un binomio in relazioni tra somme e prodotti delle due variabili che lo compongono. Indicate come <math>s</math> somma delle variabili e <math>p</math> il loro prodotto, le seguenti sono le prime formule fino alla quinta potenza.

* <math> a^2+b^2=(a+b)^2-2{ab}=s^2-2p </math>;
* <math> a^3+b^3=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2=(a+b)^3-3{ab}(a+b)=s^3-3{ps} </math>;
* <math> a^4+b^4=s^4-4{ps}^2+2p^2 </math>;
* <math> a^5+b^5=s^5-5{ps}^3+5p^2s </math>.

{{Algebra1/Esempio1| Risolvere il sistema <math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{x^3+y^3-2{xy}=3}\end{array}\right..</math><br />

Applicando l’identità <math>x^3+y^3=(x+y)^3-3{xy}(x+y)</math>, il sistema può essere riscritto come:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{(x+y)^3-3{xy}(x+y)-2{xy}=3}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{1-5{xy}=3}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{{xy}=-\tfrac 2 5}\end{array}\right..</math>
}}

Da cui l’equazione risolvente <math>t^2-t-\tfrac 2 5=0\Rightarrow 5t^2-5t-2=0</math> con <math>t_1=\tfrac{5-\sqrt{65}}{10}</math> e <math>t_2=\tfrac{5+\sqrt{65}}{10}</math>. Le soluzioni del sistema sono quindi:
{{Testo centrato|
<math>\left(\tfrac{5-\sqrt{65}}{10};\tfrac{5+\sqrt{65}}{10}\right) \vee \left(\tfrac{5+\sqrt{65}}{10};\tfrac{5-\sqrt{65}}{10}\right)</math>.
}}
}}

{{Algebra1/Esempio1| Risolvere il sistema <math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=-1}\\{x^4+y^4=\tfrac 7 2}\end{array}\right..</math>

Ricordando l’identità <math>x^4+y^4=(x+y)^4-4{xy}(x+y)^2+2x^2y^2</math>, il sistema può essere riscritto come:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=-1}\\{(x+y)^4-4{xy}(x+y)^2+2x^2y^2=\tfrac 7 2}\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x+y=-1}\\{2x^2y^2-4{xy}-\tfrac 5 2=0}\end{array}\right..</math>
}}

Introduciamo l’incognita ausiliaria <math>u=xy</math>. L’equazione <math>2x^2y^2-4{xy}-\tfrac 5 2=0</math> diventa <math>2u^2-4u-\tfrac 5 2=0</math> che ha come soluzioni <math>u_1=-\tfrac 1 2\vee u_2=\tfrac 5 2\Rightarrow {xy}=-\tfrac 1 2\vee {xy}=\tfrac 5 2</math>.<br />

Il sistema assegnato è equivalente all’unione di due sistemi
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=-1}\\{{xy}=-\tfrac 1 2}\end{array}\right.\vee \left\{\begin{array}{l}{x+y=-1}\\{{xy}=\tfrac 5 2}\end{array}\right.</math>
}}
e dunque il suo insieme soluzione <math>\text{I.S.}</math> si ottiene dall’unione dell’insieme soluzione dei due sistemi&nbsp;<math>\text{I.S.}=\text{I.S.}_1 \cup \text{I.S.}_{2}.</math>

Il primo sistema <math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=-1}\\{{xy}=-\tfrac 1 2}\end{array}\right.</math> ha equazione risolvente <math>t^2+t-\tfrac 1 2=0</math> con radici 
{{Testo centrato|
<math>t_1=\tfrac{-1-\sqrt 3} 2\quad\text{e}\quad t_2=\tfrac{-1+\sqrt 3} 2</math>
}}
e quindi il sistema ha soluzioni
{{Testo centrato|
<math>S_1=\left\{\left(\tfrac{-1-\sqrt 3} 2;\tfrac{-1+\sqrt 3} 2\right) \vee \left(\tfrac{-1+\sqrt 3} 2;\tfrac{-1-\sqrt 3} 2\right)\right\}.</math>}}<br />

Il secondo sistema <math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=-1}\\{{xy}=\tfrac 5 2}\end{array}\right.</math> ha equazione risolvente <math>t^2+t+\tfrac 5 2=0</math>, che ha <math>\Delta <0</math> e quindi insieme soluzione vuoto. Pertanto anche il sistema non ha soluzioni reali, quindi <math>\text{I.S.}_2=\emptyset</math>. L’insieme soluzione del sistema assegnato <math>\left\{\begin{array}{l}{x+y=-1}\\{x^4+y^4=\tfrac 7 2}\end{array}\right.</math> è dunque <math>\text{I.S.}=\text{I.S.}_1\cup \emptyset=\text{I.S.}_1</math>.
}}

== Sistemi omogenei di quarto grado ==

{{Algebra1/Definizione| Un sistema si dice ''omogeneo'' se le equazioni, con l’eccezione dei termini noti, hanno tutti i termini con lo stesso grado. }}

I sistemi omogenei di quarto grado sono quindi nella forma: 
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{a_1x^2+b_1xy+c_1y^2=d_1}\\{a_2x^2+b_2xy+c_2y^2=d_2}\end{array}\right..</math>
}}<br />

'''Primo caso'''&emsp;
<math>d_1=0 \;\wedge\; d_2=0</math>.

Il sistema si presenta nella forma <math>\left\{\begin{array}{l}{a_1x^2+b_1xy+c_1y^2=0}\\{a_2x^2+b_2xy+c_2y^2=0}\end{array}\right..</math> Un sistema di questo tipo ha sempre almeno la soluzione nulla <math>(0;0)</math>.

Per trovare le altre soluzioni del sistema poniamo <math>y=tx</math> e sostituendo abbiamo: 
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}{a_1x^2+b_1tx^2+c_1t^2x^2=0}\\{a_2x^2+b_2tx^2+c_2t^2x^2=0}\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x^2(a_1+b_1t+c_1t^2)=0}\\{x^2(a_2+b_2t+c_2t^2)=0}\end{array}\right..</math>
}}

Supponendo <math>x\neq 0</math>, cioè <math>x\in \mathbb{R}_0</math>, possiamo dividere le due equazioni per <math>x^2</math>, otteniamo così due equazioni nell’incognita <math>t</math> che possiamo risolvere. Se le due equazioni ammettono qualche soluzione comune allora il sistema ammette infinite soluzioni. Le soluzioni sono del tipo <math>x=k</math> e <math>y={kt}</math>, dove <math>t</math> è la soluzione comune di cui si è detto prima.

{{Algebra1/Esempio1| Risolvere il seguente sistema <math>\left\{\begin{array}{l}x^2-3{xy}+2y^2=0 \\-x^2+5{xy}-6y^2=0 \end{array}\right..</math><br />

Applicando la sostituzione <math>y={tx}</math>, il sistema diventa <math>\left\{\begin{array}{l}x^2-3{tx}^2+2t^2x^2=0 \\-x^2+5{tx}^2-6t^2x^2=0 \end{array}\right..</math><br />

Dividendo per <math>x^2</math> otteniamo <math>\left\{\begin{array}{l}1-3t+2t^2=0 \\1-5t+6t^2=0 \end{array}\right..</math><br />

La prima equazione ha radici <math>t_1=1</math>&nbsp;&nbsp;e&nbsp;&nbsp;<math>t_2=\tfrac 1 2</math>, mentre la seconda equazione ha radici <math>t_3=\tfrac 1 2</math>&nbsp;&nbsp;e&nbsp;&nbsp;<math>t_4=\tfrac 1 3</math>. Le due equazioni hanno una radice in comune <math>t=\tfrac 1 2.</math><br />

Pertanto, oltre alla soluzione <math>(0;0)</math>, il sistema ammette infinite soluzioni che possono essere scritte nella forma <math>\left\{\begin{array}{l}x=k \\y=\tfrac 1 2k \end{array}\right.</math> con <math>k\in\mathbb{R}_0</math>.
}}<br />

'''Secondo caso'''&emsp;
<math>d_1=0 \;\wedge\; d_2\neq 0</math>.

Il sistema si presenta nella forma <math>\left\{\begin{array}{l}{a_1x^2+b_1xy+c_1y^2=0}\\{a_2x^2+b_2xy+c_2y^2=d_2}\end{array}\right..</math>

Ponendo <math>y=tx</math> si ha <math>\left\{\begin{array}{l}{a_1x^2+b_1tx^2+c_1t^2x^2=0}\\{a_2x^2+b_2tx^2+c_2t^2x^2=d_2}\end{array}\right.</math>.

Dividendo per <math>x^2</math> la prima equazione (<math>\text{C.E.}\, x\in\mathbb{R}_0</math>) si ha <math>\left\{\begin{array}{l}{a_1+{b_1t}+{c_1t}^2=0}\\{x^2(a_2+b_2t+c_2t^2)=d_2}\end{array}\right..</math>

Si risolve la prima equazione nell’incognita <math>t</math>; si sostituiscono i valori trovati nella seconda equazione e si ricavano i valori di <math>x</math> e di seguito i valori di <math>y</math> con <math>y=tx</math>.

{{Algebra1/Esempio1| Risolvere il sistema <math>\left\{\begin{array}{l}x^2-{xy}-6y^2=0 \\-x^2+2{xy}-3y^2=-6 \end{array}\right..</math><br />

Sostituendo <math>y=tx</math> il sistema diventa
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}1-t-6t^2=0 \\x^2(-1+2t-3t^2)=-6 \end{array}\right..</math>
}}

La prima equazione ha radici <math>t_1=\tfrac 1 3</math> e <math>t_2=-\tfrac 1 2</math>.<br />

Sostituendo <math>t=\tfrac 1 3</math> nella seconda equazione si ha <math>x_{1\text{,}2}=\pm 3</math> e sapendo che <math>y=tx</math> si ottengono le coppie 
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}x_1=3\\y_1=1\end{array}\right.\vee\left\{\begin{array}{l}x_2=-3\\y_2=-1\end{array}\right..</math>
}}

Sostituendo <math>t=-\tfrac 1 2</math> si ha <math>x_3=-\tfrac{2\sqrt 6}{11}\vee x_4=\tfrac{2\sqrt 6}{11}</math> e sapendo che <math>y={tx}</math> si ottengono le coppie 
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}x_3=-\tfrac{2\sqrt 6}{11}\\y_3=\tfrac{\sqrt 6}{11}\end{array}\right.\vee\left\{\begin{array}{l}x_4=-2\tfrac{\sqrt 6}{11}\\y_4=-\tfrac{\sqrt 6}{11}\end{array}\right..</math>
}}

L’insieme soluzione del sistema è quindi
{{Testo centrato|
<math>\text{I.S.}=\left\{(x_1;y_1)\text{, }(x_2;y_2)\text{, }(x_3;y_3)\text{, }(x_4;y_4)\right\}.</math>
}}
}}<br />

'''Terzo caso'''&emsp;
<math>d_1\neq 0 \;\wedge\; d_2\neq 0</math>.

Il sistema si presenta nella forma <math>\left\{\begin{array}{l}{a_1x^2+b_1xy+c_1y^2=d}\\{a_2x^2+b_2xy+c_2y^2=d_2}\end{array}\right..</math>

Ponendo <math>y=tx</math> si ha <math>\left\{\begin{array}{l}{x^2(a_1+b_1t+c_1t^2)=d_1}\\{x^2(a_2+b_2t+c_2t^2)=d_2}\end{array}\right..</math>

Dividendo membro a membro le due equazioni, sotto la condizione <math>x\neq 0\;\wedge\; a_2+b_2t+c_2t^2\neq 0</math>, otteniamo
{{Testo centrato|
<math>\begin{aligned}
&\tfrac{a_1+b_1t+c_1t^2}{a_2+b_2t+c_2t^2}=\tfrac {d_1}{d_2}\\
\Rightarrow & d_2(a_1+b_1t+c_1t^2)=d_1(a_2+b_2t+c_2t^2)\\
\Rightarrow & (c_1d_2-c_2d_1) t^2+(b_1d_2-b_2d_1) t+a_1d_2-a_2d_1=0 \end{aligned}</math>
}}
che è una equazione di secondo grado nell’incognita <math>t.</math><br />

Se l’equazione ha come soluzioni <math>t_1</math> e <math>t_2</math> dobbiamo poi risolvere i sistemi
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}y=t_1x \\a_2x^2+b_2xy+c_2y^2=d_2 \end{array}\right.\vee\left\{\begin{array}{l}y=t_2x \\a_2x^2+b_2xy+c_2y^2=d_2 \end{array}\right..</math>
}}

{{Algebra1/Esempio1| Risolvere il sistema <math>\left\{\begin{array}{l}x^2+3{xy}-y^2=-68 \\-2x^2+{xy}+3y^2=88 \end{array}\right..</math><br />

Sostituendo <math>y={tx}</math> il sistema diventa <math>\left\{\begin{array}{l}x^2(1+3t-t^2)=-68 \\x^2(-2+t+3t^2)=88 \end{array}\right..</math><br />

Dividendo membro a membro con la condizione <math>x\neq 0\wedge 3t^2+t-2\neq 0</math>, cioè <math>x\neq 0</math>, <math>t\neq -1</math> e <math>t\neq \tfrac 2 3</math>, si ha <math>\tfrac{1+3t-t^2}{-2+t+3t^2}=-\tfrac{68}{88}</math>, da cui l’equazione <math>29t^2+83t-12=0</math> con radici <math>t_1=\tfrac 4{29}\vee t_2=-3.</math><br />

A questo punto dobbiamo risolvere i due sistemi:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}y=\tfrac 4{29}x \\-2x^2+{xy}+3y^2=88 \end{array}\right.\vee\left\{\begin{array}{l}y=-3x \\-2x^2+{xy}+3y^2=88 \end{array}\right..</math>
}}

Il primo sistema è impossibile, il secondo ha soluzioni
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}x_1=-2\\y_1=6\end{array}\right.\vee\left\{\begin{array}{l}x_2=2\\y_2=-6\end{array}\right..</math>
}}

Quindi l’insieme soluzione del sistema è <math>\text{I.S.}=\{(-2;6)\text{, }(2;-6)\}</math>. }}

== Metodo di addizione ==

In alcuni casi è utile applicare questo metodo per eliminare velocemente i termini di secondo grado.

{{Algebra1/Esempio1| Risolvere il sistema <math>\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2-2x=0 \\x^2+y^2-4x-2y+4=0 \end{array}\right..</math><br />

Sottraendo membro a membro si ottiene l’equazione di primo grado 
{{Testo centrato|
<math>2x+2y-4=0\; \rightarrow\; x+y-2=0.</math>
}}

Il sistema può allora essere trasformato nel seguente:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2-2x=0 \\x+y-2=0 \end{array}\right.</math>
}}
che può essere risolto con il metodo di sostituzione.
}}

== Sostituzione delle variabili ==

In alcuni casi, sostituendo in modo opportuno le variabili, il sistema può essere risolto più facilmente.

{{Algebra1/Esempio1| Risolvere il sistema <math>\left\{\begin{array}{l}2x^3+y^4=3 \\x^6-x^3y^4=0 \end{array}\right..</math><br />

Sostituendo&nbsp;<math>x^{3}=u</math>&nbsp;e&nbsp;<math>y^{4}=v</math> il sistema diventa <math>\left\{\begin{array}{l}2u+v=3 \\u^{2}-uv=0 \end{array}\right..</math><br />

Quest’ultimo può essere risolto con il metodo di sostituzione; si ottengono le soluzioni:
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}u=0 \\v=3 \end{array}\right.\text{ e }\left\{\begin{array}{l}u=1 \\v=1 \end{array}\right..</math>
}}

Ricordando le sostituzioni si ottengono le soluzioni del sistema: 
{{Testo centrato|
<math>\left\{\begin{array}{l}x^{3}=0 \\y^{4}=3\end{array}\right. \rightarrow \left(0;\sqrt[4]{3}\right)\vee\left(0;-\sqrt[4]{3}\right)\;\text{ e }\left\{\begin{array}{l}x^{3}=1 \\y^{4}=1\end{array}\right.\rightarrow (1;1)\vee(1;-1).</math>
}}
}}

== Problemi che si risolvono con sistemi di grado superiore al primo ==

Riprendiamo un problema già discusso. Considerare più variabili ci permette di facilitare il processo di traduzione in linguaggio matematico.

{{Algebra1/Problema| Il trapezio isoscele <math>ABCD</math> è inscritto in una semicirconferenza di diametro <math>AB</math> di misura <math>25\text{cm}</math>; determinare le misure dei lati del trapezio sapendo che il perimetro è <math>62\text{cm}.</math><br /><br />

[[File:Algebra2 sistnlin fig011 trap.svg|right|Trapezio inscritto inuna semicirconferenza]]
''Dati'':&nbsp;<math>\left\{\begin{array}{l}\overline{AB}=25\text{; }2p=62;\\
AB\parallel CD\text{; }AD\equiv BC\end{array}\right..</math><br />

''Obiettivo'':&nbsp;<math>\overline{CB}</math>; <math>\overline{CD}.</math><br />

''Dati impliciti'': <math>\left\{\begin{array}{l}
\overline{KO}=\overline{CH}\text{; }\overline{CO}=\tfrac{25} 2;\\ \overline{KC}=\tfrac{\overline{DC}} 2\text{; }\overline{HB}=\tfrac{25-y} 2;\\ \widehat{CKO}=90\text{°}\text{; }\widehat{CHB}=90\text{°}.\end{array}\right.</math><br />

''Incognite'':&nbsp;<math>\overline{CB}=x</math>; <math>\overline{CD}=y.</math><br />

''Vincoli:'' <math>\left\{\begin{array}{l}0<x<\tfrac{25} 2\sqrt 2\\0<y<25 \end{array}\right..</math><br />

''Relazioni tra dati e incognite'':&nbsp;<math> \left\{\begin{array}{l}{y+2x+25=62}\\{\left(\tfrac{25} 2\right)^2-\left(\tfrac y 2\right)^2=x^2-\left(\tfrac{25-y} 2\right)^2}\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{y=-2x+37}\\{x^2-25x+150=0}\end{array}\right..</math><br />

''Soluzioni:'' <math>\left\{\begin{array}{l}{x_1=15}\\{y_1=7}\end{array}\right.\vee \left\{\begin{array}{l}{x_2=10}\\{y_2=17}\end{array}\right..</math><br />

''Verifica:'' Entrambe le soluzioni sono accettabili.<br />

La risoluzione del problema si basa sull’equazione di primo grado <math>y+2x+25=62</math> che definisce il perimetro, sulla congruenza dei segmenti <math>\overline{KO}</math> e <math>\overline{CH}</math> facilmente dimostrabile in quanto stessa distanza tra due rette parallele, l’applicazione del teorema di Pitagora ai triangoli <math>CKB</math> e <math>CHB</math>, rettangoli per costruzione. Naturalmente tutte le informazioni ausiliare vanno dimostrate, ma data la loro facilità le lasciamo al lettore.<br />

Importante è impostare le condizioni sulle incognite che devono essere maggiori di <math>0</math> ma anche <math>x<\tfrac{25} 2\sqrt 2</math> perché il trapezio non diventi un triangolo (<math>\overline{BC} < \overline{BE}</math>) e <math>y<25</math> perché la base minore sia realmente minore (<math>\overline{CD} < \overline{AB}</math>). L’ultimo passo consiste nella verifica delle soluzioni, che nel nostro caso sono entrambe accettabili. Si hanno dunque due trapezi inscritti in quella semicirconferenza che avranno il perimetro di <math>62\text{cm}</math>.
}}

{{Algebra1/Problema| L’azienda Profit intende fare una ristrutturazione riducendo il numero degli operai. Oggi spende per essi (tutti con lo stesso stipendio) €.&nbsp;<math>800</math> al giorno. Se si licenziassero 5 dipendenti e si riducesse lo stipendio di €.&nbsp;<math>2</math> al giorno si avrebbe un risparmio giornaliero di €.&nbsp;<math>200</math>. Quanti sono gli operai attualmente occupati nell’azienda?<br /><br />

''Dati'':&nbsp;<math> \left\{\begin{array}{l}
\text{spesa per salari al giorno}=\text{€.}800;\\
\text{riduzione salario giornaliero}=\text{€.}2;\\
\text{riduzione numero operai}=5\text{ unità};\\
\text{risparmio dopo il licenziamento e la riduzione di stipendio}=\text{€.}200.
\end{array}\right.</math><br />

''Obiettivo'':&nbsp;numero operai occupati prima della ristrutturazione<br />	

''Incognite'':&nbsp;<math> \left\{\begin{array}{l}
x =\text{numero operai prima della ristrutturazione};\\
y= \text{salario percepito da ogni operaio prima della ristrutturazione}.
\end{array}\right.</math><br />

''Vincoli'':&nbsp;<math>\left\{\begin{array}{l}x\in \mathbb{N}\\y\in \mathbb{R}^+\end{array}\right.</math><br />

''Altre Informazioni'':&nbsp;<math> \left\{\begin{array}{l}
\text{Numero operai dopo la ristrutturazione} = x-5;\\
\text{salario dopo la ristrutturazione} =y-2;\\
\text{spesa per stipendi dopo la ristrutturazione} =800-200=\text{€.}600.\end{array}\right.</math><br />

''Relazioni tra dati e incognite'':&nbsp; <math>\left\{\begin{array}{l}{{xy}=800}\\{(x-5)(y-2)=600}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{{xy}=800}\\{{xy}-2x-5y+10=600}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{{xy}=800}\\{2x+5y=210}\end{array}\right.</math><br />

''Soluzioni'':&nbsp;<math>\left\{\begin{array}{l}{x_1=25}\\{y_1=32}\end{array}\right.\vee \left\{\begin{array}{l}{x_2=80}\\{y_2=10}\end{array}\right.</math><br />

''Verifica'':&nbsp;Entrambe le soluzioni sono accettabili.<br />

Naturalmente c’è una grande differenza tra percepire <math>32\, \text{€./giorno}</math> di salario o <math> 10\, \text{€./giorno}</math>, come avere impiegati <math>25</math> o <math>80</math> operai. Il problema va meglio definito. Sarebbe sufficiente un vincolo che ci dice qual è la paga minima giornaliera di un operaio.
}}

{{Algebra1/Problema| Un numero <math>k\in \mathbb{N}</math> è composto da tre cifre. Il prodotto delle tre cifre è <math>42</math>. Se si scambia la cifra delle decine con quella delle centinaia si ottiene un numero che supera <math>k</math> di <math>360</math>. Se si scambia la cifra della unità con quella delle centinaia si ottiene un numero minore di <math>99</math> rispetto al numero <math>k</math>. Trovare <math>k</math>.<br /><br />

''Dati'':&nbsp;<math>\left\{\begin{array}{l}
\text{il numero } k \text{ è composto da tre cifre};\\
\text{prodotto delle tre cifre} = 42;\\
\text{scambiando la cifra delle decine con quella delle centinaia si ha }l=k+360; \\
\text{scambiando la cifra delle unità con quella delle centinaia si ha }m=k-99.\\
\end{array}\right.</math><br />

''Obiettivo'':&nbsp;trovare il numero <math>k.</math><br />

''Incognite'':&nbsp;<math>\left\{\begin{array}{l}
x=\text{ cifra che rappresenta il numero delle centinaia;}\\
y=\text{ cifra che rappresenta il numero delle decine;}\\
z=\text{ cifra che rappresenta il numero delle unità.}
\end{array}\right.</math><br />

''Vincoli'':&nbsp;<math>\left\{\begin{array}{l}x\in \{1\text{, }2\text{, }3\text{, }4\text{, }5\text{, }6\text{, }7\text{, }8\text{, }9\} \\y\text{, }z\in \{0\text{, }1\text{, }2\text{, }3\text{, }4\text{, }5\text{, }6\text{, }7\text{, }8\text{, }9\}\end{array}\right.</math>.<br />

''Altre Informazioni'':&nbsp;<math>\left\{\begin{array}{l}
k=100x+10y+z;\\
l=100y+10x+z;\\
m=100z+10y+x.
\end{array}\right.</math><br />

''Relazioni tra dati e incognite'':&nbsp;<math>\left\{\begin{array}{l}x\cdot y\cdot z=42 \\100y+10x+z=100x+10y+z+360\\100z+10y+x=100x+10y+z-99 \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x\cdot y\cdot z=42 \\x-y=-4\\x-z=1\end{array}\right..</math><br />

''Soluzioni'':&nbsp;<math>\left\{\begin{array}{l}x_1=3\\y_1=7\\z_1=2\end{array}\right.</math>.<br />

''Verifica'':&nbsp;La soluzione soddisfa le condizioni, il numero cercato è <math>372</math>.
}}

== Esercizi del capitolo ==
{{Algebra1/PdfEsercizi|Algebra2 esercizi sistnlin| Dimensioni: 235 KB}}

{{Avanzamento|100%|19 luglio 2016}}
[[Categoria:Algebra 2|Sistemi non lineari]]