Algebra 2/Complementi di algebra/Sistemi non lineari

Sistemi di secondo grado

Ricordiamo che un sistema di equazioni non è altro che l’insieme di più equazioni con le stesse incognite. L’insieme delle soluzioni è dato dall’intersezione degli insiemi delle soluzioni delle singole equazioni.

I sistemi di secondo grado sono dunque composti da un’equazione di secondo grado e da una di primo grado.

Sistemi di secondo grado numerici

Conclusione Un sistema di secondo grado, con equazione risolvente di secondo grado, rappresenta sempre l’intersezione tra una retta e una curva di secondo grado (circonferenza, parabola, ellisse o iperbole). Le soluzioni del sistema rappresentano i punti di incontro tra retta e curva. In base al segno del discriminante dell’equazione risolvente abbiamo:

• $\mathrm{\Delta }>0$ le soluzioni del sistema sono le coordinate di due punti distinti;

• $\mathrm{\Delta }=0$ le soluzioni del sistema sono le coordinate di due punti coincidenti;

• $\mathrm{\Delta }<0$ il sistema non ha soluzioni reali. Retta e curva non hanno punti in comune.

Sistemi non lineari

Se l’equazione risolvente risulta essere una equazione di primo grado o una uguaglianza vera o falsa, allora:

• se si ottiene una uguaglianza vera, il sistema è indeterminato;

• se si ottiene una uguaglianza falsa il sistema è impossibile;

• se l’equazione risolvente è di primo grado determinata, da essa si ricava il valore dell’incognita e si sostituisce tale valore nell’altra equazione. Il sistema ha una sola soluzione (in questo caso non si parla di due soluzioni coincidenti, come nel caso precedente di $\mathrm{\Delta }=0$).

Sistemi frazionari

Poiché una delle equazioni è frazionaria, l’incognita compare al denominatore e per questo motivo occorre procedere alla definizione del dominio in cui si ricercano le soluzioni del sistema.

Sistemi in più incognite

Quanto detto si può estendere ai sistemi di secondo grado di tre o più equazioni con altrettante incognite. Per risolvere uno di tali sistemi si cercherà, operando successive sostituzioni a partire dalle equazioni di primo grado, di ottenere un’equazione di secondo grado in una sola incognita (equazione risolvente del sistema). A partire dalle eventuali soluzioni di tale equazione, si determineranno poi le soluzioni del sistema stesso.

Sistemi simmetrici

Per esempio, se nel sistema Template:Testo centrato scambiamo la $x$ con la $y$, otteniamo Template:Testo centrato che è identico al precedente.

Risolviamo il sistema, le soluzioni sono Template:Testo centrato e come si può notare $x$ e $y$ vengono scambiate anche nella soluzione.

In generale, se il sistema è simmetrico, trovata una coppia soluzione $(a;b)$ l’altra è $(b;a)$.

Sistema simmetrico fondamentale

Il sistema simmetrico fondamentale è del tipo $\{\begin{array}{c}x+y=s\\ xy=p\end{array}$ e risolve il problema di trovare due numeri, nota la loro somma e il loro prodotto.

Ricordiamo che nell’equazione di secondo grado $x^2+bx+c=0$, la somma delle radici è $-b$, mentre il prodotto è $c$. Pertanto, basta risolvere l’equazione $t^2-st+p=0$, detta equazione risolvente.

In base al segno del discriminante $\mathrm{\Delta }=s^2-4p$ abbiamo:

• $\mathrm{\Delta }>0$: l’equazione risolvente ha due soluzioni distinte $t_1$ e $t_2$, le soluzioni del sistema sono:

• $\mathrm{\Delta }=0$: l’equazione risolvente ha radici coincidenti $t_1=t_2$, le soluzioni del sistema sono:

• $\mathrm{\Delta }<0$: l’equazione non ammette soluzioni reali. Il sistema è impossibile.

Sistemi simmetrici riconducibili al sistema simmetrico fondamentale

In questa categoria rientrano i sistemi simmetrici che, mediante artifici, possono essere trasformati in sistemi simmetrici del tipo visto nella sezione precedente.

Sistemi non simmetrici riconducibili a sistemi simmetrici

Rientrano in questa classe i sistemi che, pur non essendo simmetrici, possono essere trasformati, mediante opportune sostituzioni, in sistemi simmetrici. Naturalmente questi sistemi si possono risolvere anche con la procedura solita di sostituzione per i sistemi di secondo grado.

Sistemi simmetrici di grado superiore al secondo

Introduciamo le seguenti trasformazioni dette formule di Waring, dal nome del matematico che le ha formulate per primo. Con tali formule, si possono trasformare le potenze di un binomio in relazioni tra somme e prodotti delle due variabili che lo compongono. Indicate come $s$ somma delle variabili e $p$ il loro prodotto, le seguenti sono le prime formule fino alla quinta potenza.

• $a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=s^2-2p$;
• $a^3+b^3=(a+b{)}^3-3a^{2}b-3a{b}^2=(a+b{)}^3-3ab(a+b)=s^3-3ps$;
• $a^4+b^4=s^4-4{ps}^2+2p^2$;
• $a^5+b^5=s^5-5{ps}^3+5p^{2}s$.

Sistemi omogenei di quarto grado

I sistemi omogenei di quarto grado sono quindi nella forma: Template:Testo centrato

Primo caso  $d_1=0\wedge d_2=0$.

Il sistema si presenta nella forma $\{\begin{array}{c}{a}_1{x}^2+b_{1}xy+c_1{y}^2=0\\ a_2{x}^2+b_{2}xy+c_2{y}^2=0\end{array}.$ Un sistema di questo tipo ha sempre almeno la soluzione nulla $(0;0)$.

Per trovare le altre soluzioni del sistema poniamo $y=tx$ e sostituendo abbiamo: Template:Testo centrato

Supponendo $x\ne 0$, cioè $x\in {ℝ}_0$, possiamo dividere le due equazioni per $x^2$, otteniamo così due equazioni nell’incognita $t$ che possiamo risolvere. Se le due equazioni ammettono qualche soluzione comune allora il sistema ammette infinite soluzioni. Le soluzioni sono del tipo $x=k$ e $y=kt$, dove $t$ è la soluzione comune di cui si è detto prima.

Template:Algebra1/Esempio1

Secondo caso  $d_1=0\wedge d_2\ne 0$.

Il sistema si presenta nella forma $\{\begin{array}{c}{a}_1{x}^2+b_{1}xy+c_1{y}^2=0\\ a_2{x}^2+b_{2}xy+c_2{y}^2=d_2\end{array}.$

Ponendo $y=tx$ si ha $\{\begin{array}{c}{a}_1{x}^2+b_{1}t{x}^2+c_1{t}^2{x}^2=0\\ a_2{x}^2+b_{2}t{x}^2+c_2{t}^2{x}^2=d_2\end{array}$.

Dividendo per $x^2$ la prima equazione ($\text{C.E.}x\in {ℝ}_0$) si ha $\{\begin{array}{c}{a}_1+b_{1}t+{c_{1}t}^2=0\\ x^2(a_2+b_{2}t+c_2{t}^2)=d_2\end{array}.$

Si risolve la prima equazione nell’incognita $t$; si sostituiscono i valori trovati nella seconda equazione e si ricavano i valori di $x$ e di seguito i valori di $y$ con $y=tx$.

Template:Algebra1/Esempio1

Terzo caso  $d_1\ne 0\wedge d_2\ne 0$.

Il sistema si presenta nella forma $\{\begin{array}{c}{a}_1{x}^2+b_{1}xy+c_1{y}^2=d\\ a_2{x}^2+b_{2}xy+c_2{y}^2=d_2\end{array}.$

Ponendo $y=tx$ si ha $\{\begin{array}{c}{x}^2(a_1+b_{1}t+c_1{t}^2)=d_1\\ x^2(a_2+b_{2}t+c_2{t}^2)=d_2\end{array}.$

Dividendo membro a membro le due equazioni, sotto la condizione $x\ne 0\wedge a_2+b_{2}t+c_2{t}^2\ne 0$, otteniamo Template:Testo centrato che è una equazione di secondo grado nell’incognita $t.$

Se l’equazione ha come soluzioni $t_1$ e $t_2$ dobbiamo poi risolvere i sistemi Template:Testo centrato

Metodo di addizione

In alcuni casi è utile applicare questo metodo per eliminare velocemente i termini di secondo grado.

Sostituzione delle variabili

In alcuni casi, sostituendo in modo opportuno le variabili, il sistema può essere risolto più facilmente.

Problemi che si risolvono con sistemi di grado superiore al primo

Riprendiamo un problema già discusso. Considerare più variabili ci permette di facilitare il processo di traduzione in linguaggio matematico.