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{{Equazioni differenziali alle derivate parziali}}

Per la risoluzione delle equazioni presentate all'inizio del corso è necessario introdurre un nuovo strumento di calcolo: la '''trasformata di Fourier'''. Innanzitutto si nota che presa la funzione <math>e^{i\underline{k}\cdot\underline{x}}</math>, la sua derivata rispetto alla componente <math>x_j</math> ha un comportamento piuttosto particolare, infatti:

<math> \frac{\partial e^{i\underline{k}\cdot\underline{x}} }{\partial x_j}=ik_je^{i\underline{k}\cdot\underline{x}}</math>

Ovvero, la derivata parziale si comporta in maniera molto semplice e si osserva che rispetto a essa la funzione <math>e^{i\underline{k}\cdot\underline{x}}</math> è in realtà una autofunzione, con autovalore associato pari a <math>ik_j</math>. Consideriamo ora un elemento <math>\alpha\in\mathbb{N}^n, \mathbb{N}=\left\lbrace0,1,2,\dots\right\rbrace</math>, che corrisponde a una stringa di n numeri che chiameremo '''multiindice'''. La quantità

<math> \mid\alpha\mid=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i</math>

si dice '''modulo del multiindice''' <math>\alpha</math>. Inoltre si ha che:

<math> \alpha!=\alpha_1!\alpha_2!\dots\alpha_n!</math>

La notazione dei multiindici è estremamente importante in analisi matematica, ed è utilizzata per indicare particolari elementi, le derivate parziali e gli operatori differenziali:<ref>Nell'esempio qui proposto <math>\mathcal{P}</math> rappresenta un polinomio differenziale, <math>m</math> il massimo ordine di derivazione e <math>c_\alpha</math> degli opportuni coefficienti complessi, non necessariamente costanti.</ref>

<math> \xi^\alpha=\xi_1^{\alpha_1}\xi_2^{\alpha_2}\dots\xi_n^{\alpha_n},\;\xi\in\mathbb{R}^n</math>

<math> \partial^\alpha=\frac{\partial^{\mid\alpha\mid}}{\partial_{x_1}^{\alpha_1}\partial_{x_2}^{\alpha_2}\dots\partial_{x_n}^{\alpha_n}}</math>

<math> \mathcal{P}(\partial)=\sum_{\mid\alpha\mid\leq m}c_\alpha \partial^\alpha</math>

Un esempio di operatore differenziale agente su <math>e^{i\underline{k}\cdot\underline{x}}</math>:

<math> \mathcal{P}(\partial)e^{i\underline{k}\cdot\underline{x}}=\sum_{\mid\alpha\mid\leq n}c_\alpha\partial^\alpha e^{i\underline{k}\cdot\underline{x}}=</math>

<math> =\sum c_\alpha(ik)^\alpha e^{i\underline{k}\cdot\underline{x}}=\mathcal{P}(ik)e^{i\underline{k}\cdot\underline{x}}</math>

Prendiamo ad esempio il laplaciano: esso è un operatore differenziale di quelli appena definiti. Dunque, posto <math>\mathcal{P}(\partial)=-\Delta</math>, si ha:

<math> -\Delta\left(e^{i\underline{k}\cdot\underline{x}}\right)=-\left[(ik_1)^2+(ik_2)^2+\dots+(ik_n)^2\right]e^{i\underline{k}\cdot\underline{x}}=</math>

<math> =\left[k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+\dots+k_{n}^{2}\right]e^{i\underline{k}\cdot\underline{x}}=\mid\underline{k}\mid^2e^{i\underline{k}\cdot\underline{x}}</math>

Quindi <math>e^{i\underline{k}\cdot\underline{x}}</math> (onde piane) sono particolari autofunzioni dell'operatore laplaciano; le sfruttiamo per definire <math>\Psi(x)</math>, combinazione lineare di onde piane:

<math> \Psi(x)=\int_{\mathbb{R}^n}e^{i\underline{k}\cdot\underline{x}}A(k)dk,\;A(k)\text{ funzione peso}</math>

L'integrale sopra definito altro non è che la trasformata di Fourier di <math>A(k)</math>. Applichiamo l'operatore <math>\mathcal{P}(\partial)</math> alla <math>\Psi(x)</math>:

<math> \mathcal{P}(\partial)\Psi(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\mathcal{P}(\partial)e^{i\underline{k}\cdot\underline{x}}A(k)dk=</math>

<math> =\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {P}}(ik)e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}A(k)dk</math>

Dunque l'effetto di <math>\mathcal{P}(\partial)</math> è unicamente quello di modificare il peso di <math>\Psi(x)</math> da <math>A(k)</math> a <math>\mathcal{P}(ik)A(k)</math>. Nel caso in cui <math>\mathcal{P}(\partial)=-\Delta</math> si ha che:

<math> -\Delta\Psi(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\mid k\mid^{2}A(k)e^{i\underline{k}\cdot\underline{x}}dk</math>

== Note ==
<references />

{{Avanzamento|100%|18 agosto 2024}}
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