Equazioni differenziali alle derivate parziali/La trasformata di Fourier

Per la risoluzione delle equazioni presentate all'inizio del corso è necessario introdurre un nuovo strumento di calcolo: la trasformata di Fourier. Innanzitutto si nota che presa la funzione $e^{i\underset{\_}{k}\cdot \underset{\_}{x}}$, la sua derivata rispetto alla componente $x_j$ ha un comportamento piuttosto particolare, infatti:

$\frac{\partial e^{i\underset{\_}{k}\cdot \underset{\_}{x}}}{\partial x_j}=i{k}_j{e}^{i\underset{\_}{k}\cdot \underset{\_}{x}}$

Ovvero, la derivata parziale si comporta in maniera molto semplice e si osserva che rispetto a essa la funzione $e^{i\underset{\_}{k}\cdot \underset{\_}{x}}$ è in realtà una autofunzione, con autovalore associato pari a $i{k}_j$. Consideriamo ora un elemento $\alpha \in {\mathbb{N}}^n,\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$, che corrisponde a una stringa di n numeri che chiameremo multiindice. La quantità

$\mid \alpha \mid =\sum _{i=1}^n{\alpha }_i$

si dice modulo del multiindice $\alpha$. Inoltre si ha che:

$\alpha !={\alpha }_1!{\alpha }_2!\dots {\alpha }_n!$

La notazione dei multiindici è estremamente importante in analisi matematica, ed è utilizzata per indicare particolari elementi, le derivate parziali e gli operatori differenziali:

${\xi }^{\alpha }={\xi }_1^{{\alpha }_1}{\xi }_2^{{\alpha }_2}\dots {\xi }_n^{{\alpha }_n},\xi \in {ℝ}^n$

${\partial }^{\alpha }=\frac{{\partial }^{\mid \alpha \mid }}{{\partial }_{x_1}^{{\alpha }_1}{\partial }_{x_2}^{{\alpha }_2}\dots {\partial }_{x_n}^{{\alpha }_n}}$

$𝒫(\partial )=\sum _{\mid \alpha \mid \le m}{c}_{\alpha }{\partial }^{\alpha }$

Un esempio di operatore differenziale agente su $e^{i\underset{\_}{k}\cdot \underset{\_}{x}}$:

$𝒫(\partial )e^{i\underset{\_}{k}\cdot \underset{\_}{x}}=\sum _{\mid \alpha \mid \le n}{c}_{\alpha }{\partial }^{\alpha }{e}^{i\underset{\_}{k}\cdot \underset{\_}{x}}=$

$=\sum c_{\alpha }(ik{)}^{\alpha }{e}^{i\underset{\_}{k}\cdot \underset{\_}{x}}=𝒫(ik)e^{i\underset{\_}{k}\cdot \underset{\_}{x}}$

Prendiamo ad esempio il laplaciano: esso è un operatore differenziale di quelli appena definiti. Dunque, posto $𝒫(\partial )=-\mathrm{\Delta }$, si ha:

$-\mathrm{\Delta }\left(e^{i\underset{\_}{k}\cdot \underset{\_}{x}}\right)=-[(i{k}_1{)}^2+(i{k}_2{)}^2+\dots +(i{k}_n{)}^2]e^{i\underset{\_}{k}\cdot \underset{\_}{x}}=$

$=[k_1^2+k_2^2+\dots +k_n^2]e^{i\underset{\_}{k}\cdot \underset{\_}{x}}=\mid \underset{\_}{k}{\mid }^2{e}^{i\underset{\_}{k}\cdot \underset{\_}{x}}$

Quindi $e^{i\underset{\_}{k}\cdot \underset{\_}{x}}$ (onde piane) sono particolari autofunzioni dell'operatore laplaciano; le sfruttiamo per definire $\mathrm{\Psi }(x)$, combinazione lineare di onde piane:

$\mathrm{\Psi }(x)={\int }_{{ℝ}^n}{e}^{i\underset{\_}{k}\cdot \underset{\_}{x}}A(k)dk,A(k)\text{ funzione peso}$

L'integrale sopra definito altro non è che la trasformata di Fourier di $A(k)$. Applichiamo l'operatore $𝒫(\partial )$ alla $\mathrm{\Psi }(x)$:

$𝒫(\partial )\mathrm{\Psi }(x)={\int }_{{ℝ}^n}𝒫(\partial )e^{i\underset{\_}{k}\cdot \underset{\_}{x}}A(k)dk=$

$={\int }_{{ℝ}^n}𝒫(ik)e^{i\underset{\_}{k}\cdot \underset{\_}{x}}A(k)dk$

Dunque l'effetto di $𝒫(\partial )$ è unicamente quello di modificare il peso di $\mathrm{\Psi }(x)$ da $A(k)$ a $𝒫(ik)A(k)$. Nel caso in cui $𝒫(\partial )=-\mathrm{\Delta }$ si ha che:

$-\mathrm{\Delta }\mathrm{\Psi }(x)={\int }_{{ℝ}^n}\mid k{\mid }^{2}A(k)e^{i\underset{\_}{k}\cdot \underset{\_}{x}}dk$