Algebra lineare e geometria analitica/Applicazioni lineari (esercizi)

Problema

Determinare se esiste una applicazione lineare $f:{ℝ}^3\to {ℝ}^3$ tale che

$f\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

$f\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

$f\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 3\end{array}\right)$

• Soluzione:

Si trova che i tre vettori del dominio sono linearmente dipendenti:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

essendo l'applicazione f lineare si avra' (proprieta' additiva delle applicazioni lineari):

$f\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)=f\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)+f\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 3\end{array}\right)$

il che è una contraddizione. Si conclude che non esiste tale applicazione lineare.

Problema

Proviamo a cambiare le condizioni iniziali del problema precedente:

$f\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

$f\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

$f\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\end{array}\right)$

• Soluzione:

Completiamo ad una base di R³ due qualsiasi dei vettori del dominio di f aggiungendo un vettore linearmente indipendente:

$ℬ=\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)\}$

ponendo:

$f\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$

$v=\alpha \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)+\beta \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)+\gamma \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

COMPLETARE

Problema

$U=\{\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\in {ℝ}^3|x+y+2z=0\}{U}_1=\{\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\in {ℝ}^3|x-y-z=0\}$

$W=\{\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\in {ℝ}^3|x-y-3z=0\}{W}_1=\{\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\in {ℝ}^3|2x-2y-z=0\}$

Costruire f lineare tale che f (U) = U₁ e f (W) = W₁.