Algebra lineare e geometria analitica/Applicazioni lineari (esercizi)

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Problema

Determinare se esiste una applicazione lineare f:ℝ3→ℝ3 tale che

f(101)=(212)
f(111)=(001)
f(212)=(313)
  • Soluzione:

Si trova che i tre vettori del dominio sono linearmente dipendenti:

(101)+(111)=(212)

essendo l'applicazione f lineare si avra' (proprieta' additiva delle applicazioni lineari):

f(212)=f(101)+f(111)=(212)+(001)=(213)≠(313)

il che è una contraddizione. Si conclude che non esiste tale applicazione lineare.

Problema

Proviamo a cambiare le condizioni iniziali del problema precedente:

f(101)=(212)
f(111)=(001)
f(212)=(213)
  • Soluzione:

Completiamo ad una base di R3 due qualsiasi dei vettori del dominio di f aggiungendo un vettore linearmente indipendente:

ℬ={(101),(111),(100)}

ponendo:

f(100)=(abc)
v=α(101)+β(111)+γ(100)


COMPLETARE

Problema

U={(xyz)∈ℝ3|x+y+2z=0}U1={(xyz)∈ℝ3|x−y−z=0}
W={(xyz)∈ℝ3|x−y−3z=0}W1={(xyz)∈ℝ3|2x−2y−z=0}

Costruire f lineare tale che f (U) = U1 e f (W) = W1.

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