Analisi vettoriale/Derivata direzionale di un vettore

Lo scalare $div𝐚$ ed il vettore $rot𝐚$, come abbiamo già indicato, possono venire chiamati le derivate spaziali vettoriali e scalari del vettore $𝐚$, rispettivamente. Esse hanno un significato geometrico diretto che consegue dalle equazioni E.18 e E.29, e insieme con il gradiente di uno scalare sono i concetti fondamentali dell'analisi vettoriale.

L'associazione dei valori dello scalare $div𝐚$ e del vettore $rot𝐚$ ad un dato punto, tuttavia, non è sufficiente per determinare in questo punto la derivata direzionale arbitraria del vettore $𝐚$ (laddove la derivata direzionale arbitraria dello scalare $\varphi$ è determinata inequivocabilmente con il collocamento del vettore $grad\varphi$).

Infatti, la derivata di un vettore $𝐚$ rispetto ad una direzione arbitraria C può venire determinata procedendo secondo la seguente costruzione geometrica. Assumiamo che i valori di un vettore a in due punti vicini P e P' uguaglino i valori a e a' , rispettivamente, e che la direzione del segmento $\mathrm{\Delta }c$ sia quella di c. Se la differenza tra a e a' uguaglia $\mathrm{\Delta }𝐚$, allora la derivata $\frac{\delta 𝐚}{\delta c}$ sarà

$\frac{\delta 𝐚}{\delta c}=\underset{P{P}^{\prime }\to 0}{\lim }\frac{{𝐚}^{\prime }-𝐚}{P{P}^{\prime }}=\underset{\mathrm{\Delta }c\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }𝐚}{\mathrm{\Delta }c}(E.33)$

Così, la direzione del vettore $\frac{\delta 𝐚}{\delta c}$ coincide con la direzione limite del vettore $\mathrm{\Delta }𝐚$, ma generalmente differisce dalla direzione dei vettori $𝐚$ e $𝐜$

Inoltre, se le coordinate dei punti P e P' differiscono l'uno dall'altro di ${\mathrm{\Delta }}_x$, ${\mathrm{\Delta }}_y$ e ${\mathrm{\Delta }}_z$, allora con una accuratezza fino al secondo ordine infinitesimale, otteniamo

${𝐚}^{\prime }-𝐚=\frac{\delta 𝐚}{\delta x}\mathrm{\Delta }x+\frac{\delta 𝐚}{\delta y}\mathrm{\Delta }y+\frac{\delta 𝐚}{\delta z}\mathrm{\Delta }z$

Introducendo ciò nella equazione precedente e prendendo in considerazione che

$\frac{\mathrm{\Delta }x}{P{P}^{\prime }}=cos(x,𝐜)\frac{\mathrm{\Delta }y}{P{P}^{\prime }}=cos(y,𝐜)\frac{\mathrm{\Delta }z}{P{P}^{\prime }}=cos(z,𝐜)$

otteniamo

$\frac{\delta 𝐚}{\delta c}=\underset{P{P}^{\prime }\to 0}{\lim }\frac{{𝐚}^{\prime }-𝐚}{P{P}^{\prime }}=cos(x,𝐜)\frac{\delta 𝐚}{\delta x}+cos(x,𝐜)\frac{\delta 𝐚}{\delta y}+cos(x,𝐜)\frac{\delta 𝐚}{\delta z}(E.34)$

Perciò, per determinare la derivata direzionale casuale di un vettore $𝐚$ in un dato punto, si deve set nove quantità: le tre componenti $\frac{\delta a_x}{\delta x},\frac{\delta a_x}{\delta x},\frac{\delta a_x}{\delta x}$ della quantità $\frac{\delta 𝐚}{\delta x}$ e, corrispondentemente, tre componenti di ciascuna delle quantità $\frac{\delta 𝐚}{\delta y}$ e $\frac{\delta 𝐚}{\delta z}$.

La combinazione di queste nove quantità forma le componenti di un tensore stabilendo le quali si determinano entrambe le derivate direzionali casuali del vettore $𝐚$ e i valori delle quantità $div𝐚$ e $rot𝐚$ Template:Avanzamento