Teoria dei segnali2/Segnali e vettori

Template:Teoria dei segnali2 Il segnale è una funzione complessa in funzione del tempo che definisce la "forma" del segnale.

Operazioni sui segnali

• trasmissione: il trasporto da un punto all'altro dello spazio del segnale;
• memorizzazione: il segnale è fruibile anche a distanza di tempo;
• elaborazione: eliminazione del rumore, combinazione di più segnali...

Esempi di segnali

• segnale elettrico: costituito da una tensione o una corrente variante nel tempo, spesso generate da trasduttori, ossia dispositivi che permettono di misurare una grandezza scalare (es. temperatura, altezza, velocità) convertendola in un segnale elettrico;
• segnale vocale: si misura fisicamente come variazione della pressione dell'aria in funzione del tempo;
• segnale video: è più complesso perché è necessario discretizzare due delle tre variabili indipendenti x, y e t e definire le informazioni sul colore (o sulla luminosità se in bianco e nero).

Nel caso di un segnale video, discretizzare il tempo t corrisponde a considerare i singoli fotogrammi, e discretizzare le coordinate y significa suddividere il fotogramma in righe orizzontali.

In generale, una sequenza $f_n$ o $f\left(n\right)$ è la rappresentazione matematica discretizzata nel tempo del segnale di funzione $f$.

Il convertitore A/D serve per digitalizzare un segnale analogico:

• campionamento: il segnale viene campionato in base all'intervallo di campionamento $\mathrm{\Delta }t$ scelto;
• quantizzazione: il quantizzatore traduce ogni valore scalare campionato in un simbolo che appartiene a un alfabeto di cardinalità finita, cioè lo approssima al valore più vicino tra quelli scelti da un insieme finito.

Il processo casuale è lo strumento matematico che definisce le caratteristiche di una certa classe di segnale (vocali, video, dati...). Nel caso dei segnali vocali, teoricamente si dovrebbe registrare un certo numero statistico di parlatori e cercare di capire quali caratteristiche (come la frequenza) sono proprie di un segnale vocale, associando a ciascuna caratteristica di ciascun parlatore una probabilità.

Segnali analogici tempo-continui

Un segnale analogico tempo-continuo è descritto da una funzione complessa $x\left(t\right)$, che si rappresenta graficamente nelle due parti reale $x_R\left(t\right)$ e immaginaria $x_I\left(t\right)$.

Un segnale è a supporto limitato se la sua funzione è nulla al di fuori di un intervallo finito $(a,b)$ detto supporto.

Un segnale è ad ampiezza limitata se la funzione assume valori compresi in un intervallo finito.

Un segnale fisico si distingue dal segnale matematico per il fatto che è sia ad ampiezza limitata sia a supporto limitato.

I segnali impulsivi divergono ad un'ampiezza illimitata all'interno di un supporto infinitesimo.

Energia e potenza media

L'energia di un segnale $x\left(t\right)$ vale:

$E\left(x\right)\triangleq \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\left|x\right|}^{2}dt$

Se l'integrale nella definizione di energia diverge, si prende in considerazione la potenza media di un segnale:

$P\left(x\right)\triangleq \underset{a\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2a}\underset{-a}{\overset{a}{\int }}{\left|x\right|}^{2}dt$

In questo caso ${\left|x\right|}^2=x{x}^{*}$ è detta potenza istantanea.

Un segnale fisico ha energia finita. I segnali a energia finita hanno potenza media nulla.

Periodicità

Un segnale è periodico di periodo $T$ e funzione $x\left(t\right)$:

$x\left(t\right)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{x}_T(t-nT)$

se vale la proprietà seguente:

$\mathrm{\exists }T:x\left(t\right)=x(t+T)\mathrm{\forall }t$

Un segnale aperiodico si può pensare come come un segnale periodico di periodo $T\to +\mathrm{\infty }$.

Energia

L'energia $E\left(x\left(t\right)\right)$ di un segnale periodico è infinita. Template:Cassetto

Potenza media

La potenza media $P\left(x\left(t\right)\right)$ di un segnale periodico dipende dall'energia del segnale all'interno di un singolo periodo $E\left(x_T\left(t\right)\right)$:

$P\left(x\left(t\right)\right)=\frac{1}{T}E\left(x_T\left(t\right)\right)$

La presenza di uno o più impulsi non fa diventare infinita la potenza.

Spazio dei segnali

Lo spazio dei segnali può essere visto come uno spazio vettoriale: un segnale può essere costruito a partire da più segnali elementari così come un vettore può essere costruito a partire da più vettori.

Distanza

Uno spazio metrico è un insieme di elementi su cui è possibile definire una distanza. La distanza ha le seguenti proprietà:

• non negativa: $d(x,y)\ge 0\mathrm{\forall }x,y$
• simmetrica: $d(x,y)=d(y,x)$
• $d(x,y)=0\Rightarrow x=y$
• disuguaglianza triangolare: $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$

Lo spazio dei segnali è uno spazio metrico.

La distanza è utile nel confronto di due segnali $x\left(t\right)$ e $y\left(t\right)$:

$d(x,y)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}|x-y|dt$

Si usa di solito la distanza euclidea:

$d(x,y)={\Vert x-y\Vert }_2=\sqrt{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{|x-y|}^{2}dt}$

Prodotto scalare

Nello spazio dei numeri complessi il prodotto scalare è così definito:

$⟨𝐱,𝐲⟩=⟨(x_1,\dots ,x_n),(y_1,\dots ,y_n)⟩\triangleq \sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i^{*}\in ℂ,𝐱,𝐲\in {ℂ}^n$

Nello spazio dei segnali il prodotto scalare è così definito:

$⟨x,y⟩\triangleq \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}x{y}^{*}dt$

Norma

La norma nello spazio dei segnali è così definita:

$\Vert x\Vert \triangleq \sqrt{⟨x,x⟩}=\sqrt{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}x{x}^{*}dt}$

e ricordando che nei numeri complessi vale ${\left|z\right|}^2=z{z}^{*}$:

$\Vert x\Vert =\sqrt{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\left|x\right|}^{2}dt}=\sqrt{E\left(x\right)}\Rightarrow E\left(x\right)={\Vert x\Vert }^2$

Ortogonalità

Secondo la disuguaglianza di Schwarz, il modulo del prodotto scalare tra due vettori al quadrato è sempre minore o uguale del prodotto delle loro energie:

${|⟨𝐱,𝐲⟩|}^2\le {\Vert 𝐱\Vert }^2{\Vert 𝐲\Vert }^2$

da cui deriva:

$0\le \frac{⟨𝐱,𝐲⟩}{\Vert 𝐱\Vert \Vert 𝐲\Vert }\le 1$

L'uguaglianza vale quando $𝐱$ e $𝐲$ sono proporzionali:

${|⟨𝐱,𝐲⟩|}^2={\Vert 𝐱\Vert }^2{\Vert 𝐲\Vert }^2\iff 𝐱=\alpha 𝐲$

L'angolo $\theta$ tra due segnali $x\left(t\right)$ e $y\left(t\right)$ è così definito:

$\cos \theta \triangleq \frac{⟨x,y⟩}{\Vert x\Vert \Vert y\Vert }$

Due segnali $x\left(t\right)$ e $y\left(t\right)$ si dicono ortogonali tra loro se l'angolo $\theta$ è nullo, cioè se il loro prodotto scalare è nullo:

$\theta =0\Rightarrow ⟨x,y⟩=0$

L'energia della somma di due segnali $x\left(t\right)$ e $y\left(t\right)$ è data da:

$E(x+y)=E\left(x\right)+E\left(y\right)+2\mathrm{\Re }⟨x,y⟩$

Se i due segnali sono ortogonali:

$⟨x,y⟩=0\Rightarrow E(x+y)=E\left(x\right)+E\left(y\right)$

Basi ortonormali

Una coppia di vettori $({𝐰}_i,{𝐰}_j)$ appartiene a una base ortonormale se e solo se:

• ${𝐰}_i$ e ${𝐰}_j$ sono ortogonali tra loro:

  $⟨{𝐰}_i,{𝐰}_j⟩=0\mathrm{\forall }i\ne j$

• ${𝐰}_i$ e ${𝐰}_j$ hanno entrambi norma unitaria:

  $\Vert {𝐰}_i\Vert =1\mathrm{\forall }i$

Queste due condizioni possono essere riassunte da questa relazione:

$⟨{𝐰}_i,{𝐰}_j⟩={\delta }_{ij}$

dove ${\delta }_{ij}$ è la delta di Kronecker:

${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{c}1\text{se}i=j\\ 0\text{altrimenti}\end{array}$

Data una base ortonormale $({𝐰}_1,\dots ,{𝐰}_n)$, un generico vettore $𝐱$ può essere rappresentato come combinazione lineare degli elementi della base:

$𝐱=(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i=1}^n⟨𝐱,{𝐰}_i⟩{𝐰}_i=\sum _{i=1}^n{x}_i{𝐰}_i$

Nello spazio dei segnali esistono infinite basi ortonormali: a partire da una qualsiasi base ortonormale, è possibile ottenere un'altra base ortonormale applicando una rotazione di un certo angolo $\theta$ a tutti gli elementi della base. Ad esempio, nello spazio euclideo a 2 dimensioni si applica la trasformazione unitaria partendo dalla base canonica:

$\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\}\times \left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)=\{\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-\sin \theta \\ \cos \theta \end{array}\right)\}$

Fissata una delle possibili basi ortonormali, si può stabilire una corrispondenza biunivoca tra i segnali ed uno spazio vettoriale euclideo a $n$ dimensioni, associando a ogni segnale $x\left(t\right)$ il vettore $𝐱$ a $n$ dimensioni costituito dai suoi coefficienti:

$x\left(t\right)=\sum _{i=1}^n{x}_i{w}_i\left(t\right)⟷𝐱=(x_1,\dots ,x_n)$

Approssimazione di un segnale

Lo spazio dei segnali in realtà ha dimensione infinita, cioè per rappresentare tutti i segnali possibili sarebbe necessaria una base costituita da infiniti versori → si può semplificare approssimando un segnale generico $𝐱$ a un segnale $\widehat{𝐱}$, formato dalla combinazione lineare dei versori ${𝐰}_i$ che sono basi ortonormali di uno spazio ridotto di dimensioni finite $n$. Si dimostra che la migliore approssimazione, corrispondente alla minima distanza euclidea dal segnale di partenza, si ottiene se i coefficienti della combinazione lineare coincidono con i prodotti scalari tra il segnale generico $𝐱$ stesso e i versori ${𝐰}_i$ della base:

$\widehat{𝐱}=\sum _{i=1}^n⟨𝐱,{𝐰}_i⟩{𝐰}_i$

Semplificazione formule

Definendo una base ortonormale di $n$ elementi è possibile semplificare il calcolo del prodotto scalare, della distanza e dell'energia.

Prodotto scalare

$⟨x,y⟩\triangleq \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}x{y}^{*}dt=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i^{*}$

Energia

$E\left(x\right)\triangleq \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\left|x\right|}^{2}dt=\sum _{i=1}^n{\left|x_i\right|}^2$

Distanza

$d(x,y)\triangleq \sqrt{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{|x-y|}^{2}dt}=\sqrt{\sum _{i=1}^n{|x_i-y_i|}^2}$

	Definizione	Segnale	Vettore
Prodotto scalare	$⟨𝐱,𝐲⟩$	$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}x\left(t\right)y^{*}\left(t\right)dt$	$\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i^{*}$
Energia	$E\left(𝐱\right)\triangleq ⟨𝐱,𝐱⟩$	$\int {\left|x\left(t\right)\right|}^{2}dt$	$\sum _{i=1}^n{\left|x_i\right|}^2$
Norma	$\Vert 𝐱\Vert \triangleq \sqrt{E\left(𝐱\right)}=\sqrt{⟨𝐱,𝐱⟩}$	$\sqrt{\int {\left|x\left(t\right)\right|}^{2}dt}$	$\sqrt{\sum _{i=1}^n{\left|x_i\right|}^2}$
Distanza	$d(𝐱,𝐲)\triangleq \Vert 𝐱-𝐲\Vert$	$\sqrt{\int {|x\left(t\right)-y\left(t\right)|}^{2}dt}$	$\sqrt{\sum _{i=1}^n{|x_i-y_i|}^2}$

Procedura di Gram-Schmidt

In questo esempio il segnale $𝐱$ viene approssimato in uno spazio bidimensionale generato dai due versori ${𝐰}_1$ e ${𝐰}_2$.

Il segnale $𝐱$ perde un po' di energia nella proiezione su $\widehat{𝐱}$:

$E\left(𝐞\right)=E\left(𝐱\right)-\sum _{i=1}^n{|⟨𝐱,{𝐰}_i⟩|}^2\ge 0,𝐞=𝐱-\widehat{𝐱}$

Si ricava la diseguaglianza di Bessel:

$E\left(𝐱\right)\ge \sum _{i=1}^n{|⟨𝐱,{𝐰}_i⟩|}^2$

Se il segnale $𝐱$ è descritto da una base completa, vale l'uguaglianza di Parseval:

$E\left(𝐱\right)=\sum _{i=1}^n{|⟨𝐱,{𝐰}_i⟩|}^2$

In uno spazio vettoriale a $M$ dimensioni, cioè di cardinalità $M$, si ha un insieme finito di vettori $\{{𝐱}_1,{𝐱}_2,\dots ,{𝐱}_M\}$. La procedura di Gram-Schmidt permette di trovare il minimo numero $N\le M$, detto dimensionalità, di versori $\{{𝐰}_1,{𝐰}_2,\dots ,{𝐰}_N\}$, ortonormali tra di loro, necessario per formare una base per questi vettori:

$\begin{array}{c}{𝐰}_1\cdot \Vert {\widehat{𝐰}}_1\Vert ={\widehat{𝐰}}_1={𝐱}_1\\ {𝐰}_2\cdot \Vert {\widehat{𝐰}}_2\Vert ={\widehat{𝐰}}_2={𝐱}_2-{\widehat{𝐱}}_2={𝐱}_2-⟨{𝐱}_2,{𝐰}_1⟩{𝐰}_1\\ ⋮\\ {𝐰}_i\cdot \Vert {\widehat{𝐰}}_i\Vert ={\widehat{𝐰}}_i={𝐱}_i-{\widehat{𝐱}}_i={𝐱}_i-\sum _{k=1}^{i-1}⟨{𝐱}_i,{𝐰}_k⟩{𝐰}_k\\ ⋮\\ {𝐰}_N\cdot \Vert {\widehat{𝐰}}_N\Vert ={\widehat{𝐰}}_2={𝐱}_N-{\widehat{𝐱}}_N={𝐱}_N-\sum _{k=1}^{N-1}⟨{𝐱}_N,{𝐰}_k⟩{𝐰}_k\end{array}$

L'algoritmo termina alla $N$-esima iterazione quando il vettore errore $𝐞$ è nullo, ovvero quando il vettore proiezione ${\widehat{𝐱}}_N$ è linearmente dipendente rispetto al vettore ${𝐱}_N$ e non si genera un nuovo versore. Se $N<M$ significa che si è riusciti a introdurre una semplificazione. Cambiando l'ordine dei vettori considerati si possono ottenere versori diversi, ma la dimensionalità $N$ non varia.

Esempio

Si considerano due vettori ${𝐱}_1$ e ${𝐱}_2$ nello spazio bidimensionale ($M=2$):

1) viene scelto per primo il vettore ${𝐱}_1$:

2) viene scelto per primo il vettore ${𝐱}_2$: