Teoria dei segnali2/Processi casuali

Template:Teoria dei segnali2 Un processo casuale è un'espressione matematica che descrive una classe di segnali (voce, video, dati...), tramite una o più variabili casuali che corrispondono alle caratteristiche della classe di segnali. Nel caso dei segnali vocali, teoricamente si dovrebbe registrare un certo numero statistico di parlatori e cercare di capire quali caratteristiche (come la frequenza) sono proprie di un segnale vocale, associando a ciascuna caratteristica di ciascun parlatore una probabilità.

Un processo casuale $X\left(t\right)$ è quasi determinato se è esprimibile in funzione di un insieme numerabile di variabili casuali.

Il verificarsi dell'evento $s_i$ produce la realizzazione $x(t;s_i)$; fissato un certo $t_0$, si ottiene una serie di campioni $x(t_0,s_i)$.

• processi quasi determinati: segnale numerico, sinusoide, segnale sample & hold
• processi non quasi determinati: rumore termico, segnale vocale, segnale audio

Esempi di segnali quasi determinati

Segnale numerico	Segnale sample & hold	Sinusoide
$X\left(t\right)=\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\alpha }_{i}r(t-iT)$	$X_S\left(t\right)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}X\left(nT\right)h(t-nT)$	$X\left(t\right)=A\cos (2\pi ft+\phi )$

I segnali determinati sono dei casi degeneri dei processi casuali, perché un segnale determinato è la manifestazione di un'unica realizzazione avente probabilità 1 (non ci sono variabili casuali).

Descrizione probabilistica

Statistiche

Consideriamo un processo casuale $X(t;s)$ contenente la sola variabile casuale $s$ → a ogni valore $s_j$ è associata una realizzazione $x(t;s_j)$ (con $j=1,\dots ,M$).

Statistica di ordine 1

Fissato un tempo $t_1$, l'insieme dei campioni $x_1=x(t_1,s_j)$ costituisce l'insieme dei valori per la variabile casuale $X_1=x\left(t_1\right)$, per la quale è possibile definire la distribuzione cumulativa $F_{X_1}(x_1;t_1)$ e la densità di probabilità $f_{X_1}(x_1;t_1)$:

$F_{X_1}(x_1;t_1)=P(X_1<x_1)$

$f_{X_1}(x_1;t_1)=\frac{\partial }{\partial x_1}{F}_{X_1}(x_1;t_1)$

Statistica di ordine n

Considerando $n$ istanti di tempo $t_i$, si introduce una probabilità congiunta tra le $n$ variabili casuali $X_i$:

$F_{𝐗}(𝐱;𝐭)=F_{X_1,\dots ,X_n}(x_1,\dots ,x_n;t_1,\dots ,t_n)=P(X_1<x_1,\dots ,X_n<x_n)$

$f_{𝐗}(𝐱;𝐭)=f_{X_1,\dots ,X_n}(x_1,\dots ,x_n;t_1,\dots ,t_n)=\frac{{\partial }^n}{\partial x_1\cdots \partial x_n}{F}_{𝐗}(𝐱;𝐭)$

Un processo casuale è completamente caratterizzato/descritto se si conoscono le statistiche di qualsiasi ordine ($n\to \mathrm{\infty }$).

Media e autocorrelazione

Media d'insieme

$m_X\left(t\right)\triangleq E\left(X\left(t\right)\right)=\int x{f}_X(x;t)dx$

Funzione di autocorrelazione

$R_X(t_1,t_2)\triangleq E\left(X\left(t_1\right)X^{*}\left(t_2\right)\right)=\iint x_1{x}_2^{*}{f}_{X_1,X_2}(x_1,x_2;t_1,t_2)d{x}_{1}d{x}_2$

Autocovarianza

$K_X(t_1,t_2)\triangleq E\left\{[X\left(t_1\right)-m_X\left(t_1\right)]{[X\left(t_2\right)-m_X\left(t_2\right)]}^{*}\right\}=R_X(t_1,t_2)-m_X\left(t_1\right)m_X^{*}\left(t_2\right)$

Coefficiente di correlazione

${\rho }_X(t_1,t_2)\triangleq \frac{K_X(t_1,t_2)}{\sqrt{K_X(t_1,t_1)K_X(t_2,t_2)}}$