Teoria dei segnali2/Trasformazioni e spettro di potenza

Trasformazioni lineari di processi casuali

Un sistema deterministico che elabora un processo casuale $X\left(t\right)$ fornisce alla sua uscita un processo casuale $Y\left(t\right)$.

Se il sistema è lineare, la media:

$m_Y\left(t\right)\triangleq E\left(Y\left(t\right)\right)$

e la funzione di autocorrelazione:

$R_Y(t_1,t_2)\triangleq E\left(Y\left(t_1\right)Y^{*}\left(t_2\right)\right)$

dell'uscita sono esprimibili rispettivamente in funzione della media e dell'autocorrelazione dell'ingresso $X\left(t\right)$.

Esempi

Integrale

$Y\left(t\right)=\underset{T_1}{\overset{t}{\int }}X\left(\tau \right)d\tau \Rightarrow \{\begin{array}{c}{m}_Y\left(t\right)=\underset{T_1}{\overset{t}{\int }}{m}_X\left(a\right)da\\ R_Y(t_1,t_2)=\underset{T_1}{\overset{t_1}{\int }}\underset{T_1}{\overset{t_2}{\int }}{R}_X(a,b)dadb\end{array}$

Derivata

$Y\left(t\right)=\frac{d}{dt}X\left(t\right)\Rightarrow \{\begin{array}{c}{m}_Y\left(t\right)=\frac{d}{dt}{m}_X\left(t\right)\\ R_Y(t_1,t_2)=\frac{{\partial }^2}{\partial t_1\partial t_2}{R}_X(t_1,t_2)\end{array}$

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È spesso molto difficile determinare la distribuzione di probabilità del processo in uscita. Se il processo $X\left(t\right)$ in ingresso è gaussiano, allora il processo $Y\left(t\right)$ in uscita da un qualsiasi sistema lineare è ancora gaussiano.

Trasformazioni lineari tempo-invarianti

Se il sistema è LTI, di funzione di trasferimento $H\left(f\right)$, e il processo di ingresso $X\left(t\right)$ è stazionario in senso lato, valgono le seguenti espressioni:

• $m_Y=m_{X}H\left(0\right)=m_X\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}h\left(\tau \right)d\tau$
• $R_Y\left(\tau \right)=R_X\left(\tau \right)*R_h\left(\tau \right)$
• $R_{XY}\left(\tau \right)=R_X\left(\tau \right)*h\left(\tau \right)$

Si ricorda che la funzione di autocorrelazione $R$ è definita diversamente per i segnali determinati:

$R_h\left(\tau \right)\triangleq \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}h(t+\tau )h^{*}\left(t\right)dt$

Trasformazioni lineari tempo-varianti

Modulazione di ampiezza

Il segnale analogico è rappresentato dal processo in ingresso $M\left(t\right)$ (messaggio). Nella modulazione di ampiezza, il messaggio modula l'ampiezza della sinusoide portante (segnale determinato):

$Y\left(t\right)=[a_0+a_{1}M\left(t\right)]\cos (2\pi f_{0}t+\theta )$

Sotto le ipotesi:

• il processo $M\left(t\right)$ è stazionario in senso lato;
• il valor medio $E\left[M\left(t\right)\right]$ è nullo;

si ottiene:

$\{\begin{array}{c}{m}_Y\left(t\right)=a_{1}E\left[M\left(t\right)\right]\cos (2\pi f_{0}t+\phi )+a_0\cos (2\pi f_{0}t+\phi )\\ R_Y(t_1,t_2)=[a_0^2+a_1^2{R}_M(t_1-t_2)]\cos (2\pi f_0{t}_1+\phi )\cos (2\pi f_0{t}_2+\phi )\end{array}$

Per stazionarizzare il processo in uscita $Y\left(t\right)$, la fase $\phi$ diventa una variabile casuale uniforme in $[-\pi ,\pi ]$:

$\{\begin{array}{c}{m}_{Y^{\prime }}\left(t\right)=0\\ R_{Y^{\prime }}(t_1,t_2)=\frac{1}{2}[a_0^2+a_1^2{R}_M\left(\tau \right)]\cos \left(2\pi f_0\tau \right)\end{array}$

Modulazione di fase

Nella modulazione di fase, il messaggio modula la fase della sinusoide portante:

$Y\left(t\right)=a_0{e}^{j[a_{1}t+a_{2}M\left(t\right)+\theta ]}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{m}_Y\left(t\right)=a_{0}E\left[a_0{e}^{j{a}_{2}M\left(t\right)}{e}^{j(a_{1}t+\theta )}\right]\\ R_Y(t_1,t_2)=a_0^2{e}^{j{a}_1(t_1-t_2)}{C}_{\xi }\left(a_2\right),\xi =M\left(t_1\right)-M\left(t_2\right)\end{array}$

dove $C_{\xi }\left(a\right)$ è la funzione caratteristica:

$C_{\xi }\left(a\right)\triangleq E\left(e^{ja\xi }\right)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{jax}{f}_{\xi }\left(x\right)dx$

Nel caso di un processo gaussiano, stazionarizzando con $\theta$ variabile casuale uniforme in $[-\pi ,\pi ]$:

$\{\begin{array}{c}{m}_{Y^{\prime }}\left(t\right)=0\\ R_{Y^{\prime }}\left(\tau \right)=a_0^2{e}^{j{a}_1\tau }{e}^{-a_2^2[R_M\left(0\right)-R_M\left(\tau \right)]}\end{array}$

Se la sinusoide portante è reale:

$Y\left(t\right)=a_0\cos (a_{1}t+a_{2}M\left(t\right)+\theta )$

la funzione di autocorrelazione (sempre nel caso gaussiano) vale:

$R_{Y^{\prime }}\left(\tau \right)=\frac{1}{2}{a}_0^2\cos \left(a_1\tau \right)e^{-a_2^2[R_M\left(0\right)-R_M\left(\tau \right)]}$

Densità spettrale di potenza

La densità spettrale di potenza, o spettro di potenza, $S_X\left(f\right)$ di un processo $X\left(t\right)$ stazionario in senso lato è la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione $R_X\left(\tau \right)$:

$S_X\left(f\right)\triangleq ℱ\left\{R_X\left(\tau \right)\right\}=\int R_X\left(\tau \right)e^{-j2\pi f\tau }d\tau$

Proprietà

• $S_X\left(f\right)$ è reale e pari;
• $S_X\left(f\right)$ è sempre positiva;
• lo spettro di potenza $S_Y\left(\tau \right)$ di un processo $Y\left(t\right)$ stazionario in senso lato in uscita da un sistema LTI è:

  $R_Y\left(\tau \right)=R_X\left(\tau \right)*R_h\left(\tau \right)\Rightarrow S_Y\left(f\right)={\left|H\left(f\right)\right|}^2{S}_X\left(f\right)$

• l'integrale di $S_X\left(f\right)$ coincide con la potenza media $P\left[X\left(t\right)\right]$ del processo:

  $P\left[X\left(t\right)\right]=\int S_X\left(f\right)df=R_X\left(0\right)=E\left[X^2\left(t\right)\right]$

dove $E\left[X^2\left(t\right)\right]$ è il valore quadratico medio del processo.

Interpretazione fisica

Se il sistema LTI è un filtro $H\left(f\right)$ passabanda centrato alla frequenza $f_0$ con banda infinitesimale $\mathrm{\Delta }$:

la densità spettrale $S_X\left(f_0\right)$, centrata in $f_0$, del processo in ingresso $X\left(f\right)$ è proporzionale alla potenza media del processo in uscita $Y\left(f\right)$:

$E\left[Y^2\left(t\right)\right]=\int S_Y\left(f\right)df\approx 2\mathrm{\Delta }{S}_X\left(f_0\right)$

Rumore gaussiano bianco

Il rumore gaussiano bianco (Template:Tooltip) è un modello teorico per il processo termico generato ai capi di una resistenza a temperatura $T$:

• il processo $X\left(t\right)$ è stazionario e gaussiano;
• il valor medio è nullo;
• la densità spettrale di potenza è costante con la frequenza:

  $S_X\left(f\right)=\frac{N_0}{2},N_0=k_{B}T$

• la funzione di autocorrelazione $R_X\left(\tau \right)$:

  $R_X\left(\tau \right)={ℱ}^{-1}\left\{S_X\left(f\right)\right\}=\frac{N_0}{2}\delta \left(\tau \right)$

  • è nulla per $\tau =t_2-t_1\ne 0$ → qualsiasi coppia di campioni non prelevati allo stesso istante è scorrelata, e quindi statisticamente indipendente;
  • diverge se la coppia di campioni è prelevata nello stesso istante di tempo ($\tau =t_2-t_1=0$) → il processo ha potenza media infinita.

Quando un rumore gaussiano bianco $X\left(t\right)$ entra in un sistema LTI $H\left(f\right)$, il processo di uscita $Y\left(t\right)$ è gaussiano colorato (CGN) con spettro di potenza non più costante:

$S_Y\left(f\right)={\left|H\left(f\right)\right|}^2{S}_X\left(f\right)=\frac{N_0}{2}{\left|H\left(f\right)\right|}^2$