Teoria dei segnali2/Sistemi lineari

Template:Teoria dei segnali2 Un sistema è un blocco che trasforma un segnale $x\left(t\right)$ in un altro segnale $y\left(t\right)$:

$y\left(t\right)=𝒯\left\{x\left(t\right)\right\}$

È una relazione deterministica: a un certo segnale $x\left(t\right)$ corrisponde sempre il segnale $y\left(t\right)$.

Classificazione

Sistemi lineari

Un sistema è lineare se vale il principio di sovrapposizione degli effetti:

$𝒯\{a_1{x}_1\left(t\right)+a_2{x}_2\left(t\right)\}=a_1𝒯\left\{x_1\left(t\right)\right\}+a_2𝒯\left\{x_2\left(t\right)\right\}$

La trasformata di Fourier è un sistema lineare.

Sistemi tempo-invarianti

Un sistema è tempo-invariante se un ritardo sugli ingressi si traduce in un ritardo sulle uscite:

$𝒯\left\{x(t-\theta )\right\}=y(t-\theta )$

Sistemi causali

Un sistema è causale se l'uscita in un certo istante $t_0$ non dipende dagli ingressi negli istanti successivi, ma dipende solo dagli ingressi negli istanti precedenti e nell'istante corrente:

$y\left(t_0\right)=𝒯\left\{{x\left(t\right)|}_{-\mathrm{\infty }}^{t_0}\right\}\mathrm{\forall }{t}_0$

Sistemi senza memoria

Un sistema è senza memoria se l'uscita $y\left(t\right)$ dipende solo dal valore assunto dall'ingresso $x\left(t\right)$ nel dato istante di tempo $t_0$:

$y\left(t_0\right)=𝒯\left\{x\left(t_0\right)\right\}\mathrm{\forall }{t}_0$

Sistemi reali

Un sistema è reale se a un ingresso reale corrisponde un'uscita reale.

Un sistema è fisicamente realizzabile se è causale e reale.

Sistemi stabili

Un sistema è stabile se a un ingresso limitato in ampiezza corrisponde un'uscita limitata in ampiezza, e per questo motivo viene detto Bounded Input Bounded Output (BIBO):

$\mathrm{\forall }x\left(t\right):\left|x\left(t\right)\right|\in ℝ,\mathrm{\forall }t\Rightarrow \left|y\left(t\right)\right|\in ℝ,\mathrm{\forall }t$

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

I sistemi lineari tempo-invarianti (LTI) possono essere descritti da un'unica funzione $h\left(t\right)$ che è la risposta all'impulso:

$y\left(t\right)=𝒯\left\{x\left(t\right)\right\}=x\left(t\right)*h\left(t\right)$

dove:

$h\left(t\right)\triangleq 𝒯\left\{\delta \left(t\right)\right\}$

La trasformata di Fourier dell'uscita di un sistema LTI vale:

$Y\left(f\right)=ℱ\left\{𝒯\left\{x\left(t\right)\right\}\right\}=H\left(f\right)X\left(f\right)$

dove $H\left(f\right)$ è detta funzione di trasferimento:

$H\left(f\right)=\frac{Y\left(f\right)}{X\left(f\right)}$

I sistemi LTI non alterano la frequenza di un segnale sinusoidale posto all'ingresso, ma solo la fase e l'ampiezza → le sinusoidi sono autofunzioni di un sistema LTI: l'uscita di una sinusoide è la sinusoide stessa moltiplicata per una costante (complessa → modulo e fase). Template:Cassetto

Sistemi LTI causali

La risposta all'impulso $h\left(t\right)$ di un sistema LTI causale è nulla per $t<0$:

$h\left(t\right)=u\left(t\right)h\left(t\right)$

Sistemi LTI reali

La risposta all'impulso $h\left(t\right)$ di un sistema LTI reale è reale, e la funzione di trasferimento $H\left(f\right)$ deve avere:

• parte reale pari;
• parte immaginaria dispari;
• modulo pari;
• fase dispari.

Sistemi LTI stabili

Un sistema LTI è stabile se e solo se la risposta all'impulso $h\left(t\right)$ è modulo integrabile:

$\text{stabile}\iff \int \left|h\left(t\right)\right|dt\in ℝ\Rightarrow \left|H\left(f\right)\right|\in ℝ$

Esempi

Filtro RC con una porta di ingresso

$v_2\left(t\right)=Ri\left(t\right)+v_1\left(t\right)=RC\frac{d{v}_1\left(t\right)}{dt}+v_1\left(t\right)$

$V_2\left(f\right)=(1+j2\pi fRC)V_1\left(f\right)\Rightarrow H\left(f\right)=\frac{1}{1+j2\pi fRC}$

Canale radio con eco

Un segnale radio quando viene trasmesso si propaga in tutte le direzioni, e viene riflesso dagli oggetti fisici dell'ambiente, detti scatterer. Gli echi arrivano perciò al ricevitore ognuno con un certo ritardo ${\tau }_i$ e una certa amplificazione/attenuazione ${\alpha }_i$. Trasmettendo un impulso $\delta$, viene ricevuto un segnale con eco $h\left(t\right)$:

$h\left(t\right)=\sum _{i=1}^P{\alpha }_i\delta (t-{\tau }_i)$

dove $P$ è il numero di segnali eco che arrivano al ricevitore.

La sua trasformata $H\left(f\right)$ vale:

$H\left(f\right)=\sum _{i=1}^P{\alpha }_i{e}^{-j2\pi f{\tau }_i}$

Si dimostra che il suo modulo al quadrato vale:

${\left|H\left(f\right)\right|}^2=\sum _{i=1}^P{\left|{\alpha }_i\right|}^2+\sum _{i=1}^P\sum _{\stackrel{k=1}{k>1}}^{P}2{\alpha }_i{\alpha }_k\cos \left(2\pi f\mathrm{\Delta }{\tau }_{ik}\right)$

Se $P=1$, il canale non è selettivo in frequenza, cioè tutte le sinusoidi vengono moltiplicate per la stessa ampiezza:

$\left|H\left(f\right)\right|=\left|{\alpha }_1\right|$

Se $P=2$ si introduce la selettività in frequenza:

${\left|H\left(f\right)\right|}^2={\left|{\alpha }_1\right|}^2+{\left|{\alpha }_2\right|}^2+2{\alpha }_1{\alpha }_2\cos \left(2\pi f\mathrm{\Delta }{\tau }_{12}\right)$