Algebra 1/Calcolo Letterale/Frazioni Algebriche

Definizione di frazione algebrica

Diamo la seguente definizione:

Osserviamo che un’espressione di questo tipo si ottiene talvolta quando ci si propone di ottenere il quoziente di due monomi.

Quando vogliamo determinare il quoziente di una divisione tra un monomio e un polinomio o tra due polinomi, si presentano diversi casi.

Caso I  Monomio diviso un polinomio.

• Determinare il quoziente tra: $D=2a^{3}b$ e $d=a^2+b$.

Il dividendo è un monomio e il divisore un polinomio. Questa operazione non ha come risultato un polinomio ma una frazione. $q=2a^{3}b:(a^2+b)=\frac{2a^{3}b}{a^2+b}$.

Caso II  Un polinomio diviso un monomio.

• Determinare il quoziente tra: $D=2a^{3}b+a^5{b}^3-3a{b}^2$ e $d=\frac{1}{2}ab$.

$q=(2a^{3}b+a^5{b}^3-3a{b}^2):\left(\frac{1}{2}ab\right)=4a^2+2a^4{b}^2-6b$. Il quoziente è un polinomio.

• Determinare il quoziente tra: $D=2a^{3}b+a^5{b}^3-3a{b}^2$ e $d=\frac{1}{2}{a}^{5}b$.

Dividiamo ciascun termine del polinomio per il monomio assegnato: il quoziente sarà $q=(2a^{3}b+a^5{b}^3-3a{b}^2):\left(\frac{1}{2}{a}^{5}b\right)=\frac{4}{a^2}+2b^2-\frac{6b}{a^4}$. Il quoziente è una somma di frazioni algebriche.

Caso III  Un polinomio diviso un altro polinomio.

• Determinare il quoziente tra: $D=x-3$ e $d=x^2+1$.

La divisione tra polinomi in una sola variabile è possibile, quando il grado del dividendo è maggiore o uguale al grado del divisore; questa condizione non si verifica nel caso proposto. Il quoziente è la frazione algebrica $q=\frac{x-3}{x^2+1}$.

Conclusione  Una frazione algebrica può essere considerata come il quoziente indicato tra due polinomi. Ogni frazione algebrica è dunque un’espressione letterale fratta o frazionaria.

Condizioni di esistenza per una frazione algebrica

Per discussione di una frazione algebrica intendiamo la ricerca dei valori che attribuiti alle variabili non la rendano priva di significato. Poiché non è possibile dividere per $0$, una frazione algebrica perde di significato per quei valori che attribuiti alle variabili rendono il denominatore uguale a zero. Quando abbiamo una frazione algebrica tipo $\frac{A}{B}$ poniamo sempre la condizione di esistenza (abbreviato con $\text{C.E.}$): $B\ne 0$.

La determinazione della condizione di esistenza richiede una conoscenza dei metodi per risolvere le equazioni, argomento che verrà sviluppato nei prossimi capitoli.

Semplificazione di una frazione algebrica

Semplificare una frazione algebrica significa dividere numeratore e denominatore per uno stesso fattore diverso da zero. In questo modo, infatti, la proprietà invariantiva della divisione garantisce che la frazione ottenuta è equivalente a quella data. Quando semplifichiamo una frazione numerica dividiamo il numeratore e il denominatore per il loro $\text{MCD}$ che è sempre un numero diverso da zero, ottenendo così una frazione ridotta ai minimi termini equivalente a quella assegnata. Quando ci poniamo lo stesso problema su una frazione algebrica, dobbiamo porre attenzione a escludere quei valori che, attribuiti alle variabili, rendono nullo il $\text{MCD}$.

Le seguenti semplificazioni sono errate.

• $\frac{\cancel{a}+b}{\cancel{a}}$ questa semplificazione è errata perché $a$ e $b$ sono addendi, non sono fattori;
• $\frac{\cancel{x^2}+x+4}{\cancel{x^2}+2}$ questa semplificazione è errata perché $x^2$ è un addendo, non un fattore;
• $\frac{x^{\cancel{2}}+y^{\cancel{2}}}{(x+y{)}^{\cancel{2}}}=1$,$\frac{\cancel{3a}(a-2)}{\cancel{3a}x-7}=\frac{a-2}{x-7}$, $\frac{\cancel{(x-y^2)}\cancel{(a-b)}}{\cancel{(y^2-x)}\cancel{(a-b)}}=1$;
• $\frac{\cancel{(2x-3y)}}{(3y-2x{)}^{\cancel{2}}}=\frac{1}{3y-2x}$,$\frac{a^2+ab}{a^3}=\frac{\cancel{a}(a+b)}{a^{\cancel{3}2}}=\frac{\cancel{a}+b}{a^{\cancel{2}}}=\frac{1+b}{a}$.

Moltiplicazione di frazioni algebriche

Il prodotto di due frazioni è una frazione avente per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.

Si vuole determinare il prodotto $p=\frac{7}{15}\cdot \frac{20}{21}$; possiamo scrivere prima il risultato dei prodotti dei numeratori e dei denominatori e poi ridurre ai minimi termini la frazione ottenuta: $p=\frac{7}{15}\cdot \frac{20}{21}=\frac{{\cancel{140}}^4}{{\cancel{315}}^9}=\frac{4}{9}$, oppure prima semplificare i termini delle frazioni e poi moltiplicare: $p=\frac{7}{15}\cdot \frac{20}{21}=\frac{{\cancel{7}}^1}{{\cancel{15}}^3}\cdot \frac{{\cancel{20}}^4}{{\cancel{21}}^3}=\frac{4}{9}$.

Potenza di una frazione algebrica

La potenza di esponente $n$, naturale diverso da zero, della frazione algebrica $\frac{A}{B}$ con $B\ne 0$ ($\text{C.E.}$) è la frazione avente per numeratore la potenza di esponente $n$ del numeratore e per denominatore la potenza di esponente $n$ del denominatore: ${\left(\frac{A}{B}\right)}^n=\frac{A^n}{B^n}$.

Casi particolari dell’esponente

Se $n=0$ sappiamo che qualsiasi numero diverso da zero elevato a zero è uguale a $1$; lo stesso si può dire se la base è una frazione algebrica, purché essa non sia nulla. ${\left(\frac{A}{B}\right)}^0=1$ con $A\ne 0$ e $B\ne 0$.

Se $n$ è intero negativo la potenza con base diversa da zero è uguale alla potenza che ha per base l’inverso della base e per esponente l’opposto dell’esponente. ${\left(\frac{A}{B}\right)}^{-n}={\left(\frac{B}{A}\right)}^{+n}$ con $A\ne 0$ e $B\ne 0$.

Divisione di frazioni algebriche

Il quoziente di due frazioni è la frazione che si ottiene moltiplicando la prima con l’inverso della seconda. Lo schema di calcolo può essere illustrato nel modo seguente, come del resto abbiamo visto nell’insieme dei numeri razionali: Template:Testo centrato

Si vuole determinare il quoziente $q=\frac{5}{12}:\frac{7}{4}$. L’inverso di $\frac{7}{4}$ è la frazione $\frac{4}{7}$, dunque Template:Testo centrato

Addizione di frazioni algebriche

Proprietà della addizione tra frazioni algebriche

Nell’insieme delle frazioni algebriche la somma:

• è commutativa: $f_1+f_2=f_2+f_1$;
• è associativa: $(f_1+f_2)+f_3=f_1+(f_2+f_3)=f_1+f_2+f_3$;
• possiede l’elemento neutro, cioè esiste una frazione $F^0$ tale che per qualunque frazione $f$ si abbia $F^0+f=f+F^0=f$ cioè $F^0=0$;
• elemento inverso: per ogni frazione algebrica $f$ esiste la frazione opposta $(-f)$ tale che $(-f)+f=f+(-f)=F^0=0.$

Quest’ultima proprietà ci permette di trattare contemporaneamente l’operazione di addizione e di sottrazione con la somma algebrica, come abbiamo fatto tra numeri relativi; $(+1)+(-2)$ omettendo il segno di addizione “$+$” e togliendo le parentesi diventa $1-2$; $(+1)-(-2)$ omettendo il segno di sottrazione “$-$” e togliendo le parentesi diventa $1+2$. Come per i numeri relativi, quando si parlerà di somma di frazioni si intenderà “somma algebrica”.