Algebra 1/Calcolo Letterale/Polinomi

Definizioni fondamentali

Se tra i termini di un polinomio non sono presenti monomi simili, il polinomio si dice in forma normale o ridotto; se al contrario si presentano dei termini simili, possiamo eseguire la riduzione del polinomio sommando algebricamente i termini simili. Tutti i polinomi sono quindi riducibili in forma normale.

Un polinomio in forma normale può presentare, tra i suoi termini, un monomio di grado 0 che viene comunemente chiamato termine noto.

Un polinomio può anche essere costituito da un unico termine, pertanto un monomio è anche un polinomio. Un polinomio che, ridotto in forma normale, è somma algebrica di due, tre, quattro monomi non nulli si dice rispettivamente binomio, trinomio, quadrinomio.

Per esempio, il polinomio $x^4-x+1+4x^2$ può essere scritto sotto forma ordinata e completa come $x^4+0x^3+4x^2-x+1$.

Somma algebrica di polinomi

I polinomi sono somme algebriche di monomi e quindi le espressioni letterali che si ottengono dalla somma o differenza di polinomi sono ancora somme algebriche di monomi.

La differenza di polinomi si può trasformare in somma del primo polinomio con l’opposto del secondo polinomio.

Prodotto di un polinomio per un monomio

Per eseguire il prodotto tra il monomio $3x^{2}y$ e il polinomio $2xy+5x^3{y}^2$; indichiamo il prodotto con $\left(3x^{2}y\right)\cdot (2xy+5x^3{y}^2)$. Applichiamo la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione: $\left(3x^{2}y\right)\cdot (2xy+5x^3{y}^2)=6x^3{y}^2+15x^5{y}^3$.

Quoziente tra un polinomio e un monomio

Il quoziente tra un polinomio e un monomio si calcola applicando la proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione.

Prodotto di polinomi

Il prodotto di due polinomi è il polinomio che si ottiene moltiplicando ogni termine del primo polinomio per ciascun termine del secondo polinomio.

Divisione tra due polinomi

Polinomi in una sola variabile

Ricordiamo la divisione tra due numeri, per esempio $147:4$. Si tratta di trovare un quoziente $q$ e un resto $r<4$, in modo che $147=q\cdot 4+r$. Un algoritmo per trovare questi due numeri è il seguente:

I termini della divisione

Verifichiamo che $147=36\cdot 4+3$, dunque $q=36$ e $r=3$ soddisfano la nostra richiesta.

In questo paragrafo ci proponiamo di estendere questo algoritmo dal calcolo numerico al calcolo letterale, in particolare alla divisione tra polinomi.

Nell’insieme dei polinomi in una sola variabile, ad esempio $x$, vogliamo definire l’operazione di divisione, cioè, assegnati due polinomi, $A(x)$ dividendo e $B(x)$ divisore, vogliamo determinare altri due polinomi, $Q(x)$ quoziente e $R(x)$ resto, con grado di $R(x)$ minore del grado di $B(x)$, per i quali: $A(x)=B(x)\cdot Q(x)+R(x).$

Per eseguire l’operazione si usa un algoritmo molto simile a quello usato per la divisione tra numeri interi. Illustriamolo con un esempio.

In conclusione, se $A(x)$ è un polinomio di grado $n$ e $B(x)$ un polinomio di grado $m$ con $n\ge m$, quando si esegue la divisione tra $A$ e $B$ si ottiene un polinomio quoziente $Q(x)$ di grado $n-m$ e un polinomio $R(x)$ di grado $g<m$. Si dimostra che i polinomi $Q(x)$ e $R(x)$ sono unici.

Se $R(x)$ è il polinomio nullo, la divisione è esatta e il polinomio $A$ è divisibile per il polinomio $B$. Se $n<m$, allora la divisione non si può eseguire e si ottiene la frazione algebrica $\frac{A}{B}$.

Polinomi in più variabili

Per la divisione tra polinomi in più variabili riportiamo soltanto qualche esempio.

Regola di Ruffini

Per eseguire la divisione tra due polinomi in una sola variabile, nel caso in cui il divisore sia di grado 1 si può applicare una regola nota come regola di Ruffini (o divisione sintetica) e che si basa sui seguenti teoremi.

Dimostrazione  Dalla divisione di $A(x)$ per $x-k$ otteniamo la seguente uguaglianza:

Template:Testo centrato in cui si è scritto $R$ anziché $R(x)$, poiché è una costante.

Essendo tale relazione valida per qualsiasi valore che si attribuisce alla variabile $x$, sostituiamo al suo posto il valore $k$ e otteniamo:

Ciò vuol dire che il valore assunto da $A(x)$ quando $x=k$ è proprio uguale al resto della divisione.

Dimostrazione. Prima implicazione: $A(x)$ divisibile per $(x-k)\Rightarrow A(k)=0$.

Poiché $A(x)$ è divisibile per $(x-k)$, per definizione di divisibilità deve essere $R=0$. Ma, per il teorema del resto, $A(k)=R=0$, quindi, per la proprietà transitiva dell’uguaglianza, $A(k)=0$.

Seconda implicazione: $A(k)=0\Rightarrow A(x)$ divisibile per $(x-k)$.

Il resto della divisione del polinomio $A(x)$ per il binomio $x-k$, per il teorema del resto risulta $R=A(k)$ e per ipotesi $A(k)=0$, ne segue che $R=0$. Per definizione di divisibilità, essendo il resto della divisione zero, segue che $A(x)$ è divisibile per $(x-k)$.

Calcolo del resto

Si considera il termine numerico del polinomio divisore cambiato di segno (nell’esempio precedente è $+\frac{1}{2}$) e si sostituisce alla lettera che compare nel polinomio dividendo. Il risultato che si ottiene è il resto della divisione ${\left(\frac{1}{2}\right)}^4-\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{2}\right)}^3-2{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{2}+\frac{7}{2}=-\frac{1}{16}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{7}{2}=\frac{7}{2}$.

Applicazione del procedimento di divisione.

Applicazione dello schema di Ruffini

Adesso si pone la lettera per ogni termine del polinomio risultato partendo dal grado del polinomio dividendo diminuito di 1. Il risultato è quindi il polinomio $x^3-2x$, il resto è $\frac{7}{2}\cdot 2=7$.

Verifica

Per la proprietà della divisione si moltiplica il quoziente per il polinomio divisore e si somma il resto ottenuto. Il risultato deve essere il polinomio dividendo.

In generale, se si vuole dividere il polinomio $A(x)$ per il binomio $(nx-\alpha )$, utilizzando la proprietà invariantiva della divisione, si divide dividendo e divisore per $n$, così da ottenere un divisore con coefficiente 1 per il termine di primo grado. Quindi si può effettuare la divisione ottenendo il quoziente $Q(x)$ ed il resto $R$. Per ottenere il resto della divisione di partenza occorre moltiplicare $R$ per il coefficiente $n$. Infatti si ha: $A(x)=(nx-\alpha )Q(x)+R$ e, dividendo ambo i membri per $n$, si ha: Template:Testo centrato