Algebra 1/Calcolo Letterale/Prodotti Notevoli

Con l’espressione prodotti notevoli si indicano alcune identità che si ottengono in seguito alla moltiplicazione di polinomi aventi caratteristiche particolari facili da ricordare.

Quadrato di un binomio

Consideriamo il binomio $A+B$ in cui $A$ e $B$ rappresentano due monomi ed analizziamo che cosa succede moltiplicando il binomio per se stesso, eseguendo cioè la moltiplicazione $(A+B)(A+B)$, che sotto forma di potenza si scrive ${(A+B)}^2$. Template:Testo centrato

Pertanto, senza effettuare i passaggi intermedi si ha Template:Testo centrato

Analizzando il prodotto ottenuto si può notare che è costituito da tre termini ed in particolare due termini sono costituiti dal prodotto di ciascun monomio per se stesso, un termine è costituito dal prodotto dei due monomi moltiplicato a sua volta per 2.

Nella identità precedente, $A$ e $B$ rappresentano due monomi qualsiasi, quindi la scrittura $A+B$ deve intendersi come somma algebrica di due monomi che, rispetto al segno, possono essere concordi o discordi.

Ne consegue che:

• $A^2$ e $B^2$ sono sempre positivi perché prodotto di fattori uguali e quindi concordi;
• $2AB$ è positivo se $A$ e $B$ sono concordi, negativo se sono discordi.

Interpretazione geometrica del quadrato del binomio

È possibile dare anche un’interpretazione geometrica della formula ${(A+B)}^2=A^2+2AB+B^2$, sostituendo $A$ e $B$ rispettivamente con le misure $a$ e $b$ di due segmenti.

Prendiamo due segmenti di lunghezza $a$ e $b$ e portiamo a coincidere il secondo estremo del segmento lungo $a$ con il primo estremo del segmento di lunghezza $b$: in questo modo otteniamo un segmento di lunghezza $a+b$. Costruiamo il quadrato di lato $a+b$, il quale avrà area $(a+b{)}^2$ e dividiamolo come nella figura a fianco.

Puoi notare che il quadrato di lato $a+b$ è composto da due quadrati di area rispettivamente $a^2$ e $b^2$ e da due rettangoli di area $ab$. Di conseguenza l’area del quadrato è uguale a: $(a+b{)}^2=a^2+b^2+ab+ab=a^2+b^2+2ab$.

Quadrato di un polinomio

Si consideri il trinomio $A+B+C$, il suo quadrato sarà dato da: Template:Testo centrato

Pertanto, senza effettuare i passaggi intermedi si può scrivere Template:Testo centrato

Nel caso di un polinomio composto da quattro monomi si ha: Template:Testo centrato

Prodotto della somma fra due monomi per la loro differenza

Si consideri il seguente prodotto: Template:Testo centrato

Pertanto, quando eseguiamo il prodotto tra due binomi che hanno due termini uguali e due termini opposti i prodotti incrociati si annullano e rimangono i due prodotti del termine uguale per se stesso e dei due termini opposti, il primo prodotto risulterà sempre positivo, il secondo prodotto risulterà sempre negativo. Quindi si può scrivere Template:Testo centrato

Cubo di un binomio

Si consideri il binomio $A+B$, il suo cubo sarà dato da:

Pertanto, senza eseguire i passaggi intermedi si ha Template:Testo centrato

Essendo ${(A-B)}^3={[A+(-B)]}^3$, il cubo della differenza di due monomi si ottiene facilmente dal cubo della somma, quindi Template:Testo centrato

Potenza n-esima di un binomio

Finora abbiamo calcolato le potenze del binomio $A+B$ fino all’ordine tre, in questo paragrafo ci si propone di fornire un criterio che permetta di calcolare la potenza $(A+B{)}^n$, con $n\in \mathbb{N}$. Osserviamo le potenze ottenute: Template:Testo centrato Si può notare che:

• lo sviluppo di ciascuna potenza dà origine a un polinomio omogeneo dello stesso grado dell’esponente della potenza, completo e ordinato secondo le potenze decrescenti di $a$ e crescenti di $b$;

• il primo coefficiente è sempre uguale a 1;

• i coefficienti di ciascuna riga si ottengono utilizzando una disposizione dei numeri a triangolo, detto triangolo di Tartaglia.

Triangolo di Tartaglia

In questo triangolo i numeri di ciascuna riga (tranne il primo e l’ultimo che sono uguali a 1) sono la somma dei due soprastanti della riga precedente. Nella figura che segue evidenziamo come costruire il triangolo:

Costruzione del triangolo di Tartaglia

Con questa semplice regola si hanno gli sviluppi:

• $(A+B{)}^0=1$;

• $(A+B{)}^1=A+B$;

• $(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$;

• $(A+B{)}^3=A^3+3A^{2}B+3{AB}^2+B^3$;

• $(A+B{)}^4=A^4+4A^{3}B+6A^2{B}^2+4{AB}^3+B^4$;

• $(A+B{)}^5=A^5+5A^{4}B+10A^3{B}^2+10A^2{B}^3+5{AB}^4+B^5$.