Algebra 1/Calcolo Letterale/Scomposizione in fattori

Cosa significa scomporre in fattori

Scomporre un polinomio in fattori significa scrivere il polinomio come il prodotto di polinomi e monomi che moltiplicati tra loro danno come risultato il polinomio stesso. Si può paragonare la scomposizione in fattori di un polinomio alla scomposizione in fattori dei numeri naturali.

Scomposizione in fattori di 36

Per esempio, scomporre il numero $36$ significa scriverlo come $2^2\cdot 3^2$ dove $2$ e $3$ sono i suoi fattori primi. Anche $36=9\cdot 4$ è una scomposizione, ma non è in fattori primi. Allo stesso modo un polinomio va scomposto in fattori non ulteriormente scomponibili che si chiamano irriducibili.

Il polinomio $3a^3{b}^2-3a{b}^4$ si può scomporre in fattori in questo modo Template:Testo centrato

infatti eseguendo i prodotti si ottiene Template:Testo centrato

La scomposizione termina quando non è possibile scomporre ulteriormente i fattori individuati. Come per i numeri la scomposizione in fattori dei polinomi identifica il polinomio in maniera univoca (a meno di multipli).

La caratteristica di un polinomio di essere irriducibile dipende dall’insieme numerico al quale appartengono i coefficienti del polinomio; uno stesso polinomio può essere irriducibile nell’insieme dei numeri razionali, ma riducibile in quello dei numeri reali o ancora in quello dei complessi. Dalla definizione consegue che un polinomio di primo grado è irriducibile.

Raccoglimento totale a fattore comune

Questo è il primo metodo che si deve cercare di utilizzare per scomporre un polinomio. Il metodo si basa sulla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione.

Prendiamo in considerazione il seguente prodotto: Template:Testo centrato

Il nostro obiettivo è ora quello di procedere da destra verso sinistra, cioè avendo il polinomio $ax+ay+az$ come possiamo fare per individuare il prodotto che lo ha generato? In questo caso semplice possiamo osservare che i tre monomi contengono tutti la lettera $a$, che quindi si può mettere in comune, o come anche si dice “in evidenza”. Perciò scriviamo Template:Testo centrato

Raccoglimento parziale a fattore comune

Quando un polinomio non ha alcun fattore comune a tutti i suoi termini, possiamo provare a mettere in evidenza tra gruppi di monomi e successivamente individuare il polinomio in comune.

Osserviamo il prodotto $(a+b)(x+y+z)=ax+ay+az+bx+by+bz$. Supponiamo ora di avere il polinomio $ax+ay+az+bx+by+bz$ come possiamo fare a tornare indietro per scriverlo come prodotto di polinomi?

Riconoscimento di prodotti notevoli

Quadrato di un binomio

Uno dei metodi più usati per la scomposizione di polinomi è legato al saper riconoscere i prodotti notevoli. Se abbiamo un trinomio costituito da due termini che sono quadrati di due monomi ed il terzo termine è uguale al doppio prodotto degli stessi due monomi, allora il trinomio può essere scritto sotto forma di quadrato di un binomio, secondo la regola che segue: Template:Testo centrato

Analogamente nel caso in cui il monomio che costituisce il doppio prodotto sia negativo: Template:Testo centrato

Poiché il quadrato di un numero è sempre positivo, valgono anche le seguenti uguaglianze Template:Testo centrato

Può capitare che i quadrati compaiano con il coefficiente negativo, ma si può rimediare mettendo in evidenza il segno “meno”.

Possiamo avere un trinomio che “diventa” quadrato di binomio dopo aver messo qualche fattore comune in evidenza.

Quadrato di un polinomio

Se siamo in presenza di sei termini, tre dei quali sono quadrati, verifichiamo se il polinomio è il quadrato di un trinomio secondo le seguenti regole Template:Testo centrato

Notiamo che i doppi prodotti possono essere tutti e tre positivi, oppure uno positivo e due negativi: indicano se i rispettivi monomi sono concordi o discordi.

Nel caso di un quadrato di un polinomio la regola è sostanzialmente la stessa: Template:Testo centrato

Cubo di un binomio

I cubi di binomi sono di solito facilmente riconoscibili. Un quadrinomio è lo sviluppo del cubo di un binomio se due suoi termini sono i cubi di due monomi e gli altri due termini sono i tripli prodotti tra uno dei due monomi ed il quadrato dell’altro, secondo le seguenti formule:

Per il cubo non si pone il problema, come per il quadrato, del segno della base, perché un numero elevato ad esponente dispari, se è positivo rimane positivo e se è negativo rimane negativo.

Differenza di due quadrati

Un binomio che sia la differenza dei quadrati di due monomi può essere scomposto come prodotto tra la somma dei due monomi (basi dei quadrati) e la loro differenza.

Per questo tipo di scomposizioni, la cosa più difficile è riuscire a riconoscere un quadrinomio o un polinomio di sei termini come differenza di quadrati. Riportiamo i casi principali:

• $(A+B{)}^2-C^2=A^2+2AB+B^2-C^2$;
• $A^2-(B+C{)}^2=A^2-B^2-2BC-C^2$;
• $(A+B{)}^2-(C+D{)}^2=A^2+2AB+B^2-C^2-2CD-D^2$.

Altre tecniche di scomposizione

Trinomi particolari

Consideriamo il seguente prodotto:

Poniamoci ora l’obiettivo opposto: se abbiamo il polinomio $x^2+5x+6$ come facciamo a trovare ritrovare il prodotto che lo ha originato? Possiamo notare che il 5 deriva dalla somma tra il 3 e il 2, mentre il 6 deriva dal prodotto tra 3 e 2. Generalizzando:

Leggendo la formula precedente da destra verso sinistra:

Possiamo allora concludere che se abbiamo un trinomio di secondo grado in una sola lettera, a coefficienti interi, avente il termine di secondo grado con coefficiente 1, se riusciamo a trovare due numeri $a$ e $b$ tali che la loro somma è uguale al coefficiente del termine di primo grado ed il loro prodotto è uguale al termine noto, allora il polinomio è scomponibile nel prodotto $(x+a)(x+b)$.

Osserva che il termine noto, poiché è dato dal prodotto dei numeri che cerchiamo, ci dice se i due numeri sono concordi o discordi. Inoltre, se il numero non è particolarmente grande è sempre possibile scrivere facilmente tutte le coppie di numeri che danno come prodotto il numero cercato, tra tutte queste coppie dobbiamo poi individuare quella che ha per somma il coefficiente del termine di primo grado.

È possibile applicare questo metodo anche quando il polinomio è in due variabili.

La regola, opportunamente modificata, vale anche se il primo coefficiente non è 1. Vediamo un esempio.

Scomposizione con la regola Ruffini

Anche il teorema di Ruffini permette di scomporre in fattori i polinomi. Dato il polinomio $P(x)$, se riusciamo a trovare un numero $k$ per il quale $P(k)=0$, allora $P(x)$ è divisibile per il binomio $x-k$, allora possiamo scomporre $P(x)=(x-k)\cdot Q(x)$, dove $Q(x)$ è il quoziente della divisione tra $P(x)$ e $(x-k)$.

Il problema di scomporre un polinomio $P(x)$ si riconduce quindi a quello della ricerca del numero $k$ che sostituito alla $x$ renda nullo il polinomio. Un numero di questo tipo si dice anche radice del polinomio.

Il numero $k$ non va cercato del tutto a caso, abbiamo degli elementi per restringere il campo di ricerca di questo numero quando il polinomio è a coefficienti interi.

Somma e differenza di due cubi

Per scomporre i polinomi del tipo $A^3+B^3$ e $A^3-B^3$ possiamo utilizzare il metodo di Ruffini.

In generale possiamo applicare le seguenti regole per la scomposizione di somma e differenza di due cubi:

Scomposizione mediante metodi combinati

Nei paragrafi precedenti abbiamo analizzato alcuni metodi per ottenere la scomposizione in fattori di un polinomio e talvolta abbiamo mostrato che la scomposizione si ottiene combinando metodi diversi. Sostanzialmente non esiste una regola generale per la scomposizione di polinomi, cioè non esistono criteri di divisibilità semplici come quelli per scomporre un numero nei suoi fattori primi. In questo paragrafo vediamo alcuni casi in cui si applicano vari metodi combinati tra di loro.

Un buon metodo per ottenere la scomposizione è procedere tenendo conto di questi suggerimenti:

1. analizzare se si può effettuare un raccoglimento totale;
2. contare il numero di termini di cui si compone il polinomio:
1. due termini. Analizzare se il binomio è
1. una differenza di quadrati $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$;
2. una differenza di cubi $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$;
3. una somma di cubi $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$;
4. una somma di quadrati $A^2+B^2$, nel qual caso è irriducibile.
2. tre termini. Analizzare se è
1. un quadrato di un binomio $A^2\pm 2AB+B^2={(A\pm B)}^2$;
2. un trinomio particolare del tipo $x^2+Sx+P=(x+a)(x+b)$ con $a+b=S$ e $a\cdot b=P$;
3. un falso quadrato $A^2\pm AB+B^2$, che è irriducibile.
3. quattro termini. Analizzare se è
1. un cubo di un binomio $A^3\pm 3A^{2}B+3A{B}^2\pm B^3={(A\pm B)}^3$;
2. una particolare differenza di quadrati $A^2\pm 2AB+B^2-C^2=(A\pm B+C)(A\pm B-C)$;
3. un raccoglimento parziale, tipo $ax+bx+ay+by=(a+b)(x+y)$.
4. sei termini. Analizzare se è
1. un quadrato di un trinomio $A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC={(A+B+C)}^2$;
2. un raccoglimento parziale, tipo $ax+bx+cx+ay+by+cy=(a+b+c)(x+y)$.
3. se non riuscite ad individuare nessuno dei casi precedenti, provate ad applicare la regola di Ruffini.

Ricordiamo infine alcune formule per somma e differenza di potenze dispari.

La differenza di due potenze ad esponente pari (uguale o differente tra le basi dei due addendi) rientra nel caso della differenza di quadrati:

In alcuni casi si può scomporre anche la somma di potenze pari:

Proponiamo di seguito alcuni esercizi svolti in modo che possiate acquisire una certa abilità nella scomposizione di polinomi.

MCD e mcm tra polinomi

Divisore comune e multiplo comune

Il calcolo del minimo comune multiplo ($\text{mcm}$) e del massimo comune divisore ($\text{MCD}$) si estende anche ai polinomi. Per determinare $\text{MCD}$ e $\text{mcm}$ di due o più polinomi occorre prima di tutto scomporli in fattori irriducibili. La cosa non è semplice poiché non si può essere sicuri di aver trovato il massimo comune divisore o il minimo comune multiplo per la difficoltà di decidere se un polinomio è irriducibile: prudentemente si dovrebbe parlare di divisore comune e di multiplo comune.

Un polinomio $A$ si dice multiplo di un polinomio $B$ se esiste un polinomio $C$ per il quale si ha $A=B\cdot C$; in questo caso diremo anche che $B$ è divisore del polinomio $A$.

Massimo Comune Divisore

Dopo aver scomposto ciascun polinomio in fattori, il massimo comune divisore tra due o più polinomi è il prodotto di tutti i fattori comuni ai polinomi, presi ciascuno una sola volta, con il minimo esponente. Sia i coefficienti numerici, sia i monomi possono essere considerati polinomi.

Minimo comune multiplo

Dopo aver scomposto ciascun polinomio in fattori, il minimo comune multiplo tra due o più polinomi è il prodotto dei fattori comuni e non comuni di tutti i polinomi, quelli comuni presi una sola volta, con il massimo esponente.