Algebra 1/Equazioni, disequazioni e sistemi di primo grado/Disequazioni

Intervalli sulla retta reale

I numeri reali $ℝ$ possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta: ogni numero reale ha per immagine un punto della retta e viceversa ogni punto della retta è immagine di un numero reale. Di conseguenza ognuno degli intervalli sopra definiti ha per immagine una semiretta o un segmento, precisamente gli intervalli limitati corrispondono a segmenti e quelli illimitati a semirette. Vediamo con degli esempi come si rappresentano i diversi tipi di intervalli sulla retta $r$ immagine dei valori reali.

Disequazioni numeriche

Consideriamo le seguenti proposizioni:

1. 5 è minore di 12;
2. 48−90 è maggiore di 30;
3. il quadrato di un numero reale è maggiore o uguale a zero;
4. sommando ad un numero la sua metà si ottiene un numero minore o uguale a 1.

Esse possono essere tradotte in linguaggio matematico usando i simboli $>$ (maggiore), $<$ (minore), $\ge$ (maggiore o uguale), $\le$ (minore o uguale) e precisamente:

1. $5<12$;
2. $48-90>30$;
3. $x^2\ge 0$;
4. $x+\frac{1}{2}x\le 1$.

Le formule che contengono variabili si dicono aperte; quelle che contengono solo numeri si dicono chiuse. Quindi a) e b) sono formule chiuse; c) e d) sono formule aperte.

Di essa sappiamo subito stabilire il valore di verità, quando è stabilito l’ambiente in cui vengono enunciate.

Analogamente a quanto detto per le equazioni, chiamiamo incognite le variabili che compaiono nella disequazione, primo membro e secondo membro le due espressioni che compaiono a sinistra e a destra del segno di disuguaglianza.

Ricerca dell’insieme soluzione di una disequazione

Alcune volte l’$\text{I.S.}$ si può trovare ragionando sulla forma della disequazione.

In questo paragrafo affronteremo disequazioni in una sola incognita, che, dopo aver svolto eventuali calcoli nei due membri, avranno l’incognita al primo grado e i cui coefficienti sono numeri reali.

La forma più semplice o forma canonica di una disequazione di primo grado in una sola incognita a coefficienti reali è una delle seguenti $ax>b$; $ax<b$; $ax\ge b$; $ax\le b$ (con $a$ e $b$ numeri reali).

Per ridurre una disequazione alla forma canonica e quindi per determinare il suo $\text{I.S.}$ si procede applicando dei principi analoghi a quelli delle equazioni.

Premettiamo la seguente definizione:

Regola pratica: questo principio ci permette di “spostare” un addendo da un membro all’altro cambiandogli segno o di “eliminare” da entrambi i membri gli addendi uguali.

Vediamo qualche esempio in cui scompare l’incognita.

Sistemi di disequazioni

In alcune situazioni occorre risolvere contemporaneamente più disequazioni. Vediamo alcuni problemi.

Disequazioni frazionarie

Un’espressione contenente operazioni tra frazioni algebriche ha come risultato una frazione algebrica. Con la condizione di esistenza che il denominatore della frazione sia diverso da zero, la ricerca del segno di una frazione algebrica viene effettuata con la stessa procedura seguita per il prodotto di due o più fattori.