Algebra 1/Equazioni, disequazioni e sistemi di primo grado/Sistemi di equazioni

Equazione lineare in due incognite

Problema: Determinare due numeri naturali la cui somma sia 16. Soluzione L’ambiente del problema è l’insieme $\mathbb{N}$ dei numeri naturali. Indicati con $x$ e $y$ i due numeri richiesti dal quesito, il problema si formalizza con l’equazione $x+y=16$, equazione in due incognite, di primo grado. Determiniamo l’Insieme Soluzione del problema proposto. L’obiettivo è trovare $x\in \mathbb{N}$ e $y\in \mathbb{N}$ tali che $x+y=16$ oppure $(x;y)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}\mid x+y=16$. Le coppie di numeri naturali che sono soluzioni dell’equazione sono facilmente determinabili e sono tutte quelle riportate nella tabella seguente.

$x$ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $y$ 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

L’Insieme Soluzione del problema posto è dunque formato dalle 17 coppie di numeri naturali sopra elencate. Riformuliamo il problema cercando coppie di numeri razionali la cui somma sia 16. In simboli scriviamo $x\in \mathbb{Q}$ e $y\in \mathbb{Q}$ tali che $x+y=16$ oppure $(x;y)\in \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\mid x+y=16$. Possiamo subito dire che tutte le coppie precedenti sono soluzione del problema, ma ce ne sono infinite altre, ad esempio la coppia $(-7;+23)$ è soluzione del problema perché sostituendo a $x$ il valore $-7$ e a $y$ il valore $+23$ si ha $(-7)+(+23)=16$. Dal procedimento si capisce che anche la coppia $(+23;-7)$ è soluzione del problema perché $(+23)+(-7)=16$. Se attribuiamo un valore arbitrario a $x$, l’altro elemento della coppia soluzione si può ottenere sottraendo da 16 il valore di $x$: $y=16-x$. Completa tu: se $x=-3$ allora $y=16-(-3)=\dots \dots$ e la coppia (…; …) è soluzione dell’equazione; se $x=\frac{3}{2}$ allora $y=\dots \dots \dots$, la coppia (……; ……) è soluzione dell’equazione; se $x=\dots \dots \dots$ allora $y=$ ………, la coppia (……; ……) è soluzione dell’equazione; se $x=\dots \dots \dots$allora $y=$ ………, la coppia (……; ……) è soluzione dell’equazione. Quindi, se l’ambiente del problema è l’insieme $\mathbb{Q}$, troviamo infinite coppie di numeri razionali che soddisfano il problema. E ancora, se formuliamo il problema nell’insieme dei numeri reali $ℝ$, troveremo tutte le infinite coppie soluzione del problema: basta assegnare all’incognita $x$ valori reali arbitrari e determinare di conseguenza il corrispondente valore di $y=16-x$. Template:Testo centrato Completa: se $x=-2\sqrt{3}+1$ allora $y=\dots \dots \dots$ se $x=16+\frac{3\sqrt{5}}{2}$ allora $y=\dots \dots \dots$

Rappresentazione di un’equazione lineare sul piano cartesiano

Esempio: Determinare l’insieme soluzione dell’equazione $3y-x+1=0$ con $x\in ℝ$ e $y\in ℝ$. Osserviamo che l’equazione assegnata ha due incognite ed è di primo grado; l’insieme soluzione sarà formato dalle infinite coppie ordinate $(x;y)$ di numeri tali che $3y-x+1=0$. Possiamo verificare che la coppia $(1;0)$ è soluzione dell’equazione, ma come facciamo a determinare tutte le coppie che soddisfano quella equazione? Fissiamo l’attenzione sull’incognita $y$, pensiamo l’equazione come un’equazione nella sola $y$, ricaviamo $y$ come abbiamo fatto nelle equazioni di primo grado ad una sola incognita, applicando i principi di equivalenza delle equazioni: Template:Testo centrato Dunque, al variare di $x$ in $ℝ$, si ottengono tutte le infinite soluzioni dell’equazione assegnata. Prova a determinarne alcune:

$x$ $y$ coppia $0$ $\dots$ ($0;\dots$) $1$ $\dots$ ($1;\dots$) $-1$ $\dots$ ($-1;\dots$)

In verità non possiamo elencare tutte le infinite coppie che risolvono quella equazione, ma possiamo darne una rappresentazione grafica. Gli assi cartesiani La formula Template:Testo centrato rappresenta una funzione lineare; riportiamo le coppie trovate in un riferimento cartesiano ortogonale e tracciamo la retta che rappresenta la funzione. Una qualunque equazione lineare $ax+by+c=0$ ammette infinite soluzioni, costituite da coppie ordinate di numeri reali; esse sono le coordinate cartesiane dei punti della retta grafico della funzione $y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$. La formula $y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$ si chiama equazione esplicita della retta.

Risoluzione di sistemi di equazioni lineari

Analizzeremo in particolare i sistemi in due equazioni e due incognite.

Il problema precedente si formalizza dunque con il sistema Template:Testo centrato

composto da due equazioni in due incognite di primo grado e pertanto il suo grado è 1 (è un sistema lineare). La sua forma canonica si ottiene sviluppando i calcoli nella seconda equazione Template:Testo centrato

Procedimento per ottenere la forma canonica di un sistema

La forma canonica di un sistema lineare di due equazioni in due incognite è, come abbiamo visto, Template:Testo centrato

con $a_1$, $b_1$, $c_1$, $a_2$, $b_2$ e $c_2$ numeri reali.

Metodo di sostituzione

Risolvere il sistema significa determinare tutte le coppie di numeri reali che soddisfano contemporaneamente le due equazioni.

Analizziamo i diversi metodi che permettono di ottenere l’Insieme Soluzione, cominciamo dal metodo di sostituzione.

Metodo di riduzione

Il metodo di riduzione si basa sulla seguente osservazione: se un sistema è formato dalle equazioni $A=B$ e $C=D$, possiamo dedurre da queste la nuova equazione $A+C=B+D$ ad esse equivalente. Template:Testo centrato L’equazione ottenuta potrebbe presentarsi in una sola incognita e quindi potrebbe essere facile trovare il valore di quella incognita.

Questo metodo, applicato semplicemente sommando membro a membro le equazioni, funziona solo se i coefficienti di una delle due incognite sono opposti. Solo in questo caso sommando le equazioni una delle due incognite “sparisce”. Tuttavia con qualche accorgimento è possibile applicarlo in ogni caso.

Sfruttiamo il secondo principio di equivalenza delle equazioni che ci permette di moltiplicare ambo i membri di un’equazione per uno stesso numero diverso da zero. In questo modo possiamo sempre trasformare le due equazioni affinché l’incognita $x$ appaia con coefficienti opposti nella prima e nella seconda equazione.

Generalizzazione del metodo di riduzione

Assegnato il sistema lineare $\{\begin{array}{c}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2\end{array}$ con $a_1$, $b_1$, $c_1$, $a_2$, $b_2$, $c_2$ numeri reali.

Passo I  per eliminare $y$ moltiplichiamo la prima equazione per $b_2$ e la seconda per $-b_1$: Template:Testo centrato

Passo II  sommiamo le due equazioni: Template:Testo centrato

Passo III  ricaviamo l’incognita $x$: Template:Testo centrato

Passo IV  per eliminare $x$ moltiplichiamo la prima equazione per $-a_2$ e la seconda per $a_1$: Template:Testo centrato

Passo V  sommiamo le due equazioni Template:Testo centrato

Passo VI  ricaviamo l’incognita $y$: Template:Testo centrato

La soluzione è Template:Testo centrato

Metodo di Cramer

Dalla generalizzazione del metodo di riduzione, abbiamo visto che la soluzione del sistema è data da Template:Testo centrato

ovvero Template:Testo centrato quindi possiamo dedurre che: un sistema lineare è determinato, ammette cioè una sola coppia soluzione, se il determinante della matrice del sistema è diverso da zero.

La regola di Cramer (o metodo do Cramer) ci permette di stabilire la coppia soluzione di un sistema lineare di due equazioni in due incognite, costruendo e calcolando tre determinanti:

1. $D$ il determinante della matrice del sistema: Template:Testo centrato
2. $D_x$ il determinante della matrice ottenuta sostituendo agli elementi della prima colonna di $D$ i termini noti. Template:Testo centrato
3. $D_y$ il determinante della matrice ottenuta sostituendo agli elementi della seconda colonna di $D$ i termini noti. Template:Testo centrato Se $D\ne 0$ il sistema è determinato e la coppia soluzione è Template:Testo centrato

Classificazione dei sistemi rispetto alle soluzioni

Dato un sistema in forma canonica $\{\begin{array}{c}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2\end{array}$ ricordando che: Template:Testo centrato

• se $D\ne 0$ il sistema è determinato: esiste una sola coppia soluzione $x=\frac{D_x}{D}\text{, }y=\frac{D_y}{D}$;
• se $D=0$ si possono verificare due casi:
  • 1° caso: se $D_x=0$ e $D_y=0$ il sistema è indeterminato: ogni coppia di numeri reali che verifica un’equazione, verifica anche l’altra;
  • 2° caso: se $D_x\ne 0$ e $D_y\ne 0$ il sistema è impossibile: non esiste alcuna coppia di valori che soddisfa entrambe le equazioni, cioè $\text{I.S.}=\mathrm{\varnothing }$.

Osserviamo che se $D=0$ si ha Template:Testo centrato

Ciò significa che, se i coefficienti delle incognite della prima equazione sono proporzionali ai coefficienti delle incognite della seconda equazione allora il sistema è indeterminato o impossibile.

In particolare, se poi $D_x=0$ si ha Template:Testo centrato

Quindi se anche i termini noti delle due equazioni sono nella stessa proporzione, cioè se Template:Testo centrato il sistema è indeterminato.

Se invece $D_x\ne 0$, cioè Template:Testo centrato il sistema è impossibile.

Il metodo grafico

Il problema della ricerca dell’Insieme Soluzione di un’equazione lineare ci ha condotto ad un proficuo collegamento tra concetti algebrici e concetti geometrici; in particolare abbiamo visto che:

Concetto algebrico	Concetto geometrico
Coppia ordinata di numeri reali	Punto del piano dotato di riferimento cartesiano
Equazione lineare	Retta
Coppia soluzione dell’equazione	Punto della retta di equazione
$ax+by+c=0$	$y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$

Vedremo ora come sia possibile sfruttare questi collegamenti per risolvere un sistema lineare di due equazioni in due incognite.

Sistemi frazionari o fratti

Nel seguente sistema Template:Testo centrato di due equazioni in due incognite, la prima equazione presenta le incognite anche al denominatore.

Poiché risolvere un sistema significa determinare tutte le coppie ordinate che verificano entrambe le equazioni, nel sistema fratto dovremo innanzitutto definire il Dominio o Insieme di Definizione nel quale individuare le coppie soluzioni.

Sistemi letterali

Distinguiamo tre casi distinti di discussione.

Le equazioni sono lineari e il parametro si trova solo al numeratore

Esempio: $\{\begin{array}{c}2ax-(a-1)y=0\\ -2x+3y=a\end{array}.$ È un sistema letterale in quanto, reso in forma canonica, presenta un parametro nei suoi coefficienti. Esso è lineare, pertanto la coppia soluzione, se esiste, dipenderà dal valore del parametro. Per discussione del sistema letterale s’intende l’analisi e la ricerca dei valori che attribuiti al parametro rendono il sistema determinato (in tal caso si determina la soluzione) ma anche scartare i valori del parametro per cui il sistema è impossibile o indeterminato. Per discutere il sistema usiamo il metodo di Cramer. Passo I  Calcoliamo il determinante del sistema: Template:Testo centrato Passo II  Determiniamo il valore del parametro che rende $D$ diverso da zero: $4a+2\ne 0\Rightarrow a\ne 0-\frac{1}{2}$. Quindi se $a\ne -\frac{1}{2}$ il sistema è determinato. Passo III  Calcoliamo i determinanti $D_x$ e $D_y$ per trovare la coppia soluzione. Template:Testo centrato Quindi $x=\frac{a\cdot (a-1)}{4a+2}$ e $y=\frac{a^2}{2a+1}$. Passo IV  Il determinante è nullo se $a=-\frac{1}{2}$; poiché per questo valore di $a$ i determinanti $D_x$ e $D_y$ sono diversi da zero si ha che per $a=-\frac{1}{2}$ il sistema è impossibile. Riassumendo si ha:

Condizioni sul parametro Insieme Soluzione Sistema $a\ne -\frac{1}{2}$ $(\frac{a\cdot (a-1)}{4a+2};\frac{2a^2}{4a+2})$ determinato $a=-\frac{1}{2}$ $\mathrm{\varnothing }$ impossibile

Il parametro compare al denominatore in almeno una equazione del sistema

Esempio: $\{\begin{array}{c}\frac{y+a}{3}-\frac{a-x}{a-1}=a\\ \frac{x+2a}{a}-3=\frac{y}{2}-a\end{array}.$ Il sistema non è fratto pur presentando termini frazionari nelle sue equazioni; la presenza del parametro al denominatore ci obbliga ad escludere dall’insieme $ℝ$ quei valori che annullano il denominatore. Se $a=1$ oppure $a=0$ ciascuna equazione del sistema è priva di significato, pertanto lo è anche il sistema. Con le condizioni di esistenza $\text{C.E.}:a\ne 1$ e $a\ne 0$ possiamo ridurre allo stesso denominatore ciascuna equazione e condurre il sistema alla forma canonica: Template:Testo centrato Passo I  Calcoliamo il determinante del sistema: $D=\left|\begin{array}{cc}3& a-1\\ 2& -a\end{array}\right|=2-5a.$ Passo II  Determiniamo il valore del parametro che rende $D$ diverso da zero: $2-5a\ne 0\Rightarrow a\ne \frac{2}{5}$. Quindi se $a\ne \frac{2}{5}$ il sistema è determinato. Passo III  Calcoliamo i determinanti $D_x$ e $D_y$ per trovare la coppia soluzione: Template:Testo centrato Quindi $x=\frac{a\cdot (2-5a)}{2-5a}$ e $y=\frac{2a\cdot (2-5a)}{2-5a}$ che, semplificando divenano $(a;2a)$. Passo IV  Il determinante è nullo se $a=\frac{2}{5}$; poiché in tal caso anche i determinanti $D_x$ e $D_y$ si annullano, per $a=\frac{2}{5}$ il sistema risulta indeterminato. Riassumendo si ha:

Condizioni sul parametro Insieme Soluzione Sistema $a=0\vee a=1$ $\mathrm{\varnothing }$ privo di significato $a\ne \frac{2}{5}\wedge a\ne 1\wedge a\ne 0$ $\{(a;2a)\}$ determinato $a=\frac{2}{5}$ $\{(x;y)\in {ℝ}^2\mid 3x-\frac{3}{5}y=\frac{18}{25}\}$ indeterminato

Il sistema è frazionario

Esempio: $\{\begin{array}{c}\frac{y-a}{x}=\frac{2}{a}\\ x+y=1\end{array}.$ Il sistema letterale è fratto poiché al denominatore di una delle equazioni oltre al parametro compare l’incognita $x$. Se $a=0$ la prima equazione, e di conseguenza tutto il sistema, è privo di significato. Per poter procedere alla ricerca dell’Insieme Soluzione poniamo sul parametro la condizione di esistenza: Template:Testo centrato Trattandosi di un sistema fratto, dobbiamo anche stabilire il Dominio del sistema: Template:Testo centrato Passo I  Portiamo nella forma canonica: Template:Testo centrato Passo II  Calcoliamo il determinante del sistema: Template:Testo centrato Passo III  Determiniamo il valore del parametro che rende $D$ diverso da zero: $-2-a\ne 0\Rightarrow a\ne -2$. Quindi se $a\ne -2$ il sistema è determinato. Passo IV  calcoliamo i determinanti $D_x$ e $D_y$ per trovare la coppia soluzione: Template:Testo centrato Quindi $x=-\frac{a\cdot (a-1)}{2+a}$ e $y=\frac{a^2+2}{2+a}$ è la coppia soluzione, che risulta accettabile se $x=-\frac{a\cdot (a-1)}{2+a}\ne 0$ per quanto stabilito nella (**). Essendo $a\ne 0$ per la (*), e $a\ne -2$ poiché il sistema risulti determinato, la coppia soluzione è accettabile se si pone anche la condizione $a\ne 1$. Passo V  Se $a=-2$ il determinante $D$ è nullo ed i determinanti $D_x$ e $D_y$ risultano diversi da zero, quindi il sistema risulta impossibile. Riassumendo si ha:

Parametro Incognite Insieme Soluzione Sistema $x\ne 0$ $a=0$ privo di significato $a\ne 2\wedge a\ne 0$ $(-\frac{a\cdot (a-1)}{2+a};\frac{a^2+2}{2+a})$ determinato $a\notin \{-2\text{, }0\text{, }1\}$ accettabile $a=-2$ impossibile

Sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite

In maniera analoga a quanto abbiamo visto per i sistemi di equazioni lineari di due equazioni in due incognite si possono avere sistemi lineari con più di due equazioni in altrettante incognite. Prendiamo in esame il caso di tre equazioni in tre incognite.

Sistemi da risolvere con sostituzioni delle variabili

Nella realtà, non sempre i sistemi di equazioni che descrivono delle relazioni tra variabili risultano lineari. Ma alcune volte essi possono essere ricondotti a sistemi lineari per mezzo di sostituzioni delle variabili.