Algebra 1/Insiemi Logica Relazioni/Insiemi

Insiemi ed elementi

In matematica usiamo la parola insieme per indicare un raggruppamento, una collezione, una raccolta di oggetti, individui, simboli, numeri, figure che sono detti elementi dell’insieme e che sono ben definiti e distinti tra di loro.

La nozione di insieme e quella di elemento di un insieme in matematica sono considerate nozioni primitive, nozioni che si preferisce non definire mediante altre più semplici.

Per poter assegnare un insieme occorre soddisfare le seguenti condizioni:

• bisogna poter stabilire con certezza e oggettività se un oggetto è o non è un elemento dell’insieme;
• gli elementi di uno stesso insieme devono essere differenti tra loro, cioè un elemento non può essere ripetuto più volte nello stesso insieme.

Non possono essere considerati insiemi:

• i film interessanti (non c’è un criterio oggettivo per stabilire se un film è interessante oppure no, uno stesso film può risultare interessante per alcune persone e non interessante per altre);
• le ragazze simpatiche di una classe (non possiamo stabilire in maniera oggettiva se una ragazza è simpatica);
• le montagne più alte d’Italia (non possiamo dire se una montagna è tra le più alte poiché non è fissata un’altezza limite);
• l’insieme delle grandi città d’Europa (non c’è un criterio per stabilire se una città è grande);

In generale, gli insiemi si indicano con lettere maiuscole $A$, $B$, $C$, …e gli elementi con lettere minuscole $a$, $b$, $c$, …

Se un elemento $a$ sta nell’insieme $A$ si scrive $a\in A$ e si legge “$a$ appartiene ad $A$”. Il simbolo “$\in$” si chiama simbolo di appartenenza.

Se un elemento $b$ non sta nell’insieme $A$ si scrive $b\notin A$ e si legge “$b$ non appartiene ad $A$”. Il simbolo “$\notin$” si chiama simbolo di non appartenenza.

Il criterio che stabilisce se un elemento appartiene a un insieme si chiama proprietà caratteristica dell’insieme.

Un altro modo per definire un insieme, oltre a quello di indicare la sua proprietà caratteristica, è quello di elencare i suoi elementi separati da virgole e racchiusi tra parentesi graffe. Ad esempio: $A=\{a\text{, }b\text{, }c\text{, }d\}$.

Per indicare alcuni insiemi specifici vengono utilizzati simboli particolari:

• $\mathbb{N}$ si utilizza per indicare l’insieme dei numeri naturali: $\mathbb{N}=\{0\text{, }1\text{, }2\text{, }3\text{, }\dots \}$;
• $\mathbb{Z}$ si utilizza per indicare i numeri interi relativi: $\mathbb{Z}=\{\dots \text{, }-2\text{, }-1\text{, }0\text{, }+1\text{, }+2\text{, }\dots \}$;
• $\mathbb{Q}$ si utilizza per indicare i numeri razionali: $\mathbb{Q}=\{\frac{1}{2}\text{, }-\frac{3}{5}\text{, }\frac{5}{1}\text{, }-\frac{4}{17}\text{, }12,34\text{, }8\text{, }0,\overline{25}\text{, }\dots \}$.

Consideriamo l’insieme $A=\{\text{r, s, t}\}$ e l’insieme $B$ delle consonanti della parola “risate”. Possiamo osservare che $A$ e $B$ sono due insiemi costituiti dagli stessi elementi; diremo che sono insiemi uguali.

Insieme vuoto, insieme universo, cardinalità

Consideriamo l’insieme $A=$ {consonanti della parola "AIA"}. Poiché la parola “AIA” non contiene consonanti, l’insieme $A$ è privo di elementi.

La frase <<l’insieme degli studenti che vengono a scuola con il motorino>> non definisce un insieme particolare. Occorre definire il contesto, l’ambiente che fa individuare gli elementi dell’insieme. Se l’ambiente è la classe 1^aC gli elementi considerati saranno certamente diversi, e probabilmente meno numerosi, di quelli che compongono l’ambiente di un’intera scuola o di un’intera città. Quando si identifica un insieme, occorre indicare anche l’ambiente di riferimento da cui trarre gli elementi che appartengono al nostro insieme. Questo insieme si chiama insieme universo e rappresenta il contesto, l’ambiente su cui faremo le nostre osservazioni. In generale l’insieme universo per un insieme $A$ è semplicemente un insieme che contiene $A$. Solitamente l’insieme universo viene indicato con $U$.

Cardinalità

Per poter parlare di cardinalità di un insieme qualsiasi, che comprenda anche insiemi infiniti come gli insiemi numerici, occorre una definizione più complessa che qui non daremo.

Rappresentazione degli insiemi

Esistono diversi modi per rappresentare un insieme e quindi per indicare con precisione i suoi elementi.

Rappresentazione tabulare

La rappresentazione tabulare è la descrizione più elementare di un insieme; consiste nell’elencare tutti gli elementi dell’insieme separati da virgole e racchiusi tra le parentesi graffe.

Per esempio, definiamo un insieme $X$ con la scrittura: $X=\{\text{1, 2, 3, 5}\}$. Non è importante l’ordine in cui vengono scritti gli elementi, cioè Template:Testo centrato

È invece necessario che ogni elemento dell’insieme compaia una sola volta. Ad esempio, per rappresentare l’insieme $Y$ delle lettere della parola “autunno”, scriviamo Template:Testo centrato

Si può utilizzare questa rappresentazione anche per insiemi numerosi e addirittura infiniti. In questi casi si elencano i primi elementi dell’insieme e in fondo all’elenco si mettono tre punti di sospensione lasciando intendere come continuare la serie.

Per esempio, l’insieme dei multipli di 3 si può indicare con la seguente rappresentazione tabulare: Template:Testo centrato

Rappresentazione per proprietà caratteristica

Per quegli insiemi i cui elementi soddisfano una certa proprietà che li caratterizza, possiamo usare proprio questa proprietà per descrivere più sinteticamente l’insieme che li contiene.

Per esempio, l’insieme $Y$ dei divisori di 10 può essere definito come: Template:Testo centrato e si legge “$Y$ è l’insieme degli elementi $x$ tali che $x$ è un divisore di 10”.

In questa scrittura si mette in evidenza la caratteristica degli elementi dell’insieme. La rappresentazione tabulare dello stesso insieme è $Y=\{\text{1, 2, 5, 10}\}$. L’espressione “tale che”, che è stata rappresentata per mezzo del simbolo “$|$”, può essere indicata anche per mezzo del simbolo “:”.

La rappresentazione per caratteristica dell’insieme $X$ dei naturali minori di 15 è: Template:Testo centrato e si legge “$X$ è l’insieme dei numeri naturali $x$ tali che $x$ è minore di 15”.

L’insieme che viene indicato nella prima parte della rappresentazione (nell’ultimo esempio è l’insieme dei numeri naturali $\mathbb{N}$) è l’insieme universo (sezione [sect:universo]) al quale si fa riferimento. Questo metodo è particolarmente utile quando l’insieme da rappresentare contiene molti elementi.

Rappresentazione grafica (Diagramma di Eulero-Venn)

In questa rappresentazione grafica, detta anche rappresentazione di Eulero-Venn si disegna una linea chiusa all’interno della quale gli elementi dell’insieme si indicano con dei punti. Solitamente si scrive all’esterno il nome dell’insieme e vicino ad ogni punto il valore ad esso associato.

Un insieme può essere rappresentato con una qualsiasi delle rappresentazioni indicate. Se un insieme è infinito o è costituito da un numero elevato di elementi la rappresentazione più pratica è quella per caratteristica.

Sottoinsieme

Consideriamo l’insieme $A$ degli abitanti di Milano e l’insieme $B$ degli abitanti di Milano con età superiore ai 40 anni. Gli abitanti ultra quarantenni di Milano fanno parte della popolazione di Milano, cioè tutti gli elementi dell’insieme $B$ sono anche elementi di $A$: si dice che $B$ è sottoinsieme di $A$ e si scrive $B\subseteq A$.

La rappresentazione con un diagramma di Eulero-Venn è la seguente:

Definizione diagramma Eulero-Venn

Se $a$ è un elemento del sottoinsieme $Y$, allora lo sarà anche dell’insieme $X$:

se $a\in Y$ e $Y\subseteq X$, allora $a\in X$oppure $a\in Y$ e $Y\subseteq X\Rightarrow a\in X$.

Dalla stessa definizione, si deduce che ogni insieme è sottoinsieme di se stesso, in simboli $X\subseteq X$.

Nel caso in cui tutti gli elementi di $Y$ siano elementi di $X$ e tutti gli elementi di $X$ siano elementi di $Y$ si ha che $X=Y$, e $Y$ si dice sottoinsieme improprio di $X$. Se $X\subseteq Y$ e $Y\subseteq X$, allora $Y=X$.

Tra i sottoinsiemi di un insieme si considera anche l’insieme vuoto. Cioè, qualunque sia l’insieme $X$ risulta $\mathrm{\varnothing }\subseteq X$. Quindi l’insieme vuoto è considerato un sottoinsieme improprio di qualunque insieme.

Se $Y$ è un sottoinsieme non vuoto di $X$ e $X$ ha altri elementi oltre a quelli di $Y$ si dice che $Y$ è un sottoinsieme proprio di $X$ e si scrive $Y\subset X$.

La scrittura $Y\subseteq X$ si usa quando non si sa in modo certo se $Y=X$ o meno.

Insieme delle parti

Consideriamo l’insieme $A$ dei numeri naturali compresi tra 0 e 100. A partire da questo insieme possiamo formare gruppi costituiti dai soli numeri multipli di 10, dai numeri pari, da quelli dispari, da quelli divisibili per 7 e così via. Quindi con gli elementi dell’insieme $A$ possiamo formare molti altri insiemi che sono sottoinsiemi di $A$.

L’insieme delle parti di un insieme $A$ ha sempre come elementi $\mathrm{\varnothing }$ e $A$, quindi $\mathrm{\varnothing }\in \mathrm{\wp }(A)$ e $A\in \mathrm{\wp }(A)$. Il numero degli elementi di $\mathrm{\wp }(A)$, cioè dei suoi possibili sottoinsiemi, propri e impropri, dipende dal numero degli elementi di $A$.

Riassumendo:

• se $A=\mathrm{\varnothing }$ l’insieme delle parti ha 1 solo elemento;
• se $A$ ha 1 elemento allora l’insieme delle parti ha 2 elementi;
• se $A$ ha 2 elementi, l’insieme delle parti ne ha 4;
• se $A$ ha 3 elementi, l’insieme delle parti ne ha 8.

Generalizzando, se $A$ ha $n$ elementi, l’insieme delle parti $\mathrm{\wp }(A)$ ne ha $2^n$.

Insieme unione

Prendiamo l’insieme $P$ dei numeri pari e l’insieme $D$ dei numeri dispari; allora l’insieme $\mathbb{N}$ dei numeri naturali è dato dall’unione dei due insiemi $P$ e $D$.

Diagramma di Eulero-Venn dell'unione di due insieni

Mediante la proprietà caratteristica si scrive: $C=A\cup B=\{x\mid (x\in A)\text{ o }(x\in B)\}$.

Proprietà dell’unione tra insiemi

1. $A\cup B=B\cup A$: proprietà commutativa dell’unione;
2. $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$: proprietà associativa dell’unione;
3. se $B\subset A$, allora $A\cup B=A$;
4. $A\cup \mathrm{\varnothing }=A$;
5. $A\cup A=A$: proprietà di idempotenza dell’unione;
6. $\mathrm{\varnothing }\cup \mathrm{\varnothing }=\mathrm{\varnothing }$.

Insieme intersezione

Consideriamo gli insiemi $A$ e $B$ formati rispettivamente dalle lettere dell’alfabeto italiano e dalle consonanti dell’alfabeto italiano cioè: $A=\{$a, b, c, d, e, f, g, h, i, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, z$\}$ e $B=\{$b, c, d, f, g, h, l, m, n, p, q, r, s, t, v, z$\}$, le lettere “a, e, i, o, u” che compaiono nell’insieme $A$ ma non in $B$ formano un nuovo insieme chiamato insieme differenza tra $A$ e $B$.

Diagramma di Eulero-Venn intersezione di insiemi

Mediante proprietà caratteristica si scrive: $C=A\cap B=\{x\mid (x\in A)\text{ e }(x\in B)\}$.

Proprietà dell’intersezione tra insiemi

1. $A\cap B=B\cap A$: proprietà commutativa dell’intersezione;
2. $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$: proprietà associativa dell’intersezione;
3. Se $B\subset A$, allora $A\cap B=B$;
4. $A\cap \mathrm{\varnothing }=\mathrm{\varnothing }$;
5. $A\cap A=A$: proprietà di idempotenza dell’intersezione;
6. $\mathrm{\varnothing }\cap \mathrm{\varnothing }=\mathrm{\varnothing }$.

Proprietà distributiva dell’intersezione rispetto all’unione e viceversa

1. $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$: proprietà distributiva dell’intersezione rispetto all’unione;
2. $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$: proprietà distributiva dell’unione rispetto all’intersezione.

Dimostriamo con i diagrammi di Venn la proprietà distributiva dell’intersezione rispetto all’unione.

Diagramma di Venn sulla proprietà distributiva dell'unione rispetto all'intersezione e viceversa

Insieme differenza

Consideriamo gli insiemi $A$ e $B$ formati rispettivamente dalle lettere dell’alfabeto italiano e dalle consonanti dell’alfabeto italiano cioè: $A=\{$a, b, c, d, e, f, g, h, i, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, z$\}$ e $B=\{$b, c, d, f, g, h, l, m, n, p, q, r, s, t, v, z$\}$, le lettere “a, e, i, o, u” che compaiono nell’insieme $A$ ma non in $B$ formano un nuovo insieme chiamato insieme differenza tra $A$ e $B$.

Diagramma di Eulero-Venn differenza tra insiemi

Mediante proprietà caratteristica si scrive: $C=A-B=\{x\mid (x\in A)\text{ e }(x\notin B)\}$.

Proprietà della differenza tra insiemi

• $A-A=\mathrm{\varnothing }$;
• $A-\mathrm{\varnothing }=A$;
• se $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$, ossia $A$ e $B$ sono disgiunti, allora $A-B=A$, e $B-A=B$;
• se $B\subset A$, ossia $B$ è sottoinsieme proprio di $A$, allora $B-A=\mathrm{\varnothing }$.

Poiché in genere $A-B\ne B-A$, nella differenza tra insiemi non vale la proprietà commutativa.

Template:Algebra1/Esempio1

Insieme complementare

Sia $W=\{\text{sabato, domenica}\}$ l’insieme dei giorni della settimana che non finiscono per “dì”. L’insieme $W$ può essere considerato come sottoinsieme dell’insieme $G$ formato da tutti i giorni della settimana $G=\{\text{lunedì, martedì, mercoledì, giovedì, venerdì, sabato, domenica}\}$. L’insieme degli elementi di $G$ che non appartengono a $W$ forma un insieme che chiameremo complementare di $W$ rispetto a $G$. L’insieme $G$ invece si dice, in questo caso, insieme universo. Ad esempio nella rappresentazione caratteristica $A=\{x\in \mathbb{N}\mid x\le 100\}$, $\mathbb{N}$ è l’insieme universo di $A$.

Diagramma di Eulero-Venn dell'insieme complementare

Il diagramma di Eulero-Venn dell’insieme $A$ e del suo universo $U$ è quello rappresentato in figura. La parte in grigio è il complementare di $A$ rispetto a $U$, cioè ${\bar{A}}_U$. Si può osservare che, essendo $A\subseteq U$, il complementare coincide con la differenza tra insiemi: ${\bar{A}}_U=U-A$.

Leggi di De Morgan

Dati due insiemi $A$ e $B$ ci sono alcune proprietà, dette leggi di De Morgan, che semplificano lo svolgimento di alcune operazioni:

• $\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}$: Prima legge di De Morgan;
• $\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B}$: Seconda legge di De Morgan.

Dimostriamo la prima legge di De Morgan utilizzando i diagrammi di Eulero-Venn.

Rappresentazione insiemistica delle leggi di De Morgan

Prodotto cartesiano fra insiemi

Supponiamo che la partita di calcio Lecce - Juventus sia terminata 3-2; in questo caso il risultato della partita non rappresenta un insieme di numeri dato che nella rappresentazione di un insieme scrivere $\{$3, 2$\}$ e $\{$2, 3$\}$ è la stessa cosa. Infatti, se avessimo scritto 2-3 al posto di 3-2 la partita avrebbe avuto un esito differente. Ci troviamo nel caso di una coppia ordinata di numeri.

Mediante proprietà caratteristica si scrive: $A\times B=\{(x;y)\mid x\in A\text{ e }y\in B\}$.

Nel caso in cui $B=A$, il prodotto cartesiano diventa $A\times A=A^2=\{(x;y)\mid x\in A\text{ e }y\in A\}$.

Proprietà del prodotto cartesiano tra insiemi

a) $A\times \mathrm{\varnothing }=\mathrm{\varnothing }$; Template:Colonne spezza b) $\mathrm{\varnothing }\times A=\mathrm{\varnothing }$; Template:Colonne spezza c) $\mathrm{\varnothing }\times \mathrm{\varnothing }=\mathrm{\varnothing }$.

Poiché $A\times B\ne B\times A$ nel prodotto cartesiano non vale la proprietà commutativa.

Rappresentazione del prodotto cartesiano tra insiemi

Tabulazione delle coppie ordinate

Come fatto nei precedenti esempi, si combina il primo elemento di $A$ con tutti gli elementi di $B$, il secondo elemento di $A$ con tutti gli elementi di $B$ e così via fino ad esaurire tutti gli elementi di $A$. Template:Testo centrato

Diagramma a frecce

Si rappresentano i due insiemi graficamente con i diagrammi di Eulero-Venn e si tracciano degli archi orientati che escono dagli elementi del primo insieme e raggiungono gli elementi del secondo insieme formando coppie ordinate del prodotto cartesiano.

Diagramma a frecce

Tabella a doppia entrata

Si costruisce una tabella nella quale si riportano gli elementi del primo insieme sulla prima colonna e gli elementi del secondo insieme sulla prima riga. Le caselle di incrocio rappresentano le coppie ordinate del prodotto cartesiano.

Rappresentazione del prodotto cartesiano con la tabella a doppia entrata

Diagramma cartesiano

Rappresentazione del prodotto cartesiano con il diagramma cartesiano

Si tracciano due semirette orientate, perpendicolari, una orizzontale e l’altra verticale, con l’origine in comune. Si riportano gli elementi del primo insieme sulla semiretta orizzontale e quelli del secondo su quella verticale. Tali semirette vengono chiamate assi cartesiani. Si tracciano prima le parallele all’asse verticale dai punti individuati sull’asse orizzontale che rappresentano gli elementi del primo insieme, poi le parallele all’asse orizzontale dai punti sull’asse verticale; i punti di intersezione rappresentano le coppie ordinate del prodotto cartesiano.

Diagramma ad albero

È un grafico formato da un nodo iniziale dal quale si ripartono alcuni rami che a loro volta possono ramificarsi e così via fino a che nello schema figurano tutte le possibili situazioni. Si può raggiungere un particolare nodo solo muovendosi lungo i rami ed il percorso che collega due nodi qualsiasi deve essere unico.

La rappresentazione mediante diagramma ad albero è vantaggiosa nel caso si voglia fare il prodotto cartesiano tra più insiemi.

Rappresentazione del prodotto cartesiano con il diagramma ad albero

I diagrammi di Eulero-Venn come modello di un problema

Alcune volte, trovandoci di fronte a un problema, possiamo rappresentare la situazione con diagrammi di Eulero-Venn, ciò agevola la comprensione e facilita la risoluzione del problema. Attraverso alcuni esempi mostreremo come usare la teoria degli insiemi per risolvere problemi.