Algebra 1/Insiemi Logica Relazioni/Relazioni

Proposizioni e predicati

In matematica frasi come “19 è maggiore di 5” o “Giove ruota intorno alla Terra” sono considerate proposizioni perché ad esse si può attribuire un preciso valore di verità, cioè si può stabilire se sono vere oppure false: la prima è una proposizione vera, la seconda è falsa.

Non sono proposizioni in senso matematico “Cosa stai studiando?”, “domani pioverà!”, “$x$ è un numero primo”: infatti la prima non è un’affermazione ma pone una domanda, la seconda è una esclamazione e quindi non possiamo stabilire se è vera o falsa; l’ultima contiene un elemento indeterminato e finché non si fissa il valore da attribuire a $x$, non si può decidere se la frase che lo riguarda è vera o falsa.

Ogni proposizione è formata da un predicato (verbo) e dai suoi argomenti (cose o persone alle quali il verbo si riferisce).

Analizzando le proposizioni sopra enunciate si ha:

Soggetto	Predicato	Complemento
19	è maggiore di	5
Giove	ruota attorno alla	Terra

Il soggetto e il complemento sono gli argomenti ai quali il predicato si riferisce. In alcune proposizioni il predicato si riferisce a due argomenti (il soggetto e il complemento) in altre ad un solo argomento: ad esempio, il predicato “essere numero primo” stabilisce semplicemente una caratteristica del numero 5 senza porre alcuna connessione con un altro argomento.

Relazioni in un insieme

Il termine relazione entra molto spesso in frasi del linguaggio naturale, lo usiamo per esprimere un generico legame tra due persone o tra due oggetti, anche senza specificarne la natura: “si è conclusa la relazione tra Anna e Paolo”, “l’allungamento di una sbarretta di ferro è in relazione con il calore fornito”, “la frana del terreno è in relazione con il disboscamento della zona e l’abusivismo edilizio”, “domani consegnerò la relazione di fisica”. Sono tutte espressioni che ci danno informazioni di un qualche collegamento tra gli argomenti (persone, cose) ai quali il termine relazione si riferisce.

Dal punto di vista matematico diamo la seguente definizione. Template:Algebra1/Definizione

Se chiamiamo con $\Re$ il predicato binario che definisce la relazione introdotta nell’insieme, per indicare sinteticamente la proposizione avente come soggetto $a$, come complemento $b$ e come predicato $\Re$, scriviamo $a\Re b$ e diremo che $a$ è in relazione con $b$.

Grafico di una relazione

Dal momento che una relazione in un insieme $Y$ determina un sottoinsieme del prodotto cartesiano $Y\times Y$, è comodo rappresentare una relazione nello stesso diagramma usato per rappresentare il prodotto cartesiano. Una relazione può quindi essere rappresentata attraverso un grafico cartesiano.

Matrice o tabella di una relazione

Nella figura è rappresentata la classica griglia per il gioco della battaglia navale. Ogni cella è individuata da una coppia ordinata il cui primo elemento (una lettera dell’alfabeto) indica la riga, il secondo (un numero) indica la colonna; così la coppia $(D;5)$ indica la cella annerita.

Matrice di una relazione

Relazioni di equivalenza

Completa la seguente tabella segnando le proprietà di cui gode (R=riflessiva, S=simmetrica, T=transitiva, AS=antisimmetrica, AR=antiriflessiva) ciascuna relazione.

Relazione	Insieme	Proprietà
Avere lo stesso perimetro	poligoni	[R] [S] [T] [AS] [AR]
Essere fratello di	persone	[R] [S] [T] [AS] [AR]
Essere figlio di	persone	[R] [S] [T] [AS] [AR]
Essere più alto di	persone	[R] [S] [T] [AS] [AR]
Avere gli angoli rispettivamente congruenti	triangoli	[R] [S] [T] [AS] [AR]
Iniziare con la stessa lettera	parole	[R] [S] [T] [AS] [AR]
Giocare nella stessa squadra	calciatori	[R] [S] [T] [AS] [AR]
$a\Re b$ se e solo se $a$ è nato nello stesso anno di $b$	persone	[R] [S] [T] [AS] [AR]
$x\Re y$ se e solo se $x$ ha lo stesso numero di cifre di $y$	$\mathbb{N}\times \mathbb{N}$	[R] [S] [T] [AS] [AR]
$x\Re y$ se e solo se $x$ ha la stessa ultima cifra di $y$	$\mathbb{N}\times \mathbb{N}$	[R] [S] [T] [AS] [AR]
$x\Re y$ se e solo se $x$ è multiplo di $y$	$\mathbb{N}\times \mathbb{N}$	[R] [S] [T] [AS] [AR]
$x\Re y$ se e solo se $x+y$ è pari	$\mathbb{N}\times \mathbb{N}$	[R] [S] [T] [AS] [AR]
Avere lo stesso segno zodiacale	persone	[R] [S] [T] [AS] [AR]
$(a;b)\Re (x;y)$ se e solo se $a+b=x+y$	$\mathbb{N}\times \mathbb{N}$	[R] [S] [T] [AS] [AR]

Svolgimento: La prima relazione gode delle tre proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva; infatti:

• “il poligono $P$ ha lo stesso perimetro di se stesso” è vera per qualunque poligono (proprietà riflessiva);
• “il poligono $P_1$ ha lo stesso perimetro del poligono $P_2$” implica la verità della proposizione “il poligono $P_2$ ha lo stesso perimetro di $P_1$”, qualunque siano i due poligoni $P_1$ e $P_2$ (proprietà simmetrica);
• se “il poligono $P_1$ ha lo stesso perimetro di $P_2$” e “$P_2$ ha lo stesso perimetro di $P_3$” allora si ha anche che “$P_1$ ha lo stesso perimetro di $P_3$”, qualunque siano i poligoni $P_1$, $P_2$, $P_3$ (proprietà transitiva).

Verifica tu se anche le altre relazioni godono delle tre proprietà riflessiva, simmetrica, transitiva, come “essere fratello di”, “avere gli angoli rispettivamente uguali”, “iniziare con la stessa lettera”.

Premettiamo le definizioni:

Si viene così a determinare una partizione dell’insieme $A$ in classi d’equivalenza, ognuna delle quali è indicata racchiudendo tra parentesi quadrate uno degli elementi della classe considerata.

Relazioni di ordine

Nel linguaggio di ogni giorno avrai certamente spesso usato espressioni come “devo mettere in ordine i miei libri” oppure “qui non c’è ordine” e altre espressioni simili. Anche in matematica, fin dalla scuola elementare, hai imparato a ordinare gli elementi dell’insieme dei numeri naturali: dati due numeri naturali hai imparato infatti a stabilire quale dei due è il maggiore.

Riguardando le varie relazioni introdotte sin qui, possiamo stabilire che esistono relazioni d’ordine di vario tipo, schematizzate nel seguente diagramma:

Relazioni d'ordine

Attraverso alcuni esempi, vogliamo chiarire le differenze tra i diversi tipi. A questo scopo introduciamo la seguente definizione.

Tipi di relazioni d'ordine

Relazioni tre due insiemi diversi

Nei paragrafi precedenti abbiamo analizzato relazioni con predicato binario che si riferisce a due elementi dello stesso insieme, consideriamo ora relazioni con predicato binario in cui soggetto e complemento appartengono a due insiemi diversi.