Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali

Premessa storica

Quando si deve dividere una certa grandezza o totalità in un certo numero di parti uguali non sempre sono sufficienti i numeri interi per rappresentare il risultato della divisione. Per esempio, per dividere l’unità in due parti uguali i numeri interi non sono sufficienti.

Gli antichi hanno affrontato questo tipo di problema utilizzando varie scritture per rappresentare le parti in cui dividere l’unità, ossia le frazioni.

I Babilonesi scrivevano frazioni aventi come denominatore una potenza di 60, la base della loro numerazione; tuttavia non usavano una notazione specifica per le frazioni ed il valore corretto andava interpretato dal contesto.

Gli Egizi facevano largo uso dei numeri frazionari che rappresentavano come somme di frazioni unitarie, ossia frazioni con numeratore uno. La frazione unitaria $\frac{1}{n}$ veniva rappresentata in forma geroglifica ponendo il denominatore $n$ scritto con la normale rappresentazione del numero $n$ sotto ad un ovale. La frazione $\frac{1}{12}$, per esempio, veniva così rappresentata:

Nel “papiro di Ahmes” (detto anche “papiro di Rhind”) troviamo una tabella che dà la scomposizione in frazioni unitarie delle frazioni del tipo $\frac{2}{n}$, con $n$ dispari: la frazione $\frac{2}{43}$ è rappresentata come somma di frazioni unitarie nel seguente modo: Template:Testo centrato

Le frazioni nell'occhio di Horus

Alcune unità frazionarie più comuni venivano indicate con le parti dell’occhio di Horus (divinità egizia). Secondo la leggenda, Horus, nella lotta contro lo zio Seth, reo di avergli ucciso il padre, perse un occhio le cui parti vennero ritrovate e ricomposte dal dio Toth a meno di una piccola parte.

I Romani fecero poco uso dei numeri frazionari; si limitarono a considerare le parti delle misure in uso che venivano divise in 12, 24, 36, 48, …Avevano pertanto simboli e nomi particolari per indicare alcune frazioni. Semis per indicare $\frac{1}{2}$, il cui simbolo era $S$ oppure $Z$; sextans per indicare $\frac{1}{6}$, dracma per indicare $\frac{1}{96}$ e obolus per indicare la sesta parte della dracma.

Furono gli arabi a introdurre l’attuale scrittura delle frazioni e i termini numeratore e denominatore. Tale notazione venne diffusa in Europa da Leonardo Pisano (Fibonacci) che con il suo “Liber Abaci” (1202) scrive e opera con le frazioni come oggi le conosciamo.

Frazioni

Componenti di una frazione

Quando si chiede, per esempio un quarto di litro di latte, $\frac{1}{4}\text{l}$, si danno le informazioni su come operare sulla grandezza unitaria (litro) per ottenere la quantità desiderata. Le frazioni possono essere viste come operatori che si applicano a una grandezza fissata, considerata come l’intero o il tutto, per ottenere una nuova grandezza ben determinata e omogenea alla prima.

Una frazione con numeratore uguale a 1 è detta frazione unitaria; indicata con $A$ una grandezza (segmento, peso, superficie, angolo, …) la scrittura $\frac{1}{n}A$ sta ad indicare l’operazione di divisione della grandezza $A$, intesa come il “tutto” (l’intero), in $n$ parti uguali.

Nella figura seguente, il segmento unitario da 0 a 1 è stato diviso in due parti uguali ottenendo la frazione $\frac{1}{2}$; dividendolo in quattro parti uguali si ottiene la frazione $\frac{1}{4}$; dividendolo in otto parti uguali si ottiene la frazione $\frac{1}{8}$; dividendolo in sedici parti uguali si ottiene la frazione $\frac{1}{16}$.

Dal segmanto unitario alle frazioni

La frazione 1/4 in un quadrato unitario

Vediamo un altro esempio. Il quadrato $Q$ della figura è stato diviso in quattro parti uguali e una parte è stata colorata di grigio; questa parte viene indicata con la frazione unitaria $\frac{1}{4}Q$.

L’espressione $\frac{1}{n}A$ significa l’ennesima parte di $A$, dove $A$ è il tutto che si deve dividere in $n$ parti uguali. In altre parole, $A$ si può ottenere moltiplicando per $n$ l’espressione $\frac{1}{n}A$.

Partendo da $\frac{1}{n}A$ si possono considerare i suoi multipli interi: $\frac{2}{n}A\text{, }\frac{3}{n}A\text{, }\dots \text{, }\frac{n}{n}A$ che rappresentano il doppio di un $n$-esimo di $A$, il triplo di un $n$-esimo di $A$, …, l’intera grandezza $A$.

Riferendoci all’esempio del quadrato ($n=4$):

Frazioni in un quadrato unitario

La frazione $\frac{m}{n}A$ (si legge emme ennesimi di $A$) indica il multiplo secondo $m$ della frazione unitaria $\frac{1}{n}A$, cioè la grandezza che si ottiene dividendo $A$ in $n$ parti uguali e prendendone $m$.

Per leggere una frazione si legge prima il numeratore e poi il denominatore. Quest’ultimo si legge come numero ordinale (terzo/i, quarto/i, quinto/i, …). Nel caso in cui sia 2 si legge “mezzo/i”.

Per esprimere le frazioni si utilizza anche la scrittura del tipo $a/b$; es. $2/3$, $4/6$, $6/9$, …

Vi sono frazioni che pur essendo formate da numeratori e denominatori diversi rappresentano la stessa parte dell’intero.

Frazioni che rappresentano la stessa parte dell'intero

Per trovare una frazione equivalente a una frazione assegnata è sufficiente moltiplicare per uno stesso numero il numeratore e il denominatore della frazione assegnata.

Per ridurre ai minimi termini una frazione occorre dividere numeratore e denominatore per il loro Massimo Comune Divisore.

Per esempio per ridurre ai minimi termini la frazione $\frac{8}{12}$, scompongo in fattori 8 e 12, ottengo $8=2^3$ e $12=3\cdot 2^2$. Calcolo il $\text{MCD}$ prendendo i fattori comuni con l’esponente più piccolo; in questo caso $2^2$ cioè 4. Divido numeratore e denominatore per 4: Template:Testo centrato

Tutte le frazioni che hanno il denominatore (numero di parti uguali in cui va divisa l’unità) uguale al numeratore (numero delle parti che vanno considerate) rappresentano l’intero: Template:Testo centrato

Frazioni apparenti

Per esempio se divido un quadrato in due parti uguali e ne prendo due parti ottengo l’intero; se divido un quadrato in tre parti uguali e ne prendo tre parti ottengo l’intero …

Cosa significa costruire la grandezza $\frac{6}{2}$ del quadrato $Q$? Tutte le frazioni che hanno il numeratore che è multiplo del denominatore rappresentano un multiplo dell’intero:

Le frazioni che hanno il numeratore maggiore del denominatore rappresentano grandezze più grandi dell’intero. Infatti le parti da considerare (indicate dal numeratore) sono di più delle parti in cui è divisa l’unità (indicate dal denominatore).

Frazioni improprie

Dalle frazioni ai numeri razionali

Abbiamo visto che ci sono delle frazioni che, pur essendo diverse tra di loro, rappresentano la stessa parte dell’intero: queste frazioni vengono chiamate frazioni equivalenti. Possiamo formare dei raggruppamenti di frazioni tra loro equivalenti, come nella figura.

Esempio di frazioni equivalenti

Nel nostro esempio $\frac{2}{3}$ è il numero razionale rappresentante del raggruppamento

In questo modo abbiamo dato al simbolo $\frac{a}{b}$ un nuovo significato, quello di numero e come tale la scrittura $\frac{a}{b}$ rappresenta il quoziente indicato tra i due numeri naturali $a$ e $b$. Scriveremo quindi: $\frac{2}{3}=2/3=2:3$.

Il segno del numero razionale relativo è quello che si ottiene dalla regola della divisione dei segni tra numeratore e denominatore.

Le frazioni proprie, che hanno numeratore minore del denominatore, rappresentano sempre un numero compreso tra 0 e 1.

Le frazioni improprie, che hanno numeratore maggiore del denominatore, si possono scrivere come somma di un numero naturale e di una frazione propria:

• il numero naturale è il risultato della divisione intera tra numeratore e denominatore;
• il numeratore della frazione propria è il resto della divisione tra numeratore e denominatore;
• il denominatore della frazione propria è il denominatore stesso della frazione.

Le frazioni apparenti, del tipo $\frac{2}{2}$, $\frac{6}{3}$, $\frac{20}{5}$, $\frac{12}{4}$, $\frac{12}{3}$, … corrispondono a un numero intero, rispettivamente a 1, 2, 4, 3, 4, …

La scrittura dei numeri razionali

I numeri razionali, rappresentati finora come frazioni, possono essere scritti come numeri decimali: basta fare la divisione tra numeratore e denominatore, il quoziente ottenuto è la rappresentazione della frazione sotto forma decimale.

Esempio del passaggio dalle frazioni ai numeri razionali

I numeri decimali che si ottengono sono di due tipi: numeri decimali finiti come $1,375$ e numeri decimali periodici come $0,3333$…; quest’ultimo si scrive mettendo una barra sulla parte periodica: $0,\bar{3}$ oppure racchiudendo la parte periodica tra parentesi tonde $0,(3)$.

I numeri decimali finiti si ottengono dalle frazioni il cui denominatore ha come fattori solo il 2, solo il 5 o entrambi, eventualmente elevati a una potenza.

I numeri decimali periodici semplici si ottengono dalle frazioni il cui denominatore non ha per fattori né 2 né 5.

I numeri decimali periodici misti si ottengono dalle frazioni il cui denominatore contiene altri fattori oltre al 2 e al 5.

Viceversa un numero decimale finito o periodico può essere sempre scritto sotto forma di frazione.

Per facilitare questa operazione possiamo considerare i numeri decimali finiti come frazioni particolari che hanno il numeratore uguale al numero decimale e il denominatore uguale a 1.

Ad esempio, il numero 1,360 ha due cifre significative dopo la virgola, quindi: Template:Testo centrato ed il numero 0,00043000 ha cinque cifre significative dopo la virgola, quindi: Template:Testo centrato

Un numero decimale periodico, generalmente, presenta tre elementi:

la parte intera

composta dalle cifre poste prima della virgola;

il periodo

che è composto da una o più cifre che si ripetono all’infinito dopo la virgola;

l’antiperiodo

la parte, talvolta assente, composta da una o più cifre poste tra la virgola e il periodo.

Per esempio, nel numero $253,485795795795795\dots$ la parte intera è $253$, il periodo è $579$ e l’antiperiodo è $48$. Dato che il numero è infinito non può essere scritto con tutte le sue cifre, si usano due modi per scriverlo in forma compatta, mettendo una lineetta sopra le cifre del periodo o racchiudendo le cifre del periodo tra parentesi tonde. Quindi può essere rappresentato come $253,48\overline{579}$, oppure $253,48(579)$.

I numeri decimali periodici si dividono in:

semplici

se subito dopo la virgola è presente il periodo (non hanno antiperiodo);

misti

se dopo la virgola è presente l’antiperiodo.

Anche i numeri periodici possono essere trasformati in una frazione, che si dice frazione generatrice del numero.

Ma perché questa regola? Una possibile spiegazione  Consideriamo il numero periodico semplice $2,\bar{3}$. Poiché $2,\bar{3}\cdot 10=23,\bar{3}$ si ha che $2,\bar{3}\cdot 9=23,\bar{3}-2,\bar{3}=21$. Quindi, consideriamo la frazione $\frac{2,\bar{3}}{1}$ e moltiplichiamo numeratore e denominatore per $9$, così da far sparire la parte periodica al numeratore. Si ha quindi Template:Testo centrato

Possiamo usare lo stesso procedimento per il numero periodico misto $2,5\overline{12}$. Poiché $2,5\overline{12}\cdot 1000=2512,\overline{12}$ si ha che $2,5\overline{12}\cdot 990=2512,\overline{12}-25,\overline{12}=2487$. Quindi, consideriamo la frazione $\frac{2,5\overline{12}}{1}$ e moltiplichiamo numeratore e denominatore per $990$, così da far sparire la parte periodica al numeratore. Si ha quindi Template:Testo centrato

Numeri periodici particolari

Numeri periodici particolari sono quelli che hanno come periodo il numero $9$, come $2,\bar{9}$, $1,1\bar{9}$, $21,22\bar{9}$, ecc. Se, per esempio, applichiamo la regola per il calcolo della frazione generatrice al numero periodico otteniamo un risultato inatteso Template:Testo centrato

Quindi $2,\bar{9}$ coincide con il numero intero $3$. Per lo stesso motivo $1,1\bar{9}=1,2$ e $21,22\bar{9}=21,23$.

Esempio grafico per numeri periodici

Questo fatto si può anche dimostrare in modo grafico, rappresentando, ad esempio, il numero $0,\bar{9}$ e il numero $1$ sulla retta reale. Se i due numeri fossero diversi sarebbero rappresentati da due punti distinti come in figura. Dato che la retta reale non può avere “buchi”, tra due punti distinti ce ne deve essere almeno un altro corrispondente ad un numero compreso tra i primi due. Ma qual è questo numero? Qualunque numero decimale minore di $1$ è sicuramente superato dal numero $0,\bar{9}$, ad esempio $0,9999999998$ è sicuramente più piccolo di $0,\bar{9}$. Quindi non può esistere nessun numero tra $0,\bar{9}$ e $1$, di conseguenza i due numeri coincidono.

I numeri razionali e la retta

Anche i numeri razionali si possono rappresentare su una retta orientata. Per fare questo occorre scegliere un punto $O$ sulla retta e associare ad esso il numero 0. Fissiamo poi un segmento unitario e scegliamo un verso di percorrenza.

Un numero razionale positivo, rappresentato dalla frazione $\frac{a}{n}$, corrisponde a un punto della retta determinato nel seguente modo.

Dividiamo il segmento unitario $u$ in tante parti uguali quante sono quelle indicate dal denominatore $n$ della frazione, ottenendo così la frazione unitaria $\frac{1}{n}$. A partire dal punto di origine $O$, procedendo verso destra, si contano $a$ frazioni unitarie. L’ultimo punto rappresenta il numero razionale $\frac{a}{n}$.

Per le frazioni improprie la singola unità $u$ non è sufficiente, occorre prendere quella successiva e dividere anche questa in $n$ parti. Il procedimento si ripete fino a che si considerano tutte le frazioni unitarie indicate da $a$. Anche in questo caso, il punto individuato dall’ultima frazione unitaria rappresenta il numero razionale $\frac{a}{n}$.

In alternativa si può scomporre la frazione impropria nella somma di un numero intero e di una frazione propria, quindi si rappresenta la frazione impropria a partire dal suo numero intero invece che partire da 0. Per esempio, per rappresentare la frazione $\frac{3}{2}$ trasformiamo la frazione in $1+\frac{1}{2}$, quindi per indicare $\frac{3}{2}$ possiamo rappresentare $\frac{1}{2}$ partendo da 1.

Se il numero razionale è negativo, ci muoviamo nel senso opposto, cioè da destra verso sinistra.

Numeri razionali e la retta

Confronto tra numeri razionali

Il numero razionale rappresentato dalla frazione $\frac{a}{n}$ è minore del numero razionale rappresentato dalla frazione $\frac{b}{m}$, se nella retta orientata il punto che corrisponde alla frazione $\frac{a}{n}$ precede il punto che corrisponde alla frazione $\frac{b}{m}$ e si scrive   $\frac{a}{n}<\frac{b}{m}$.

Viceversa il numero razionale $\frac{a}{n}$ è maggiore di $\frac{b}{m}$ se nella retta orientata il punto che corrisponde alla frazione $\frac{a}{n}$ segue il punto che corrisponde alla frazione $\frac{b}{m}$ e si scrive  $\frac{a}{n}>\frac{b}{m}$.

Infine il numero razionale $\frac{a}{n}$ è equivalente a $\frac{b}{m}$ se nella retta orientata i punti che corrispondono alle frazioni $\frac{a}{n}$ e $\frac{b}{m}$ coincidono e si scrive  $\frac{a}{n}=\frac{b}{m}$.

Per alcune frazioni è facile vedere se una frazione è minore o maggiore di un'altra. Ma non sempre è così semplice.

Consideriamo per esempio le frazioni $\frac{7}{9}$ e $\frac{6}{7}$. Quale frazione precede e quale segue? Il confronto non è immediato perché con la prima frazione si conta per unità frazionarie di tipo $\frac{1}{9}$ e con la seconda per unità frazionarie di tipo $\frac{1}{7}$.

In generale, senza ricorrere alla rappresentazione sulla retta, come si possono confrontare i numeri razionali?

Conviene sostituire le frazioni date con altre equivalenti che hanno le stesse unità frazionarie: cioè occorre ridurre le frazioni allo stesso denominatore.

Un altro modo per confrontare due frazioni consiste nel moltiplicare in croce numeratori e denominatori delle frazioni, come nei seguenti esempi.

Le operazioni con i numeri razionali

Con i numeri razionali è sempre possibile eseguire le addizioni, le moltiplicazioni, le sottrazioni e le divisioni. In altre parole, poiché un numero razionale può essere scritto sotto forma di frazione, se si addizionano, si moltiplicano, si sottraggono, si dividono due frazioni il risultato è sempre una frazione.

Addizione

Se due frazioni hanno la stessa unità frazionaria allora è sufficiente sommare i numeratori delle frazioni e prendere come denominatore l’unità frazionaria comune. Template:Testo centrato

Se le unità frazionarie sono diverse dobbiamo considerare frazioni equivalenti a quelle date che abbiano la stessa unità frazionaria e poi eseguire l’addizione come indicato nel punto precedente e cioè sommando i numeratori e lasciando lo stesso denominatore comune.

Rappresentazione grafica di 5/3+2/5

In generale, la somma di due frazioni $\frac{m}{n}+\frac{p}{q}$ si può scrivere come $\frac{m\cdot q+n\cdot p}{n\cdot q}$.

Rappresentazione grafica della somma di frazioni

Quando si sommano due frazioni si può scegliere un qualsiasi denominatore comune, tuttavia per semplificare i calcoli conviene scegliere il più piccolo possibile, cioè il minimo comune multiplo dei denominatori delle frazioni da sommare.

Sottrazione di frazioni

La sottrazione di frazioni si può sempre trasformare in una addizione tra la prima frazione e l’opposto della seconda frazione. Come per i numeri relativi, quando si parla di somma di frazioni si intende sempre somma algebrica di frazioni.

Moltiplicazione

Rappresentazione grafica della moltiplicazione di frazioni

Il prodotto tra frazioni può essere interpretato come l’area di un rettangolo in cui le frazioni fattori sono la base e l’altezza.

Moltiplicare $\frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}$ è come calcolare l’area del rettangolo di base $\frac{4}{5}$ e altezza $\frac{2}{3}$. Ogni rettangolino di base $\frac{1}{5}$ e altezza $\frac{1}{3}$ ha area $\frac{1}{15}$. I rettangolini da prendere in considerazione sono 8. Il risultato è quindi $\frac{8}{15}$. Il denominatore indica in quante parti è stato diviso il quadrato unitario: sono $3\cdot 5=15$ parti. Il numeratore indica quante parti prendiamo, sono le parti $2\cdot 4=8$ in grigio.

Diagramma della moltiplicazione di frazioni

Se infatti moltiplichiamo una frazione per se stessa con il numeratore ed il denominatore scambiati tra loro, si ottiene Template:Testo centrato

in quanto il numeratore ed il denominatore sono uguali (lo stesso prodotto).

Operazione inversa e aritmetica dell’orologio

La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione. Ma cosa significa operazione inversa? Un’operazione può essere interpretata come qualsiasi azione che provoca un cambiamento di stato.

Consideriamo come esempio l’addizione nell’orologio che segna le ore dodici $(12=0)$. Addizionare significa spostare le lancette in avanti di un determinato numero di ore. Si riporta la tabella dell’addizione dell’orologio.

Consideriamo l’addizione $9+7=4$. Il primo elemento 9 può essere interpretato come stato iniziale, il simbolo $+$ come operatore che indica l’operazione <<spostare le lancette avanti di …>> e dall’argomento $7$; il risultato 4 è lo stato finale.

Si indica come operazione inversa quella che applicata allo stato finale con argomento uguale a quello dell’operazione diretta, riporta allo stato iniziale.

Notiamo che anche nella matematica dell’orologio l’addizione gode della proprietà commutativa e associativa, ha l’elemento neutro, che è 0, e ogni numero ha l’inverso.

Matematica dell'orologio

• L’inverso di 0 è 0 perché $0+0=0$;
• l’inverso di 1 è 11 perché $1+11=0$;
• l’inverso di 2 è 10 perché $2+10=0$;
• l’inverso di 3 è 9 perché $3+9=0$;
• l’inverso di 4 è 8 perché $4+8=0$;
• l’inverso di 5 è 7 perché $5+7=0$.

L’elemento inverso è molto importante in quanto ci permette di sostituire l’operazione inversa con l’operazione diretta, fornendo come argomento l’elemento inverso di quello dell’operazione diretta iniziale.

Operazione inversa nella matematica dell'orologio

Così per tornare allo stato iniziale invece di operare portando indietro le lancette di 7, otteniamo lo stesso risultato portando avanti le lancette di 5 che è appunto l’inverso di 7.

Divisione

La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione. Dato che nell’insieme dei numeri razionali esiste sempre l’inverso di una frazione rispetto alla moltiplicazione, esclusa la frazione zero, si può sempre eseguire la divisione di due qualsiasi frazioni.

Diagramma della divisione tra frazioni

Potenza di una Frazione

Come per ogni numero, anche per le frazioni, la potenza di una frazione non è altro che un prodotto di tante frazioni identiche alla frazione data quanto è il valore dell’esponente, pertanto si trova elevando il numeratore e il denominatore della frazione all’esponente della potenza.

Potenza con esponente uguale a zero

La definizione di potenza si estende anche al caso in cui l’esponente è zero.

Consideriamo l’esempio della divisione di due potenze con la stessa base e con lo stesso esponente:

• $a^n:a^n=1$, la divisione di due numeri uguali è 1;
• $a^n:a^n=a^0$, applicando le proprietà delle potenze.

Possiamo allora concludere che per ogni frazione o numero razionale $a$ diverso da zero risulta $a^0=1$. Non è invece possibile definire la scrittura $0^0$.

Potenza con esponente intero negativo

La definizione di potenza si può estendere anche al caso in cui l’esponente sia uguale a un numero intero negativo: Template:Testo centrato

Si può definire allora per ogni numero razionale diverso da zero Template:Testo centrato

Non è definita invece la potenza con esponente negativo di 0. Il numero 0 infatti non ha il reciproco. Pertanto, $0^{-n}$ è una scrittura priva di significato.

Introduzione ai numeri reali

Per quanto abbiamo visto nei paragrafi precedenti, l’insieme dei numeri razionali $\mathbb{Q}$ è quello che contiene gli altri presentati precedentemente, ovvero i naturali $\mathbb{N}$ e gli interi relativi $\mathbb{Z}$, cioè $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$. In realtà questo insieme, per quanto infinito, non è sufficiente a contenere tutti i numeri che utilizziamo, poiché ve ne sono alcuni (infiniti), detti irrazionali, il cui insieme viene indicato con $𝕁$, che derivano da operazioni come l’estrazione di radice, il cui risultato non trova sempre una corrispondenza in $\mathbb{Q}$.

Consideriamo infatti il numero $\sqrt{2}$ e supponiamo, per ipotesi, che sia un numero razionale. Quindi possiamo scrivere $\sqrt{2}=\frac{n}{m}$ con $n$ e $m$ numeri interi primi tra loro (una frazione può sempre essere ridotta ai minimi termini). Dunque, elevando al quadrato entrambi i termini si ha: $\sqrt{2}=\frac{n}{m}\Rightarrow 2=\frac{n^2}{m^2}.$ Cioè $n^2$ è il doppio di $m^2$, ovvero $n^2$ e $m^2$ non sono primi tra loro e pertanto non lo sono neanche $n$ e $m$, in contraddizione con quanto ipotizzato. Perciò $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$.

Come $\sqrt{2}$ esistono altri numeri che non appartengono a $\mathbb{Q}$, ad esempio $\sqrt{3}$, $\pi$, …

L’unione dell’insieme dei numeri razionali $\mathbb{Q}$ e quello degli irrazionali $𝕁$ costituisce l’insieme dei numeri reali $ℝ$, ovvero $ℝ=\mathbb{Q}\cup 𝕁$, che in genere è quello al quale si fa riferimento in matematica e sarà trattato in dettaglio nel volume Algebra 2.

Mettendo quindi in relazione la retta orientata con l’insieme $\mathbb{Q}$, esistono punti di quest’ultima che non provengono da elementi di $\mathbb{Q}$, ovvero esistono dei “buchi”. Tali buchi scompaiono considerando al posto di $\mathbb{Q}$ l’insieme $ℝ$.

Notazione scientifica e ordine di grandezza

Le discipline scientifiche quali la fisica, la biologia, l’astronomia, ecc., si trovano spesso a doversi confrontare con misurazioni di grandezze espresse da numeri molto grandi o molto piccoli. Per esempio:

• il raggio della Terra è circa $6400000\text{m}$;
• la velocità della luce nel vuoto è $299790000\text{m/s}$;
• un globulo rosso ha il diametro di $0,000007\text{m}$.

I primi due numeri sono molto grandi, mentre l’ultimo è molto piccolo e operare con numeri simili, non è affatto semplice.

Per renderci conto di ciò, consideriamo un rettangolo di dimensioni $b=0,00000006\text{m}$ e $h=0,0000002\text{m}$ e calcoliamone l’area: $A=b\cdot h=0,00000006\cdot 0,0000002=0,000000000000012{\text{m}}^2.$

Esempio per la notazione scientifica

Come si può notare, per scrivere il risultato di un’operazione tra due numeri, in questo caso molto piccoli, è necessario fare particolare attenzione in quanto, per l’eccessiva quantità di cifre decimali, è facile commettere degli errori.

Per risolvere questo problema, si preferisce utilizzare una scrittura compatta che permette di scrivere questo tipo di numeri in forma più agevole. Una tale scrittura prende il nome di notazione scientifica.

Come trasformare un numero in notazione scientifica

Consideriamo la misura del diametro del globulo rosso, ovvero $0,000007\text{m}$. Per esprimere questa misura in notazione scientifica basta considerare la sua frazione generatrice, ovvero: Template:Testo centrato

Allo stesso modo il numero $0,000000026$ viene scritto in notazione scientifica come segue: Template:Testo centrato Si osservi che in questo secondo caso abbiamo preso in considerazione il valore $2,6$ anziché $26$, in quanto il numero $k$ deve essere minore di $10$.

Consideriamo ora la misura del raggio della Terra, ovvero $6400000\text{m}$, la sua espressione in notazione scientifica sarà: $6,4\cdot 10^6$.

Allo stesso modo il numero $340000000000$ viene scritto in notazione scientifica $3,4\cdot 10^{11}$. Si osservi che in questo secondo caso abbiamo preso in considerazione il valore $3,4$ anziché $34$, in quanto, come si è già detto, il numero $k$ deve essere minore di $10$.

Ordine di grandezza

Spesso, nel trattare i numeri molto grandi o molto piccoli, non è importante conoscere la misura con precisione, ma basta conoscere “quanto il valore è più o meno grande”, cioè l’entità della sua grandezza. Per fare ciò si introduce il seguente concetto.

Se un numero è equidistante dalle due potenze del 10 tra le quali è compreso, si assume come ordine di grandezza la potenza maggiore.

Problemi con le frazioni

Problemi diretti

Nei problemi diretti si conosce il valore di una grandezza e se ne deve calcolare la parte che corrisponde a una frazione. In questo caso basta moltiplicare la frazione per la grandezza intera.

Problemi inversi

Nei problemi inversi si conosce il valore numerico di una frazione di una certa grandezza e si deve calcolare il valore dell’intera grandezza. In questo caso occorre dividere il valore numerico dato per la frazione, si ottiene così l’intero.

Le percentuali

Avrai sentito parlare spesso che il prezzo di un oggetto è stato scontato del $10$ per cento, oppure che un partito politico ha preso il $25$ per cento di voti e altre espressioni simili che coinvolgono le percentuali.

Le percentuali sono un altro modo per scrivere le frazioni.

La percentuale si indica con un numero intero o decimale seguita dal simbolo %. Template:Testo centrato

Quindi, in generale Template:Testo centrato

Per passare quindi dalla scrittura percentuale alla scrittura decimale basta dividere il numero che esprime la percentuale per $100$, cioè effettuare l’operazione di divisione tra il numeratore ed il denominatore: Template:Testo centrato

Per passare dalla scrittura decimale alla scrittura in percentuale, invece, occorre moltiplicare numeratore e denominatore per $100$: Template:Testo centrato

Per passare da una frazione alla sua scrittura in percentuale conviene prima scrivere la frazione come numero decimale e poi da questo passare alla percentuale: Template:Testo centrato

Problemi con le percentuali

Per calcolare la percentuale di una grandezza è sufficiente moltiplicare il valore della grandezza per la percentuale espressa in frazione.

A volte è nota una parte della grandezza e si vuole conoscere che percentuale è la parte nota rispetto al totale. In questo caso occorre dividere la parte nota per l’intera grandezza, moltiplicare il risultato per $100$ ed esprimere il numero in percentuale.

Si noti che nell’ultimo esempio è stato utilizzato il simbolo $\simeq$ (circa uguale) che indica un’approssimazione del calcolo, ovvero che la corrispondenza tra le scritture a sinistra e a destra di tale simbolo non è esatta, ma è approssimata all’ultima cifra decimale indicata nella scrittura di destra.

Proporzioni

Componenti di una proporzione: antecedente e conseguente

Componenti di una proporzione

Analogamente alla proprietà del comporre si ha la seguente:

Calcolo di un medio o un estremo incognito

Il medio incognito di una proporzione si calcola moltiplicando gli estremi e dividendo per il medio noto: Template:Testo centrato

L’estremo incognito di una proporzione si calcola moltiplicando i medi e dividendo per l’estremo noto: Template:Testo centrato

Una proporzione continua è del tipo $A:B=B:C$, per esempio le seguenti proporzioni sono continue Template:Testo centrato

Calcolo del medio in una proporzione continua

In una proporzione continua il medio proporzionale incognito si ottiene moltiplicando gli estremi e calcolando la radice quadrata del prodotto ottenuto, cioè $a:x=x:d\Rightarrow x=\sqrt{a\cdot d}.$

Grandezze direttamente e inversamente proporzionali

Il perimetro di un triangolo equilatero varia al variare della lunghezza del suo lato. Se si indica con $l$ la lunghezza del lato del triangolo, allora il perimetro ($2p$) è dato dalla relazione: Template:Testo centrato

È possibile notare che se si raddoppia il lato, raddoppia anche il perimetro; se si triplica il lato, allora triplica anche il perimetro, ecc.

Lato ($l$)	$0,5$	$1$	$1,5$	$2,4$	$3,1$	$4,4$
Perimetro ($2p$)	$1,5$	$3$	$4,5$	$7,2$	$9,3$	$13,2$
Rapporto $\frac{2p}{l}$	$3$	$3$	$3$	$3$	$3$	$3$

In generale, da quest’ultima scrittura, possiamo dedurre che una proporzionalità diretta è espressa da una formula del tipo: Template:Testo centrato

Graficamente un tale tipo di proporzionalità è rappresentato da una retta che passa per l’origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali.

Esempio di proporzionalità diretta

Esaminiamo ora un altro esempio. Se quando vai a fare benzina allo scooter chiedi ogni volta €. $10$ di benzina, noterai che se aumenta il prezzo della benzina diminuirà la quantità di carburante che ricevi e viceversa se diminuisce il prezzo aumenterà la quantità di carburante che ricevi. Ciò che rimane costante è il prodotto tra il prezzo della benzina e la quantità di benzina ricevuta che deve essere sempre €. $10$.

Prezzo benzina al litro: $p$(€)	$1,126$	$1,156$	$1,212$	$1,248$
Benzina ricevuta: $b$ (l)	$8,881$	$8,650$	$8,251$	$8,013$
Costo: $c=p\cdot b$ (€)	$10,00$	$10,00$	$10,00$	$10,00$

In generale, da quest’ultima scrittura, possiamo dedurre che una proporzionalità inversa è espressa da una formula del tipo: Template:Testo centrato

Graficamente un tale tipo di proporzionalità è rappresentato, in un sistema di assi cartesiani ortogonali, da un ramo d’iperbole equilatera (figura.

Esempio di proporzionalità inversa