Algebra 1/Vettori e funzioni circolari/Trigonometria

Prime definizioni

L’etimologia della parola “trigonometria” dal greco $\tau \rho \acute{\iota }\gamma \omega \nu o\nu$ (trígonon triangolo) e $\mu \acute{ϵ}\tau \rho o\nu$ (métron misura) chiarisce in cosa consiste questa parte della matematica che ci accingiamo ad affrontare. La trigonometria nasce dal problema di “risolvere un triangolo”, cioè di ricavare la misura di alcuni suoi elementi incogniti date le misure di altri elementi. Dal momento che gli elementi di un triangolo sono sei, i tre lati e i tre angoli, vedremo come, date le misure di almeno tre di questi elementi di cui almeno uno sia un lato, sia possibile determinare la misura degli altri tre elementi mancanti.

Triangolo rettangolo

Disegniamo un triangolo rettangolo, retto in $A$, avendo cura di indicare con la stessa lettera vertice (maiuscola) e lato opposto (minuscola), come nella figura a fianco. Ricordiamo che tra i lati sussiste la relazione del teorema di Pitagora $\stackrel{2}{\stackrel{‾}{BC}}=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AC}}+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AB}}$ e che ciascun cateto è minore dell’ipotenusa. Ricordiamo anche che gli angoli acuti sono complementari $\hat{C}+\hat{B}=90\text{°}$.

Riferendoci alla figura, chiamiamo cateto adiacente all’angolo acuto $\beta$ il cateto $AB$ indicato con $c$ e cateto opposto all’angolo $\beta$ il cateto $AC$ indicato con $b$.

Le definizioni sono ben poste: le funzioni seno dell’angolo (sen o sin), coseno dell’angolo (cos), tangente dell’angolo (tan o tg) dipendono solo dall’angolo e non dal particolare triangolo rettangolo usato. Infatti angoli acuti della stessa misura appartengono a triangoli rettangoli tutti simili tra loro; dato che i lati di triangoli simili sono in proporzione, il rapporto tra i lati è invariato. Inoltre possiamo certamente affermare che le funzioni seno e coseno di angoli acuti assumono valori positivi minori di 1, poiché in un triangolo rettangolo il cateto è minore dell’ipotenusa.

Dal confronto delle definizioni, notiamo che valgono le uguaglianze: Template:Testo centrato per cui possiamo anche scrivere: Template:Testo centrato

Due identità fondamentali

Dalle definizioni date nella sezione precedente, otteniamo le seguenti identità fondamentali: Template:Testo centrato cioè la tangente di un angolo è il rapporto tra il seno dell’angolo e il coseno dello stesso angolo. In generale: Template:Testo centrato

Dal teorema di Pitagora si ha $a^2=b^2+c^2$ da cui, dividendo ambo i membri per $a^2$, si ottiene Template:Testo centrato In generale, per qualunque angolo $x$ vale Template:Testo centrato

Angoli particolari

Possiamo ricavare per via geometrica il valore esatto delle funzioni trigonometriche di angoli particolari.

Angoli di 45°

Triangolo rettangolo isoscele

Il triangolo rettangolo isoscele ha gli angoli acuti di $45\text{°}$ ed è la metà di un quadrato di lato $l$. Sappiamo che $d=\sqrt{l^2+l^2}=\sqrt{2l^2}=\sqrt{2}l$; poiché il calcolo delle funzioni trigonometriche per un angolo non dipende dal particolare triangolo usato, possiamo concludere per le definizioni date: $\sin (45\text{°})=\frac{l}{\sqrt{2}l}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ e anche $\cos (45\text{°})=\frac{\sqrt{2}}{2}$ e per la definizione di tangente dell’angolo $\tan (45\text{°})=1$.

Angoli di 30° e 60°

Triangolo rettangolo con angoli di 30 e 60 gradi

Il triangolo rettangolo con un angolo di $30\text{°}$ ha l’altro angolo acuto di $60\text{°}$ pertanto possiamo trattare insieme la ricerca delle funzioni trigonometriche di tali angoli.

Il triangolo rettangolo in questione è la metà di un triangolo equilatero di lato $l$ e altezza $h$; poiché $\overline{HC}$ è metà del lato possiamo subito dire che $\cos (60\text{°})=\frac{\overline{HC}}{l}=\frac{l/2}{l}=\frac{1}{2}$. Per le definizioni date si ha $\sin (60\text{°})=\frac{\overline{AH}}{l}$. Applicando il teorema di Pitagora si ottiene Template:Testo centrato

Infine $\tan (60\text{°})=\frac{\sin (60\text{°})}{\cos (60\text{°})}=\sqrt{3}$.

Ricordando che per angoli complementari è $\sin (x)=\cos (90\text{°}-x)$ e $\cos (x)=\sin (90\text{°}-x)$ ed essendo $30\text{°}=90\text{°}-60\text{°}$ possiamo scrivere: Template:Testo centrato e infine Template:Testo centrato

Angoli di 0° e 90°

Triangolo rettangolo

Ovviamente non esiste un triangolo con un angolo di $0\text{°}$: si tratta di un triangolo che degenera in un segmento. Possiamo pensare ad un triangolo rettangolo come nella figura, avente $a=1$ e immaginare di muovere il vertice $C$ in modo da rimpicciolire sempre più l’angolo $\beta$; quando $\beta$ diventa $0\text{°}$ il segmento $b$ si riduce ad un punto e si ha $b=0$ e quindi $sin(0\text{°})=0$, l’ipotenusa $a$ coincide con il cateto $c$ quindi $\cos (0\text{°})=1$ e infine $\tan (0\text{°})=0$.

Allo stesso modo, se deformiamo il triangolo fino ad avere l’angolo $\gamma$ di $0\text{°}$, quindi $\beta$ di $90\text{°}$, otteniamo che $\sin (90\text{°})=1$ e $\cos (90\text{°})=0$; applicando la formula della tangente si avrà una frazione con denominatore nullo e quindi diremo che $\tan (90\text{°})$ non è definita.

Possiamo riassumere i valori trovati per questi angoli particolari in una tabella: Template:Testo centrato

Come possiamo ottenere i valori delle funzioni trigonometriche per angoli diversi da quelli sopra considerati?

Usare la calcolatrice

Sul mercato ci sono vari tipi di calcolatrice scientifica, ciascuno dovrà familiarizzare con la propria calcolatrice per imparare ad impostare correttamente il calcolo da effettuare e i tasti da pigiare per ottenere il corretto risultato. Se non si digita in modo consapevole e se non si sanno leggere i risultati, la calcolatrice è uno strumento inutilizzabile e talvolta può anche essere dannoso.

Nel seguito faremo riferimento alla calcolatrice kcalc, in dotazione all’ambiente di desktop KDE (GNU Linux), cercando di dare riferimenti che si adattino a tutte le calcolatrici.

La calcolatrice di KDE

Passo I: scelta dell’unità di misura  Sicuramente conosci già, come unità di misura degli angoli, il grado sessagesimale (indicato con il simbolo $\text{°}$). Esistono però altre unità di misura utilizzate in contesti diversi: i gradi centesimali (chiamati anche gradienti), utilizzati principalmente in topografia, e i radianti, utilizzati in matematica, specialmente in analisi. Su tutte le calcolatrici scientifiche è possibile effettuare le operazioni sugli angoli scegliendo l’opportuna unità di misura:

Angolo	Sigla	Sigla abbreviata
gradi sessagesimali	DEG	$\text{°}$
gradi centesimali	GRAD	G
radianti	RAD

Impostiamo la calcolatrice in modo da ricevere in ingresso angoli misurati in gradi sessagesimali (con kcalc dobbiamo impostare il selettore in alto a sinistra sulla pulsantiera sul simbolo $\text{°}$, altre calcolatrici hanno un pulsante che permette di passare da una impostazione all’altra, in sequenza).

Passo II: calcolo del coseno di un angolo  Ci proponiamo di determinare $\cos (60\text{°})$.

Controllate di aver impostato l’input dell’angolo in gradi sessagesimali, quindi digitate $60$ e premete il tasto cos. La calcolatrice restituisce $0.5$. Dunque $\cos (60\text{°})=0,5$.

Attenzione: per i numeri decimali sulla calcolatrice useremo il “punto decimale” in sostituzione della virgola.

Operazioni con i gradi sessagesimali

Accenniamo alle addizioni e sottrazioni tra angoli.

Risoluzione di triangoli rettangoli

Ricordiamo che risolvere un triangolo significa ricavare le misure di tutti i suoi elementi (lati e angoli) date le misure di alcuni di essi.

Proiezione di un segmento lungo una direzione

Proiezioni su rette

Risoluzione di un triangolo qualsiasi con triangoli rettangoli

Per risolvere i triangoli qualsiasi, tramite l’altezza, bisogna ricercare all’interno della figura considerata dei triangoli rettangoli. Nel seguito saranno indicati altri teoremi che permettono di risolvere tutti i tipi di triangoli.

Applicazioni alla topografia

La topografia è una disciplina che studia gli strumenti ed i metodi operativi, sia di calcolo che di disegno, necessari per ottenere una rappresentazione grafica di una parte della superficie terrestre. La topografia ha carattere applicativo e trae la sua base teorica dalla matematica, dalla geometria e dalla trigonometria.

Risoluzione di un triangolo qualunque

Le funzioni trigonometriche possono essere calcolate anche su angoli maggiori di $90\text{°}$. Poiché, al momento, siamo interessati alle applicazioni sui triangoli, ci basterà estendere le nostre considerazioni agli angoli compresi fra $90\text{°}$ e $180\text{°}$, essendo $180\text{°}$ la misura limite superiore di un angolo interno di un triangolo.

Affrontiamo ora il problema della risoluzione di un triangolo qualsiasi. Come sappiamo, gli elementi caratteristici di un triangolo sono le misure dei suoi lati e dei suoi angoli. Sappiamo anche che per determinare univocamente un triangolo sono, in linea di massima, necessari solo tre di questi elementi purché uno almeno di questi sia un lato. Ciò deriva dai tre criteri di congruenza dei triangoli che andiamo a ricordare.

Primo criterio di congruenza  Due triangoli che abbiano rispettivamente congruenti due lati e l’angolo tra essi compreso sono congruenti.

Secondo criterio di congruenza  Due triangoli che abbiano rispettivamente congruenti un lato e due angoli ugualmente posti rispetto al lato sono congruenti.

Terzo criterio di congruenza  Due triangoli che abbiano rispettivamente congruenti i tre lati sono congruenti.

Quello che ci chiediamo è se la trigonometria, finora usata solo per i triangoli rettangoli, ci possa venire in aiuto per la determinazione delle misure degli elementi incogniti di un triangolo qualunque, quando conosciamo i tre elementi che lo determinano univocamente. Ad esempio, se è assegnata la lunghezza di due lati e l’ampiezza dell’angolo compreso, la geometria euclidea ci aiuta a costruire il suddetto triangolo tramite riga e compasso ma non ci dice nulla delle misure degli elementi incogniti.

Disegniamo un triangolo avendo cura di indicare con la stessa lettera vertice e lato opposto e di nominare con $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ le ampiezze degli angoli di vertice rispettivamente $A$, $B$ e $C$.

Risoluzione di un triangolo qualsiasi

Caso I: due lati e l’angolo compreso congruenti

Come abbiamo premesso, assegnati due lati e l’angolo tra essi compreso, la geometria euclidea ci assicura l’esistenza di un solo triangolo che soddisfi i dati, ma non ci permette di determinare la misura del terzo lato, né le ampiezze degli altri angoli. Abbiamo bisogno di altri strumenti come il teorema di Carnot. Template:Algebra1/Box vuoto

Caso II: tre lati congruenti

Sappiamo dalla geometria euclidea che assegnati tre segmenti affinché si possa costruire il triangolo che li ha come lati deve essere verificato il teorema della disuguaglianza triangolare: “in qualsiasi triangolo, ogni lato deve essere minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza”.

Caso III: un lato e gli angoli congruenti

Occorre un altro teorema per il problema della risoluzione di un triangolo qualunque.

Le funzioni circolari

Nel riferimento cartesiano ortogonale è assegnato il vettore $\overrightarrow{u}$ di modulo unitario $(\left|\overrightarrow{u}\right|=1)$, applicato nell’origine del riferimento e con direzione e verso coincidenti con quelle dell’asse $x$. Il suo estremo libero è il punto $B(1;0)$.

Funzioni circolari

Facciamo ruotare $\overrightarrow{u}$ intorno all’origine in senso antiorario finché torna ad occupare la posizione iniziale, cioè quando ha compiuto una rotazione di $360\text{°}$. Muovendosi con continuità, l’estremo $B$ descrive la circonferenza con centro nell’origine, quella tratteggiata nella figura a fianco; le componenti del vettore cambiano con continuità e dipendono dall’angolo che, per ogni posizione, il vettore stesso forma con l’asse delle $x$. Ad esempio, quando $\overrightarrow{u}$ ha descritto nella rotazione un angolo di $90\text{°}$, l’estremo $B$ si trova in $B_1(0;1)$; quando $\overrightarrow{u}$ ha descritto nella rotazione un angolo di $180\text{°}$, l’estremo $B$ si trova in $B_2(-1;0)$; quando $\overrightarrow{u}$ ha descritto nella rotazione un angolo di $270\text{°}$, l’estremo $B$ si trova in $B_3(0;-1)$; e dopo una rotazione completa ($360\text{°}$) torna a coincidere con la posizione iniziale $B_4\equiv B(1;0)$.

Confrontando questa definizione con quanto descritto sopra possiamo innanzitutto affermare che seno e coseno di un angolo sono numeri reali positivi, negativi o nulli a seconda dell’angolo formato dal vettore e quindi della posizione del punto $B$ sulla circonferenza:

• se $\alpha =0\text{°}\Rightarrow B(1;0)\Rightarrow \overrightarrow{u}=(\cos (0\text{°});\sin (0\text{°}))\Rightarrow \cos (0\text{°})=1$ e $\sin (0\text{°})=0$;
• se $\alpha =90\text{°}\Rightarrow B(0;1)\Rightarrow \overrightarrow{u}=(\cos (90\text{°});\sin (90\text{°}))\Rightarrow \cos (90\text{°})=0$ e $\sin (90\text{°})=1$;
• se $\alpha =180\text{°}\Rightarrow B(-1;0)\Rightarrow \overrightarrow{u}=(\cos (180\text{°});\sin (180\text{°}))\Rightarrow \cos (180\text{°})=-1$ e $\sin (180\text{°})=0$;
• se $\alpha =270\text{°}\Rightarrow B(0;-1)\Rightarrow \overrightarrow{u}=(\cos (270\text{°});\sin (270\text{°}))\Rightarrow \cos (270\text{°})=0$ e $\sin (270\text{°})=-1$;
• se $\alpha =360\text{°}\Rightarrow B(1;0)\Rightarrow \overrightarrow{u}=(\cos (360\text{°})$;$\sin (360\text{°}))\Rightarrow \cos (360\text{°})=1$ e $\sin (360\text{°})=0$.

Per alcuni valori intermedi dell’angolo è possibile calcolare i relativi valori di seno e coseno usando metodi geometrici, per altri valori si può far uso della calcolatrice scientifica. Comunque, dai risultati sopra ottenuti, soprattutto riguardando la figura, possiamo affermare che qualunque sia l’angolo $\alpha$ sono sempre verificate le disuguaglianze: $-1\le \sin (\alpha )\le 1$ e $-1\le \cos (\alpha )\le 1$.

Ci proponiamo ora di tracciare il grafico della funzione $y=\sin (x)$. A questo scopo fermiamo la rotazione del vettore unitario ogni $30\text{°}$ (completate il disegno) e segniamo sulla circonferenza i punti $B_0$, $B_1$, $B_2$, ecc.

Funzioni circolari

Accanto alla rotazione del vettore unitario abbiamo tracciato un riferimento cartesiano dove sull’asse $x$ riportiamo le misure in gradi degli angoli descritti dal vettore unitario e sull’asse $y$ i valori assunti da $\sin (x)$, cioè dall’ordinata dell’estremo libero del vettore unitario che ruota in senso antiorario.

Per ogni angolo $x$ descritto riporteremo nel riferimento cartesiano $\sin (x)$. Il punto $B_0$ ha ordinata nulla dunque il primo punto che dobbiamo segnare nel riferimento cartesiano per costruire il grafico di $y=\sin (x)$ è l’origine; per segnare il punto di coordinate $P_1(30\text{°}$; $\sin (30\text{°}))$, da $B_1$ tracciamo la parallela all’asse $x$ fino ad incontrare la parallela all’asse $y$ tracciata da $30\text{°}$. Proseguite in questo modo per tutti gli altri punti $B_i$ della circonferenza per determinare i rispettivi punti $P_i$. Unendo i punti $P_i$ trovati si ha il grafico della funzione $y=\sin (x)$.

Noi l’abbiamo tracciato con GeoGebra. Notiamo che il valore massimo $1$ si ha per l’angolo di $90\text{°}$ mentre il minimo $-1$ si ha per l’angolo di $270\text{°}$. Se il vettore unitario dopo un giro completo ricominciasse nuovamente a ruotare in senso antiorario (positivo), descrivendo angoli maggiori di $360\text{°}$, il grafico si ripeterebbe identico al tratto compreso tra $0\text{°}$ e $360\text{°}$. Per questo motivo diciamo che la funzione $y=\sin (x)$ ha un andamento periodico.

La funzione seno

Abbiamo tracciato anche il grafico della funzione $y=\cos (x)$; sfruttando quanto fatto all’inizio del paragrafo; lasciamo al lettore di segnare sul grafico i valori dell’angolo per cui il coseno è nullo, il valore per cui il coseno assume il valore minimo $-1$, il punto del grafico di ascissa $=360\text{°}$. Per lo stesso discorso fatto sopra possiamo dire che la funzione $y=\cos (x)$ ha un andamento periodico.

La funzione coseno