Algebra 1/Vettori e funzioni circolari/Vettori

Prime definizioni

Sappiamo che due punti $A$ e $B$ presi su una retta $a$ determinano il segmento $b$ di estremi $A$ e $B$; fissiamo su di esso un verso di percorrenza, per esempio da $A$ verso $B$.

Un vettore libero è caratterizzato da tre elementi:

• la direzione indicata dalla retta su cui esso giace;
• il verso indicato dalla punta della freccia che dal primo estremo va al secondo estremo;
• il modulo o intensità, uguale alla misura del segmento $AB$: scriveremo $|\overrightarrow{u}|=\overline{AB}$ e leggeremo “il modulo del vettore $\overrightarrow{u}$ è uguale alla misura del segmento $AB$”.

Un vettore applicato è caratterizzato, oltre che dai tre elementi suddetti, anche dal punto di applicazione, ovvero il punto da cui parte la freccia, chiamato anche primo estremo del vettore.

Componenti di vettori

Osserviamo che un vettore può essere interpretato come uno spostamento dal primo estremo al secondo estremo, avente la direzione della retta cui appartiene il vettore stesso nel verso indicato dalla freccia. Nel piano dotato di riferimento cartesiano ortogonale è rappresentato il vettore $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ avente il primo estremo nel punto $A(-2;1)$ e il secondo estremo in $B(1;2)$. Per andare da $A$ a $B$ si possono compiere diversi percorsi: possiamo procedere sul vettore $\overrightarrow{u}$ oppure possiamo scegliere di compiere due spostamenti particolari, uno parallelo all’asse $x$ e l’altro parallelo all’asse $y$. In tal modo si determina il punto $C(1;1)$ come “tappa intermedia” per raggiungere $B$: ci spostiamo sul vettore $\overrightarrow{AC}$ e poi da $C$ sul vettore $\overrightarrow{CB}$.

Nella figura precedente figura le componenti del vettore assegnato sono positive in quanto sia lo spostamento orizzontale che quello verticale avvengono nello stesso verso degli assi coordinati. Scriveremo $\overrightarrow{AB}(+3;+1)$. Tutti i vettori del piano cartesiano di componenti $(+3;+1)$ sono equipollenti a $\overrightarrow{AB}$. Ciò che li distingue in modo univoco è il loro punto di applicazione.

Ottenute le componenti si determina il modulo del vettore utilizzando il teorema di Pitagora; si ha infatti $|\overrightarrow{u}|=\overline{AB}=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$. Il rapporto $m_{\overrightarrow{u}}=\frac{b}{a}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ indica invece la direzione del vettore.

Operazioni con i vettori

Somma di vettori

Somma di due vettori

Nella sua opera “Philosophiae naturalis principia mathematica” del 1682, Isaac Newton nel primo corollario alle leggi del moto, scrive: <<un corpo spinto da due forze congiunte descriverà la diagonale di un parallelogramma nello stesso tempo nel quale descriverebbe separatamente i lati>>.

Illustriamo con un esempio che per la somma di vettori vale la proprietà associativa.

Somma di due vettori

Osserviamo che la validità della proprietà associativa ci permette di costruire la somma di più vettori. Per come è definita l’operazione di somma, pensando al vettore come rappresentante di uno spostamento dal primo estremo al secondo, possiamo interpretare la figura come lo spostamento di un punto prima da $A$ fino a $B$ e poi da questo fino a $D$, essendo $\overrightarrow{BD}$ un vettore equipollente ad $\overrightarrow{AC}$ (cambia soltanto il punto di applicazione). Quindi possiamo affermare che il vettore somma di due vettori $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$ si può determinare prendendo due vettori $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{BC}$ rispettivamente equipollenti ai dati; se $\overrightarrow{AB}\equiv \overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{BC}\equiv \overrightarrow{v}$ allora la somma è il vettore $\overrightarrow{AC}$ avente $A$ come primo estremo e $C$ come secondo estremo.

Somma di vettori

Pertanto la somma di più vettori si può semplicemente determinare scegliendo per ogni addendo il vettore equipollente avente il primo estremo nell’estremo finale dell’addendo precedente: la somma è il vettore avente il primo estremo nel punto iniziale del primo addendo e l’estremo finale nel secondo estremo dell’ultimo addendo.

Abbiamo visto come si costruisce geometricamente il vettore somma di vettori; vediamo come si determinano le componenti del vettore somma se la questione è posta nel riferimento cartesiano ortogonale.

Applicazioni dei vettori  I vettori sono degli enti geometrici che vengono spesso utilizzati in fisica per rappresentare tutte le grandezze che sono definite conoscendo modulo, direzione, verso e punto di applicazione. Esempi di grandezze vettoriali sono: la velocità, l’accelerazione, la forza, il campo elettrico.

Differenza tra vettori

Differenza tra due vettori

Moltiplicazione di un numero reale per un vettore

In generale, dato un vettore $\overrightarrow{u}(x_u;y_u)$ si ha che $r\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{p}(r\cdot x_u;r\cdot y_u)$, quindi la sua direzione è $m_{\overrightarrow{p}}=\frac{r\cdot y_u}{r\cdot x_u}=\frac{y_u}{x_u}=m_{\overrightarrow{u}}$, cioè la stessa di $\overrightarrow{u}$.

Esercizio sui vettori

Dipendenza e indipendenza lineare

Nell’insieme $V$ di tutti i vettori del piano cartesiano, consideriamo i vettori $\overrightarrow{i}(1;0)$ e $\overrightarrow{j}(0;1)$ appartenenti rispettivamente all’asse delle ascisse e a quello delle ordinate; possiamo notare che $\overrightarrow{i}$ e $\overrightarrow{j}$ formano tra loro un angolo di $90\text{°}$ e che $|\overrightarrow{i}|=|\overrightarrow{j}|=1$. Tali vettori sono chiamati versori associati rispettivamente dell’asse $x$ e all’asse $y$.

Ogni vettore $\overrightarrow{v}$ del piano può essere scritto come combinazione lineare di $\overrightarrow{i}$ e $\overrightarrow{j}$ e le sue componenti sono i coefficienti della combinazione lineare di $\overrightarrow{i}$ e $\overrightarrow{j}$ con i quali si determina $\overrightarrow{v}$. $\overrightarrow{v}(x_v;y_v)=x_v\cdot \overrightarrow{i}+y_v\cdot \overrightarrow{j}$