Algebra 2/Algebra di secondo grado/Disquazioni di secondo grado

Risoluzione delle disequazioni di secondo grado

Una disequazione di secondo grado si presenta in una delle seguenti forme: Template:Testo centrato

Per risolverla supponiamo che il coefficiente di $x^2$, cioè il coefficiente $a$, sia positivo. Se così non fosse, basterebbe cambiare segno a tutti i termini e quindi il verso della disequazione; per esempio, per risolvere la disequazione $-2x^2+3x-1>0$ si può risolvere la disequazione $2x^2-3x+1<0$.

Per risolvere una disequazione di secondo grado si risolve l’equazione associata, cioè si sostituisce il segno della disequazione con l’uguale. Si passa cioè dalla disequazione $a{x}^2+bx+c>0$ all’equazione $a{x}^2+bx+c=0$.

Possono presentarsi tre casi.

Equazione spuria

Sono equazioni senza il termine noto: $a{x}^2+bx=0$.

Questa equazione ammette sempre due radici reali e distinte, di cui una è sempre $0$. Ricordiamo che l’equazione si risolve mettendo $x$ a fattore comune $x(ax+b)=0$ e applicando la legge di annullamento del prodotto, da cui ricaviamo $x=0\vee ax+b=0\to x=-\frac{b}{a}$. Chiamiamo le due radici $x_1$ e $x_2$. Analogamente a quanto fatto nelle disequazioni di primo grado, poniamo separatamente ogni fattore maggiore di $0$ e confrontiamo i segni dei singoli fattori, come nel seguente grafico.

Confronto fra segni eq.spuria

Dal grafico si evince che le soluzioni saranno:

• $x<x_1\vee x>x_2$ soluzioni esterne se la disequazione è $a{x}^2+bx>0$, analogamente $x\le x_1\vee x\ge x_2$ se la disequazione è $a{x}^2+bx\ge 0$.
• $x_1<x<x_2$ soluzioni interne se la disequazione è $a{x}^2+bx<0$, analogamente $x_1\le x\le x_2$ se la disequazione è $a{x}^2+bx\le 0$.

Equazione pura

Sono equazioni senza il termine con la $x$: $a{x}^2+c=0$.

Possono esserci due situazioni:

• $c<0$: in questo caso l’equazione ammette due radici reali opposte: $x_{1\text{,}2}=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$: si torna al caso precedente e si ha $x<x_1\vee x>x_2$ (cioè per valori esterni) se la disequazione è $a{x}^2+c>0$ oppure $x_1<x<x_2$ (cioè per valori interni) se la disequazione è $a{x}^2+c<0$;
• $c>0$: l’equazione non ammette soluzioni reali; il binomio $a{x}^2+c$ è la somma di un quadrato con un numero positivo, pertanto è sempre positivo. Di conseguenza, la disequazione $a{x}^2+c>0$ avrà soluzioni per ogni $x$ reale, mentre $a{x}^2+c<0$ non avrà nessuna soluzione reale.

Equazione completa

Sono equazioni con tutti i coefficienti diversi da zero: $a{x}^2+bx+c=0$.

Si calcola il valore del discriminante $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ e a secondo del suo segno possono presentarsi tre casi:

Primo caso: $\mathrm{\Delta }>0$  L’equazione ammette due radici reali e distinte $x_1$ e $x_2$ e il trinomio si scompone in $a(x-x_1)(x-x_2)$. Poiché abbiamo supposto $a$ positivo, il segno del trinomio è dato, per il teorema dui Cartsio, dal seguente schema (ponendo $x_1<x_2$):

Confronto fra segni eq.completa

Pertanto la disequazione ${ax}^2+bx+c\ge 0$ è verificata per valori esterni alle soluzioni, cioè $x\le x_1\vee x\ge x_2$; mentre la disequazione ${ax}^2+bx+c\le 0$ è verificata per valori interni alle soluzioni, cioè $x_1\le x\le x_2$.

Secondo caso: $\mathrm{\Delta }=0$ 

In questo caso le radici dell’equazione associata sono coincidenti $x_1=x_2$, pertanto il trinomio si scompone in $a(x-x_1{)}^2$. Poiché $a$ è positivo e il quadrato è positivo o al più nullo, si possono verificare quattro casi:

• $a(x-x_1{)}^2>0$ è verificata $\mathrm{\forall }x\in ℝ-\{x_1\}$;
• $a(x-x_1{)}^2\ge 0$ è verificata $\mathrm{\forall }x\in ℝ$;
• $a(x-x_1{)}^2<0$ non è mai verificata;
• $a(x-x_1{)}^2\le 0$ è verificata solo per $x=x_1$.

Terzo caso: $\mathrm{\Delta }<0$  Studiamo il segno che assume il trinomio in questo caso. Dobbiamo eseguire i seguenti passaggi:

• mettiamo il coefficiente $a$ a fattore comune, aggiungendo e togliendo $\frac{b^2}{4a^2}$ ottenendo

• osserviamo che i primi tre termini costituiscono lo sviluppo del quadrato di un binomio, e riduciamo gli ultimi due allo stesso denominatore ottenendo

• studiamo ora il segno di questa espressione: $a$ è positivo, nella parentesi quadra si ha una somma in cui ${(x+\frac{b}{2a})}^2$ essendo un quadrato è sempre positivo, come $-\frac{b^2-4ac}{4a^2}=-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a^2}$ sempre positivo perché $\mathrm{\Delta }<0$. Possiamo allora concludere che il trinomio è sempre positivo.
  

Si hanno allora le seguenti possibilità con $a>0$:

• ${ax}^2+bx+c>0$ è verificata $\mathrm{\forall }x\in ℝ$;
• ${ax}^2+bx+c\ge 0$ è verificata $\mathrm{\forall }x\in ℝ$ (anche se non può mai essere uguale a zero);
• ${ax}^2+bx+c<0$ non è mai verificata;
• ${ax}^2+bx+c\le 0$ non è mai verificata.

I seguenti esempi analizzano la risoluzione di disequazioni di secondo grado con $\mathrm{\Delta }\ge 0.$

Conclusione Una disequazione di secondo grado si presenta sempre in una delle seguenti forme: ${ax}^2+bx+c>0$, ${ax}^2+bx+c\ge 0$, ${ax}^2+bx+c<0$, ${ax}^2+bx+c\le 0$; possiamo sempre supporre positivo il primo coefficiente e, anche se incompleta, per l’equazione associata possiamo sempre pensare ai tre casi generati dal segno del discriminante $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$.

Pertanto l’insieme soluzione $\text{I.S.}$ segue lo schema riportato nella seguente tabella:

Delta	$a{x}^2+bx+c>0$	$a{x}^2+bx+c\ge 0$	$a{x}^2+bx+c<0$	$a{x}^2+bx+c\le 0$
$\mathrm{\Delta }>0^{*}$	$x<x_1\vee x>x_2$	$x\le x_1\vee x\ge x_2$	$x_1<x<x_2$	$x_1\le x\le x_2$
$\mathrm{\Delta }=0^{**}$	$\mathrm{\forall }x\in ℝ-\{x_1\}$	$\mathrm{\forall }x\in ℝ$	$\text{I.S.}=\mathrm{\varnothing }$	$x=x_1=x_2$
$\mathrm{\Delta }<0^{***}$	$\mathrm{\forall }x\in ℝ$	$\mathrm{\forall }x\in ℝ$	$\text{I.S.}=\mathrm{\varnothing }$	$\text{I.S.}=\mathrm{\varnothing }$

* l’equazione associata ha 2 soluzioni reali distinte: $x=x_1\vee x=x_2$.

** l’equazione associata ha 2 soluzioni reali coincidenti: $x=x_1=x_2$.

*** l’equazione associata non ha soluzioni reali.

Risoluzione grafica di una disequazione di secondo grado

Ricordiamo che un polinomio in una sola variabile, solitamente indicata con $x$, è di secondo grado se $2$ è il massimo esponente della variabile. Per trinomio di secondo grado intendiamo un polinomio di secondo grado: $a{x}^2+bx+c$ con $a\in {ℝ}_0$ e $b$, $c\in ℝ$. Chiamiamo zeri del trinomio i numeri reali soluzione dell’equazione associata $a{x}^2+bx+c=0$.

Nel riferimento cartesiano ortogonale, il grafico della funzione $f$ è costituito da tutti e soli i punti le cui coordinate soddisfano l’equazione $y=a{x}^2+bx+c$; se $x_1$ e $x_2$ sono gli zeri reali del trinomio $a{x}^2+bx+c$ significa che attribuendo tali valori alla variabile $x$ si ha $y=0$; essi sono dunque gli zeri della funzione, ossia le ascisse dei punti del grafico appartenenti all’asse $x$.

Questi esempi ci hanno permesso di chiarire il collegamento tra il concetto algebrico “zeri di un polinomio” e il concetto geometrico di “punti sull’asse delle ascisse” del grafico della funzione polinomiale di secondo grado. Pertanto studiare il segno di un trinomio di secondo grado equivale a determinare quali sono le ascisse dei punti della funzione $y=a{x}^2+bx+c$ (con $a\in {ℝ}_0$ e $b$, $c\in ℝ$) che hanno ordinata positiva oppure ordinata negativa.

Ricordiamo che nel riferimento cartesiano ortogonale i punti ad ordinata positiva si trovano nel I e nel II quadrante (cioè al di sopra dell’asse $x$), i punti ad ordinata negativa si trovano nel III e nel IV quadrante (cioè al di sotto dell’asse $x$) e i punti ad ordinata nulla si trovano sull’asse $x$.

Per studiare il segno del trinomio, dobbiamo quindi tracciare, nel riferimento cartesiano, il grafico della funzione $y=a{x}^2+bx+c$ (con $a\in {ℝ}_0$ e $b$, $c\in ℝ$).

Rappresentazione di una funzione polinomiale di secondo grado nel piano cartesiano

parabola y=2x^2

Consideriamo la funzione $y=2x^2$ (figura [fig:4.4] a pagina ) di proporzionalità quadratica definita in tutto $ℝ$; sappiamo che il suo grafico è una parabola che volge la concavità verso l’alto essendo il coefficiente della variabile indipendente positivo e che il punto $O(0;0)$ è il suo vertice. Per tracciarne il grafico compiliamo una tabella e riportiamo i punti nel riferimento cartesiano.

$x$	$-1,5$	$-1$	$-0,5$	$0$	$0,5$	$1$	$1,5$
$y=2x^2$	$4,5$	$2$	$0,5$	$0$	$0,5$	$2$	$4,5$

Applichiamo a tutti i punti della tabella la traslazione di vettore $\overrightarrow{u}(1;1)$. Sappiamo che la traslazione modifica le coordinate dei punti secondo il sistema $T(1;1)\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x+1\\ y^{\prime }=y+1\end{array}$ quindi possiamo compilare la tabella dei punti corrispondenti di $x$ e $y$ secondo $T(1;1)$ e infine tracciare il grafico della parabola immagine di $y=2x^2$.

$x^{\prime }$	$-0,5$	$0$	$0,5$	$1$	$1,5$	$2$	$2,5$
$y^{\prime }$	$5,5$	$3$	$1,5$	$1$	$1,5$	$3$	$5,5$

Traslazione di parabola

Dal grafico possiamo leggere le seguenti informazioni:

• l’immagine della parabola iniziale $p$, è ancora una parabola $p^{\prime }$ essendo la traslazione una isometria;
• la parabola $p^{\prime }$ volge la concavità verso l’alto, come la parabola iniziale $p$;
• il vertice $O(0;0)$ della parabola $p$ ha come immagine il vertice $D(1;1)$ della parabola $p^{\prime }$, coincidente con l’estremo libero del vettore $\overrightarrow{u}(1;1)$ che definisce la traslazione;
• il vettore che individua la traslazione è indicato nella figura con $\overrightarrow{u}$; i vettori $\overrightarrow{v}$ e $\overrightarrow{w}$ rappresentano lo stesso vettore applicato a tre punti presi a caso sulla parabola iniziale.

La parabola immagine di $y=2x^2$ è rappresentata da una funzione polinomiale di secondo grado che si ottiene ricavando dal sistema $T(1;1)$ le coordinate $\{\begin{array}{c}x=x^{\prime }-1\\ y=y^{\prime }-1\end{array}$ che, sostituite nell’equazione di $p$ $(y^{\prime }-1)=2\cdot (x^{\prime }-1{)}^2$, permettono di ottenere l’equazione di $p^{\prime }$: $y=2x^2-4x+3$.

Generalizziamo  Data la parabola di equazione $y=a{x}^2$ e la traslazione Template:Testo centrato per ottenere l’equazione della curva immagine ricaviamo $\{\begin{array}{c}x=x^{\prime }-v_x\\ y=y^{\prime }-v_y\end{array}$ da sostituire nell’equazione $y={ax}^2$. Da $(y^{\prime }-v_y)=a\cdot (x^{\prime }-v_x{)}^2$ svolgendo i calcoli si ottiene Template:Testo centrato

Se poniamo $-2{av}_x=b$ e $a(v_x{)}^2+v_y=c$ l’equazione della parabola $p^{\prime }$ immagine di quella data è $y={ax}^2+bx+c$, espressa attraverso un polinomio di secondo grado.

Viceversa  Assegnata la funzione polinomiale di secondo grado $y={ax}^2+bx+c$ con $a\ne 0$, sappiamo che il grafico di tale curva è una parabola. In particolare:

• il coefficiente $a$ indica la concavità: verso l’alto se $a>0$, verso il basso se $a<0$;
• il coefficiente $c$ indica l’intersezione della parabola con l’asse delle $y$;
• dalle formule $-2a{v}_x=b$ e $a(v_x{)}^2+v_y=c$ ricaviamo le coordinate del suo vertice $v_x=-\frac{b}{2a}$  e  $v_y=c-a{(-\frac{b}{2a})}^2=\frac{4ac-b^2}{4a}=-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a}$;
• risolvendo l’equazione ${ax}^2+bx+c=0$ determiniamo gli eventuali punti di intersezione con l’asse $x$ (gli zeri della funzione);
• assegnando alla variabile indipendente valori arbitrari, possiamo ottenere altri punti del grafico.

Segno di un trinomio di secondo grado per via grafica

Risoluzione grafica delle disequazioni di secondo grado

Segno del trinomio a coefficienti letterali

Consideriamo il trinomio $t=k{x}^2+3x-7$ avente il coefficiente del termine di secondo grado dipendente dal parametro $k$.

Come possiamo stabilire il segno del trinomio $t=k{x}^2+3x-7$, al variare di $k$? Sappiamo che stabilire il segno di un trinomio significa determinare i valori reali che attribuiti alla variabile indipendente $x$ rendono il trinomio positivo, nullo o negativo. Evidentemente per i vari valori reali di $k$ avremo una diversa disequazione da risolvere; dobbiamo dunque cercare di analizzare come varia il trinomio al variare dei valori di $k$ e in seguito studiare il segno del trinomio ottenuto.

Questa analisi di situazioni diverse è la discussione del trinomio a coefficienti parametrici.

Disequazioni fratte

Ricordiamo che una disequazione è frazionaria o fratta quando il suo denominatore contiene l’incognita.

Vediamo attraverso alcuni esempi come procedere.

Sistemi di disequazioni

Ricordiamo che risolvere un sistema di disequazioni significa trovare l’insieme dei numeri reali che sono le soluzioni comuni alle disequazioni che lo compongono. Indicate con $d_1$, $d_2$, …, $d_n$ le disequazioni che formano il sistema e ${\text{I.S.}}_1$, ${\text{I.S.}}_2$, …, ${\text{I.S.}}_n$ i rispettivi insieme soluzione, la soluzione del sistema, indicata con $\text{I.S.}$, è data da $\text{I.S.}={\text{I.S.}}_1\cap {\text{I.S.}}_2\cap \dots \cap {\text{I.S.}}_n$.