Algebra 2/Algebra di secondo grado/Equazioni di secondo grado

Le equazioni di secondo grado in una incognita

Consideriamo il seguente problema: “in un triangolo rettangolo l’ipotenusa è più lunga del cateto minore di $4\text{cm}$, mentre l’altro cateto è più lungo del cateto minore di $2\text{cm}$. Si vogliono determinare le misure dei tre lati”.

Si può formalizzare il problema indicando con $x$ la misura incognita del cateto minore. La lunghezza dell’ipotenusa sarà $x+4$, mentre quella dell’altro cateto $x+2$. Applicando il teorema di Pitagora si ha: $x^2+(x+2{)}^2=(x+4{)}^2$. Dopo aver effettuato i calcoli e aver portato tutti i termini a sinistra del predicato uguale abbiamo: $x^2-4x-12=0$.

Esempio equazioni 2°

Questa è una equazione di secondo grado in una incognita in quanto la variabile $x$ vi compare elevata al secondo grado.

Un’equazione di secondo grado si definisce:

monomia quando il secondo e il terzo coefficiente sono nulli: $a{x}^2=0$;

(incompleta) pura quando il secondo coefficiente è nullo: $a{x}^2+c=0$;

(incompleta) spuria quando il terzo coefficiente è nullo: $a{x}^2+bx=0$;

completa quando i tre coefficienti sono tutti diversi da zero: $a{x}^2+bx+c=0$.

Risoluzione di un’equazione di secondo grado incompleta pura

Il coefficiente della $x$ è nullo e l’equazione si presenta nella forma: $a{x}^2+c=0$. Si risolve portando al secondo membro il termine noto e dividendo per il coefficiente di $x^2$: Template:Testo centrato

Le soluzioni dell’equazione incompleta pura $a{x}^2+c=0$ dipendono dal segno di $-\frac{c}{a}$:

• se $-c/a>0$, ovvero se $a$ e $c$ sono discordi, l’equazione ammette due soluzioni reali distinte opposte: $x_1=-\sqrt{-\frac{c}{a}}\vee x_2=+\sqrt{-\frac{c}{a}}$;
• se $-c/a<0$, ovvero se $a$ e $c$ sono concordi, l’equazione non ammette soluzioni reali;
• se $-c/a=0$, allora $c=0$, l’equazione ha due soluzioni reali coincidenti nulle: $x_1=x_2=0$.

Risoluzione di un’equazione incompleta spuria

Un’equazione incompleta spuria si presenta nella forma: $a{x}^2+bx=0$. Per risolverla, si raccoglie a fattore comune la $x$; precisamente $x(ax+b)=0$. Applicando la legge di annullamento del prodotto si ottiene $x_1=0$ oppure $ax+b=0$ da cui $x_2=-\frac{b}{a}$. Pertanto un’equazione di questo tipo ha sempre due soluzioni reali distinte di cui una nulla.

Risoluzione di un’equazione completa

L’equazione di secondo grado completa si presenta nella forma $a{x}^2+bx+c=0$ e per risolverla si applica una formula che si ottiene utilizzando il metodo del completamento del quadrato:

equazione completa di secondo grado	$a{x}^2+bx+c=0$
si moltiplicano ambo i membri per $4a$	$4a^2{x}^2+4abx+4ac=0$
si aggiunge $b^2$ ad ambo i membri	$4a^2{x}^2+4abx+4ac+b^2=b^2$
si porta $4ac$ al secondo membro	$4a^2{x}^2+4abx+b^2=b^2-4ac$
il primo membro risulta il quadrato di un binomio	$(2ax+b{)}^2=b^2-4ac$
si pone $k=2ax+b$ e l’equazione diventa pura in $k$	$k^2=b^2-4ac$
si calcolano le soluzioni in $k$	$k_{1\text{,}2}=\pm \sqrt{b^2-4ac}$
al posto di $k$ si sostituisce $2ax+b$	$2ax+b=\pm \sqrt{b^2-4ac}$
si separa il monomio con l’incognita	$2ax=-b\pm \sqrt{b^2-4ac}$
si risolve rispetto all’incognita $x$	$x_{1\text{,}2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Da quanto ottenuto possiamo osservare che:

• la soluzione si ottiene esclusivamente operando sui coefficienti dell’equazione;
• il valore dell’incognita si ottiene con due calcoli:

• nel calcolo è coinvolta l’estrazione di radice quadrata: l’espressione $b^2-4ac$ prende il nome di discriminante e si è soliti indicarla con il simbolo $\mathrm{\Delta }$ (delta).

Questa formula può essere applicata anche ai tipi di equazioni incomplete che abbiamo già studiato. Il termine discriminante deriva dal sostantivo latino discrimen (divisione, punto di separazione); in effetti, il valore assunto da $\mathrm{\Delta }$ permette di effettuare una distinzione tra la tipologia delle soluzioni di un’equazione di secondo grado. Si possono infatti presentare tre casi:

• Primo caso: $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac>0$. Il radicale $\sqrt{\mathrm{\Delta }}$ è un numero reale e l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte: $x_1=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\vee x_2=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$;
• Secondo caso: $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=0$. Il radicale $\sqrt{\mathrm{\Delta }}=0$, quindi l’equazione ammette due radici reali e coincidenti: $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$;
• Terzo caso: $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac<0$. Il radicale $\sqrt{\mathrm{\Delta }}$ non è un numero reale, quindi l’equazione non ammette soluzioni reali.

Riassumendo e schematizzando si ha:

$a{x}^2+bx+c=0$ con $a\ne 0$

Discriminante	Soluzioni
$\mathrm{\Delta }>0$	Due soluzioni reali e distinte: $x_1=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\vee x_2=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$
$\mathrm{\Delta }=0$	Due soluzioni reali e coincidenti: $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$
$\mathrm{\Delta }<0$	Nessuna soluzione reale: $\text{I.S.}=\mathrm{\varnothing }$

Formula ridotta per equazioni di secondo grado

Se nell’equazione $a{x}^2+bx+c=0$ il coefficiente $b$ è un numero pari, conviene applicare una formula, detta formula ridotta, che semplifica i calcoli.

Supponiamo $b=2k$, l’equazione $a{x}^2+bx+c=0$ diventa $a{x}^2+2kx+c=0$ e nella formula risolutiva dell’equazione si ottiene: Template:Testo centrato Dato che $b=2k$ si ha $k=\frac{b}{2}$ e quindi la formula che conviene utilizzare quando $b$ è pari è: Template:Testo centrato

La quantità sotto radice, uguale a $\frac{\mathrm{\Delta }}{4}$, è detta anche discriminante ridotto.

Quando $b$ è pari e $a=1$, la formula si dice ridottissima: $x_{1\text{,}2}=-\frac{b}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{b}{2}\right)}^2-c}$.

Riassumiamo e schematizziamo la risoluzione di un’equazione di secondo grado:

Equazioni incomplete

Coefficienti	Tipo	Equazione	Soluzioni
$b=0$, $c=0$	Monomia	$a{x}^2=0$	$x_1=x_2=0$
$b=0$, $c\ne 0$	Pura	$a{x}^2+c=0$	$\{\begin{array}{cc}\text{I.S.}=\mathrm{\varnothing }& \text{ se }ac>0\\ x_{1,2}=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}}& \text{ se }ac<0\end{array}$
$b\ne 0$, $c=0$	Spuria	$a{x}^2+bx=0$	$x_1=0\vee x_2=-\frac{b}{a}$

Equazione completa $a{x}^2+bx+c=0$

Discriminante	Numero soluzioni	Soluzioni
$\mathrm{\Delta }>0$	Due soluzioni reali e distinte	$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$\mathrm{\Delta }=0$	Due soluzioni reali e coincidenti	$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$
$\mathrm{\Delta }<0$	Nessuna soluzione reale	$\text{I.S.}=\mathrm{\varnothing }$

Discussione e risoluzione di equazioni numeriche frazionarie

Un’equazione in cui compare l’incognita al denominatore si chiama frazionaria o fratta.

Discussione e risoluzione di equazioni letterali

Ricordiamo la seguente definizione:

Esempio: Data l’equazione $k{x}^2-(2k-1)x+(k-3)=0$, discutere, al variare di $k$, la realtà delle sue soluzioni. L’equazione è letterale di secondo grado nell’incognita $x$, i cui coefficienti dipendono dal parametro $k$. Il parametro $k$ può assumere qualunque valore numerico e l’equazione rappresenta una famiglia di equazioni le cui caratteristiche variano a seconda dei valori attribuiti al parametro. Notiamo subito che se $k$ assume il valore zero, l’equazione non è più di secondo grado. Se $k$ assume il valore $3$, l’equazione è ancora di secondo grado ma è incompleta (spuria) perché priva del termine noto. Discutere un’equazione letterale significa analizzare come varia il suo insieme delle soluzioni al variare del parametro. Ricordando la formula $x_{1\text{,}2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ in cui compaiono i tre coefficienti $a$, $b$, $c$ possiamo dire che, nel caso considerato: il primo coefficiente è $k$, se $k=0$ l’equazione diventa $x-3=0$ di primo grado con $\text{I.S.}=\{3\}$; il secondo coefficiente è $-2k+1$, se questo è nullo, ossia se $k=\frac{1}{2}$ l’equazione diventa $\frac{1}{2}{x}^2-\frac{5}{2}=0$, equazione pura con due soluzioni reali opposte $x_1=-\sqrt{5}\vee x_2=\sqrt{5}$; il terzo coefficiente è $k-3$, se è nullo, cioè se $k=3$ l’equazione diventa $3x^2-5x=0$, equazione spuria con due soluzioni reali $x_1=0\vee x_2=\frac{5}{3}$. Per tutti i valori di $k\in ℝ-\left\{0\text{, }\frac{1}{2}\text{, }3\right\}$ l’equazione è completa, pertanto l’esistenza di soluzioni reali dipende dal discriminante $\mathrm{\Delta }={(-2k+1)}^2-4k(k-3)=8k+1$, quindi se $8k+1<0\Rightarrow k<-\frac{1}{8}$ l’equazione non ammette soluzioni reali: $\text{I.S.}=\mathrm{\varnothing }$; se $8k+1>0\Rightarrow k>-\frac{1}{8}$ l’equazione ammette due soluzioni reali distinte $x_{1\text{,}2}=\frac{(2k-1)\pm \sqrt{8k+1}}{2k}$ se $k=-\frac{1}{8}$ l’equazione ammette due soluzioni reali coincidenti $x_1=x_2=5$. Riassumendo e schematizzando si ha:

$k{x}^2-(2k-1)x+(k-3)=0$  con   $k\in ℝ$ Parametro Insieme Soluzione Equazione $k=0$ $x=3$ di primo grado $k=\frac{1}{2}$ $x_1=-\sqrt{5}\vee x_2=+\sqrt{5}$ pura $k=3$ $x_1=0\vee x_2=\frac{5}{3}$ spuria $k\in ℝ-\left\{0\text{, }\frac{1}{2}\text{, }3\right\}$ completa, $\mathrm{\Delta }=8k+1$ $k<-\frac{1}{8}$ $\mathrm{\Delta }<0$ non esistono soluzioni reali, $\text{I.S.}=\mathrm{\varnothing }$ $k\ge -\frac{1}{8}$ $\mathrm{\Delta }\ge 0$ esistono soluzioni reali $k>-\frac{1}{8}$ $x_1=\frac{(2k-1)-\sqrt{8k+1}}{2k}\vee x_2=\frac{(2k-1)+\sqrt{8k+1}}{2k}$ $k=-\frac{1}{8}$ $x_1=x_2=5$

Esempio: Data l’equazione $x^2-3x+1-k=0$, discutere, al variare di $k\in ℝ$, la realtà delle radici. Il primo e il secondo coefficiente non dipendono dal parametro $k$, quindi analizziamo il terzo coefficiente. Se $k=1$ l’equazione diventa un’equazione spuria con due radici reali $x_1=0\vee x_2=3$. Per tutti i valori di $k$ dell’insieme $ℝ-\{1\}$ l’equazione è completa e l’esistenza di soluzioni reali dipende dal discriminante $\mathrm{\Delta }=9-4(1-k)=4k+5$, quindi: se $k<-\frac{5}{4}$ l’equazione non ammette soluzioni reali: $\text{I.S.}=\mathrm{\varnothing }$; se $k\ge -\frac{5}{4}$ l’equazione ammette due radici reali. Esse sono distinte se $k>-\frac{5}{4}\Rightarrow x_{1\text{,}2}=\frac{3\pm \sqrt{4k+5}}{2}$ e coincidenti se $k=-\frac{5}{4}\Rightarrow x_1=x_2=\frac{3}{2}$. Riassumendo e schematizzando si ha:

Parametro Insieme Soluzione Equazione $k=1$ $x_1=0\vee x_2=3$ spuria $k\in ℝ-\{1\}$ completa, $\mathrm{\Delta }=4k+5$ $k<-\frac{5}{4}$ $\mathrm{\Delta }<0$ non esistono soluzioni reali, $I.S.=\mathrm{\varnothing }$ $k\ge -\frac{5}{4}$ $\mathrm{\Delta }\ge 0$ esistono soluzioni reali $k>-\frac{5}{4}$ $x_1=\frac{3-\sqrt{4k+5}}{2}\vee x_2=\frac{3+\sqrt{4k+5}}{2}$ $k=-\frac{5}{4}$ $x_1=x_2=\frac{3}{2}$

Esempio: Discutere l’equazione letterale:  $\frac{x^2}{m-1}+3+m=\frac{2mx}{m-1}(1+\frac{1}{m})$. L’equazione, pur presentando delle frazioni, è intera in quanto l’incognita $x$ non compare al denominatore. Se $m=0$ oppure $m=1$ l’equazione è priva di significato, quindi poniamo $\text{C.E.}m\ne 0\wedge m\ne 1$. Trasportiamo a sinistra del segno di uguaglianza i termini di destra ed eseguiamo il calcolo nella parentesi: Template:Testo centrato Semplifichiamo $m$ nell’ultimo termine, poiché nelle $\text{C.E.}m\ne 0$, si ottiene Template:Testo centrato Riduciamo allo stesso denominatore $m-1$ ed eliminiamo il denominatore, essendo $m\ne 1$ per le $\text{C.E.}$; si ha: $x^2+3m-3+m^2-m-2mx-2x=0$, che scritta in forma canonica diventa $x^2-2x(m+1)+m^2+2m-3=0$. Discussione il primo coefficiente, essendo uguale a $1$, non dipende dal valore del parametro $m$, quindi l’equazione è di secondo grado per qualunque valore di $m\in ℝ-\{0$, $1\}$; il secondo coefficiente è $-2(m+1)$: se $m=-1$ l’equazione diventa $x^2-4=0$, equazione pura con due soluzioni reali opposte $x_1=-2\vee x_2=2$; il terzo coefficiente è $m^2+2m-3$: se $m^2+2m-3=0\Rightarrow m=1\vee m=-3$ (non consideriamo il caso $m=1$ per le $\text{C.E.}$) l’equazione diventa $x^2+4x=0$, equazione spuria con due soluzioni reali $x_1=0\vee x_2=-4$. Prima conclusione:  per tutti i valori di $m\in ℝ-\{0$, $1$, $-1$, $-3\}$ l’equazione è completa e l’esistenza di soluzioni reali dipende dal discriminante. Calcoliamo il discriminante: $\frac{\mathrm{\Delta }}{4}=(m+1{)}^2-(m^2+2m-3)=4$; esso risulta indipendente dal valore del parametro $m$ e sempre positivo, quindi l’equazione ammette sempre due soluzioni reali distinte $x_1=m-1\vee x_2=m+3$. Riassumendo in una tabella tutti i risultati ottenuti:

$\frac{x^2}{m-1}+3+m=\frac{2mx}{m-1}(1+\frac{1}{m})$ con $m\in ℝ$ Parametro Insieme Soluzione Equazione $m=0\vee m=1$ priva di significato $m=-1$ $x_1=-2\vee x_2=2$ pura $m=-3$ $x_1=0\vee x_2=-4$ spuria $m\in ℝ-\{0$, $1$, $-1$, $-3\}$ $x_1=m-1\vee x_2=m+3$ completa: $\mathrm{\Delta }=16$

Esempio: Discutere l’equazione parametrica $\frac{k+x}{2x}(\frac{k+x}{k-x}+\frac{k-x}{k+x})=k+\frac{2k}{kx-x^2}-1$. L’equazione è fratta, poiché l’incognita $x$ compare nel denominatore. Trasportiamo i termini del secondo membro a sinistra del segno di uguaglianza e scomponiamo in fattori i denominatori: Template:Testo centrato Svolgiamo i calcoli nella parentesi e moltiplichiamo: $\frac{k^2+x^2}{x(k-x)}-k-\frac{2k}{x(k-x)}+1=0$; Riduciamo allo stesso denominatore ed eliminiamo il denominatore: $k{x}^2+kx\cdot (1-k)+k\cdot (k-2)=0$; Discussione Il primo coefficiente è $k$, se $k=0$ le $\text{C.E.}$ si riducono a $x\ne 0$ e l’equazione diventa $0x=0$ indeterminata, quindi $I.S.=ℝ-\{0\}$ per le condizioni poste sull’incognita. Avendo studiato il caso $k=0$, possiamo ora supporre $k\ne 0$. Dividiamo tutti i coefficienti per $k$, l’equazione diventa $x^2+x\cdot (1-k)+(k-2)=0$; il secondo coefficiente è $1-k$, se $k=1$ le $\text{C.E.}$ sono $x\ne 0\wedge x\ne 1\wedge x\ne -1$ e l’equazione diventa $x^2-1=0$, le soluzioni sono $x_1=-1\vee x_2=1$ che non sono accettabili per le $\text{C.E.}$; il terzo coefficiente è $k-2$, se $k=2$ le $\text{C.E.}$ sono $x\ne 0\wedge x\ne 2\wedge x\ne -2$ e l’equazione diventa $x^2-x=0$ le cui soluzioni sono $x_1=0\vee x_2=1$ di cui $x_1=0$ non è accettabile per le $\text{C.E.}$ Per $k\in ℝ-\{0$, $1$, $2\}$ l’equazione è completa, l’esistenza di soluzioni reali dipende dal discriminante $\mathrm{\Delta }=(1-k{)}^2-4(k-2)=(k-3{)}^2$, essendo $\mathrm{\Delta }\ge 0\mathrm{\forall }k$, si avranno sempre due soluzioni reali: coincidenti se $k=3\Rightarrow x_1=x_2=1$ accettabili essendo le $\text{C.E.}x\ne -3\wedge x\ne 0\wedge x\ne 3$; distinte se $k\ne 3\Rightarrow x_1=1\vee x_2=k-2$ e, confrontando con le $\text{C.E.}$, si $x_1=1$ non è accettabile se $k=-1$, mentre $x_2$ è sempre accettabile per $\mathrm{\forall }k\in ℝ-\{0$, $1$, $2$, $3$, $-1\}$. Riassumendo in una tabella tutti i risultati ottenuti:

$\frac{k+x}{2x}(\frac{k+x}{k-x}+\frac{k-x}{k+x})=k+\frac{2k}{kx-x^2}-1$  con   $k\in ℝ$ Parametro Incognita Insieme Soluzione Equazione $x\ne -k\wedge x\ne 0\wedge x\ne k$ $k=0$ $x\ne 0$ $\text{I.S.}=ℝ-\{0\}$ indeterm. $k=1$ $x\ne -1\wedge x\ne 0\wedge x\ne 1$ $[x_1=-1\vee x_2=1{]}^{*}$ pura $k=2$ $x\ne -2\wedge x\ne 0\wedge x\ne 2$ $x_1=0^{*}\vee x_2=1$ spuria $k\in ℝ-\{0$, $1$, $2\}$ completa $k=3$ $x\ne -3\wedge x\ne 0\wedge x\ne 3$ $x_1=x_2=1$ $k\in ℝ-\{0$, 1, 2, $3\}$ $x\ne -k\wedge x\ne 0\wedge x\ne k$ $x_1=1\vee x_2=k-2$ $k=-1$ $x_1=1^{*}$ $k\in ℝ-\{-1$, 0, 1, 2, $3\}$ $x_2=k-2$ $\text{*}$ La soluzione o le soluzioni non sono accettabili.

Relazioni tra soluzioni e coefficienti

Consideriamo una generica equazione di secondo grado $a{x}^2+bx+c=0$ nell’ipotesi in cui ammetta soluzioni reali (cioè $\mathrm{\Delta }\ge 0$), sommiamo e moltiplichiamo le soluzioni (o radici) dell’equazione: Template:Testo centrato Quindi, la somma delle radici è $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ e il prodotto delle radici è $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$.

Osserviamo che queste relazioni tra radici e coefficienti dell’equazione valgono anche nel caso in cui le radici non siano reali ($\mathrm{\Delta }<0$).

Determinare due numeri conoscendone la somma e il prodotto

Consideriamo la generica equazione di secondo grado $a{x}^2+bx+c=0$ nell’ipotesi in cui ammetta soluzioni reali $x_1$ e $x_2$. Essendo $a\ne 0$, è possibile dividere ambo i membri per $a$, ottenendo: $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$. Dato che, per quanto visto precedentemente, $s=x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ e $p=x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$, si ha $x^2-sx+p=0$.

Tale equazione risolve quindi la classe di problemi del tipo: “determinare due numeri la cui somma è s e il cui prodotto è p”.

Dall’equazione $x^2-sx+p=0$ discende che tali numeri esistono e sono reali se e solo se $\mathrm{\Delta }=s^2-4p\ge 0$ ovvero se il quadrato della somma è maggiore o uguale al quadruplo del loro prodotto.

Scomposizione del trinomio di secondo grado

Si consideri il trinomio di secondo grado: $a{x}^2+bx+c$ e sia $a{x}^2+bx+c=0$ (con $\mathrm{\Delta }\ge 0$) l’equazione associata a tale trinomio. Effettuiamo le seguenti operazioni:

• si mette in evidenza $a$: $a{x}^2+bx+c=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})$;
• si sostituiscono le relazioni trovate nel precedente paragrafo riguardo alla somma e al prodotto delle soluzioni $x_1$ e $x_2$: $a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})=a[x^2-(x_1+x_2)x+x_1\cdot x_2]$;
• si svolgono i calcoli nella parentesi quadra:

• si effettua il raccoglimento parziale e si ottiene:

Sulla base del segno di $\mathrm{\Delta }$ è possibile distinguere i casi illustrati in tabella:

Discriminante	Soluzioni	Scomposizione
Caso I: $\mathrm{\Delta }>0$	$x_1\ne x_2$	$a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$
Caso II: $\mathrm{\Delta }=0$	$x_1=x_2$	$a{x}^2+bx+c=a(x-x_1{)}^2$
Caso III: $\mathrm{\Delta }<0$	$x_1$, $x_2\notin ℝ$	$a{x}^2+bx+c$  è irriducibile

Regola di Cartesio

Se in un’equazione di secondo grado i coefficienti sono tutti diversi da zero e il discriminante è non negativo, è possibile avere delle informazioni sui segni delle soluzioni senza calcolarle esplicitamente.

In un’equazione $a{x}^2+bx+c=0$, dove i coefficienti sono tutti non nulli, le coppie di coefficienti $(a;b)$ e $(b;c)$ sono dette coppie di coefficienti consecutivi. Una coppia di coefficienti consecutivi presenta:

• una permanenza se i coefficienti hanno lo stesso segno;
• una variazione se i coefficienti hanno segni diversi.

Esempio: Determinare le variazioni e le permanenze nelle seguenti equazioni:

Equazione $a$ $b$ $c$ $2x^2-3x-1$ $+$ $\to$ variazione $\leftarrow$ $-$ $\to$ permanenza $\leftarrow$ $-$ $-x^2-3x-1$ $-$ $\to$ permanenza $\leftarrow$ $-$ $\to$ permanenza $\leftarrow$ $-$ $-3x^2+4x-1$ $-$ $\to$ variazione $\leftarrow$ $+$ $\to$ variazione $\leftarrow$ $-$ $2x^2+x-1$ $+$ $\to$ permanenza $\leftarrow$ $+$ $\to$ variazione $\leftarrow$ $-$

Equazioni parametriche

L’equazione $3x^2+(k-1)x+2-3k=0$ è parametrica di secondo grado nell’incognita $x$; i suoi coefficienti dipendono dal valore del parametro $k$ e quindi la natura e il segno delle sue soluzioni dipendono da $k$.

In molti problemi di applicazione della matematica in situazioni reali in cui compare un parametro, non interessa tanto determinare le soluzioni dell’equazione che formalizza il problema, quanto sapere se le soluzioni hanno determinate caratteristiche. Sappiamo che attraverso i coefficienti di un’equazione di secondo grado si possono determinare alcune relazioni tra le sue soluzioni:

• soluzioni reali se $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac\ge 0$; reali coincidenti se $\mathrm{\Delta }=0$, reali distinte se $\mathrm{\Delta }>0$;
• la somma delle soluzioni è $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$;
• il prodotto delle soluzioni è $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$.

Nell’equazione $3x^2+(k-1)x+2-3k=0$ si ha $\mathrm{\Delta }=(k-1{)}^2-12(2-3k)$ dipendente dal parametro $k$. Dall’analisi del $\mathrm{\Delta }$ si potranno dedurre quali condizioni deve verificare $k$ affinché esistano soluzioni reali. Analizzando somma e prodotto $x_1+x_2=-\frac{(k-1)}{3}$ e $x_1\cdot x_2=\frac{(2-3k)}{3}$ potremo stabilire il segno ed altre caratteristiche delle soluzioni.

Problemi di secondo grado in una incognita

Sappiamo che nel corso degli studi o nell’attività lavorativa possono presentarsi problemi di diversa natura: di tipo economico, scientifico, sociale; possono riguardare insiemi numerici o figure geometriche. La matematica ci può aiutare a risolvere i problemi quando essi possono essere tradotti in “forma matematica”, quando cioè è possibile trascrivere in simboli le relazioni che intercorrono tra le grandezze presenti nel problema e quando si può costruire, tramite queste relazioni, un modello matematico che ci permetta di raggiungere la soluzione al quesito.

Affronteremo problemi di tipo algebrico o geometrico, che potranno essere formalizzati attraverso equazioni di secondo grado in una sola incognita. Teniamo presente, prima di buttarci nella risoluzione del problema, alcuni passi che ci aiuteranno a costruire il modello matematico:

• la lettura “attenta” del testo al fine di individuare l’ambiente del problema, le parole chiave, i dati e le informazioni implicite, l’obiettivo;
• la scelta della grandezza incognita del problema, la descrizione dell’insieme in cui si ricerca il suo valore, le condizioni che devono essere soddisfatte dall’incognita;
• la traduzione in “forma matematica” delle relazioni che intercorrono tra i dati e l’obiettivo, cioè l’individuazione del modello matematico (equazione risolvente).

Dopo aver risolto l’equazione occorre confrontare la soluzione trovata con le condizioni poste dal problema.

Problemi con un parametro

I problemi che abbiamo proposto sono caratterizzati da dati numerici e di conseguenza le soluzioni numeriche dell’equazione risolvente sono facilmente confrontabili con le condizioni poste sull’incognita. Abbiamo anche visto che le soluzioni dell’equazione non sempre sono soluzioni del problema e può anche succedere che il problema abbia due soluzioni.

Affrontiamo ora un problema letterale, nel quale alcuni dati sono espressi da lettere. In questi problemi dovremo rispettare le condizioni poste sull’incognita, ma anche analizzare per quali valori della lettera il problema ammette soluzioni reali. Dovremo quindi procedere con la discussione dell’equazione parametrica risolvente per stabilire se il problema letterale ammette soluzioni.