Algebra 2/Complementi di algebra/Equazioni di grado superiore al secondo

L’equazione di terzo grado, un po’ di storia

“Trovare un numero il cui cubo, insieme con due suoi quadrati e dieci volte il numero stesso, dia come somma 20”.

Il problema enunciato venne posto da Giovanni Panormita, astronomo e filosofo alla corte di Federico II, a Leonardo Pisano, detto Fibonacci, che ne tentò la soluzione nella sua opera “Flos”.

Con il linguaggio matematico attuale il problema si formalizza nell’equazione di terzo grado $x^3+2x^2+10x=20$; Fibonacci pervenne al valore approssimato $x=1,3688$ come soluzione al problema, senza indicare la via seguita per la sua determinazione. Pur tuttavia egli riuscì a dimostrare che le soluzioni di un’equazione di terzo grado non possono mai esprimersi mediante radicali quadratici neanche se sovrapposti.

Solo tra il 1540 e il 1545, ad opera dei matematici italiani Niccolò Fontana, detto Tartaglia, e Gerolamo Cardano, fu scoperta la formula risolutiva dell’equazione generale di terzo grado. Cardano dimostrò che ogni equazione di terzo grado $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ è riconducibile alla forma $y^3+py+q=0$ operando la sostituzione $x=y-\frac{b}{3a}$, per la quale ricava la formula risolutiva: Template:Testo centrato da cui poi si risale alla soluzione in $x$ dell’equazione assegnata.

Equazioni riconducibili al prodotto di due o più fattori

In questo capitolo ci proponiamo di determinare l’insieme soluzione di equazioni algebriche di grado superiore al secondo.

Ricordiamo che un’equazione algebrica si presenta nella forma $p(x)=0$ dove $p(x)$ è un polinomio nella variabile $x$, di grado $n$, a coefficienti reali: Template:Testo centrato

Equazioni binomie

L’equazione scritta come $a{x}^n+b=0$ è detta in forma normale o canonica.

Dobbiamo distinguere i casi:

• $n$ è pari e $a\cdot b<0$. I coefficienti $a$ e $b$ hanno segno discorde. L’equazione ammette due sole soluzioni reali ed opposte: $x_1=\sqrt[n]{-\frac{b}{a}}\vee x_2=-\sqrt[n]{-\frac{b}{a}}$;
• $n$ è pari e $a\cdot b>0$. I coefficienti $a$ e $b$ hanno lo stesso segno. L’equazione non ammette soluzioni reali;
• $n$ è dispari e $b\ne 0$. L’equazione ha un'unica soluzione reale $x_1=\sqrt[n]{-\frac{b}{a}}$;
• $b=0$. L’equazione è $a{x}^n=0$ e le $n$ soluzioni sono coincidenti nell’unica soluzione $x=0$. In questo caso si dice che l’unica soluzione $x=0$ ha molteplicità $n$.

Equazioni trinomie

Sono esempi di equazioni trinomie $x^4-5x^2+4=0$,   $x^6-4x^3+3=0$,  $x^{10}-x^5+6=0$.

Per risolvere queste equazioni è opportuno fare un cambio di incognita: ponendo $t=x^n$ l’equazione trinomia diventa di secondo grado: $a{t}^2+bt+c=0$ e da questa, detta equazione risolvente, si ricavano i valori di $t$. Successivamente, dalla relazione $t=x^n$, si ricavano i valori di $x$.

Equazione biquadratica

Se $n=2$ l’equazione è detta biquadratica e si presenta nella forma  $a{x}^4+b{x}^2+c=0$.

Conclusione L’equazione biquadratica ${ax}^4+{bx}^2+c=0$

• ha quattro soluzioni reali distinte se il discriminante dell’equazione risolvente è positivo e se risultano positivi anche i rapporti $-\frac{b}{a}$ e $\frac{c}{a}$ che indicano rispettivamente la somma e il prodotto delle sue soluzioni;
• ha due soluzioni reali distinte se il discriminante dell’equazione risolvente è positivo e se risulta negativo il rapporto $\frac{c}{a}$ che indica il prodotto delle sue soluzioni;
• non ha soluzioni reali se il discriminante dell’equazione risolvente è positivo e se risulta positivo il rapporto $\frac{c}{a}$ e negativo il rapporto $-\frac{b}{a}$;
• non ha soluzioni reali se il discriminante dell’equazione risolvente è negativo.

Per stabilire il numero di soluzioni di un’equazione biquadratica si può anche utilizzare la regola dei segni di Cartesio:

• $\mathrm{\Delta }>0$ e due variazioni si hanno 4 soluzioni reali;
• $\mathrm{\Delta }>0$ una permanenza e una variazione si hanno 2 soluzioni reali;
• $\mathrm{\Delta }=0$ e $-\frac{b}{2a}>0$ si hanno due soluzioni reali; $-\frac{b}{2a}<0$ nessuna soluzione reale;
• $\mathrm{\Delta }<0$ nessuna soluzione reale.

Equazioni che si risolvono con sostituzioni

Molte altre equazioni si possono risolvere con opportune sostituzioni.

Equazioni reciproche

Dalle definizioni si ha che:

• $x^3-2x^2-2x+1=0$ è un’equazione di terzo grado reciproca di prima specie;
• $3x^4+5x^3-4x^2+5x+3=0$ è un’equazione di quarto grado reciproca di prima specie;
• $-7x^4+5x^3-5x+7=0$ è un’equazione di quarto grado reciproca di seconda specie;
• $3x^5+2x^4+6x^3-6x^2-2x-3=0$ è un’equazione di quinto grado reciproca di seconda specie;
• $-2x^4+8x^3+3x^2-8x+2=0$ è un’equazione di quarto grado, ma non è reciproca di seconda specie, in quanto il coefficiente di secondo grado dovrebbe essere nullo.

Il seguente teorema mette in luce una importante proprietà di cui godono queste equazioni.

Consideriamo il polinomio dell’equazione reciproca di prima specie Template:Testo centrato

Ipotesi: $x=\lambda$ è una radice dell’equazione $p(x)=0$;

Tesi: $x=\frac{1}{\lambda }$ è una radice dell’equazione $p(x)=0$.

Dimostrazione: Sappiamo che se $x=\lambda$ è una radice di $p(x)=0$ allora $p(\lambda )=0$, cioè Template:Testo centrato

Scriviamo il polinomio con $x=\frac{1}{\lambda }$ Template:Testo centrato dove nell’ultimo passaggio abbiamo messo in evidenza il termine ${\left(\frac{1}{\lambda }\right)}^n$ (è consentito perché per ipotesi $\lambda$ non è nullo). Confrontando le scritture di $p(\lambda )$ e $p\left(\frac{1}{\lambda }\right)$ risulta Template:Testo centrato Quindi anche $\frac{1}{\lambda }$ è una radice di $p(x)=0$.

Dimostra tu il teorema per le equazioni di seconda specie.

Equazioni di terzo grado reciproche di prima specie

Queste equazioni hanno la seguente struttura: Template:Testo centrato Una radice dell’equazione è $x=-1$, infatti sostituendo tale valore al posto della $x$ nel polinomio al primo membro si ottiene: Template:Testo centrato

Ricordiamo che secondo la regola del resto, il valore trovato (zero) ci assicura che il polinomio al primo membro è divisibile per $x+1$; con la divisione polinomiale o con la regola di Ruffini possiamo scrivere $a_0{x}^3+a_1{x}^2+a_{1}x+a_0=(x+1)\cdot (a_0{x}^2+(a_1-a_0)x+a_0)=0$ da cui, per la legge di annullamento del prodotto, possiamo determinare le soluzioni dell’equazione assegnata.

Un modo alternativo per determinare l’insieme soluzione dell’equazione reciproca di prima specie consiste nel raccogliere parzialmente i due coefficienti $a_0$ e $a_1$ in modo da ottenere $a_0(x^3+1)+a_1(x^2+x)=0$ da cui $a_0(x+1)(x^2-x+1)+a_{1}x(x+1)=0$ e raccogliendo il binomio $(x+1)$ ritroviamo la fattorizzazione precedente: $(x+1)(a_0{x}^2+(a_1-a_0)x+a_0)=0$.

Equazioni di terzo grado reciproche di seconda specie

Queste equazioni hanno la seguente struttura: Template:Testo centrato Una radice dell’equazione è $x=1$, basta verificare sostituendo tale valore al posto della $x$ nel polinomio al primo membro. Si ottiene: Template:Testo centrato

Procedendo come nel caso precedente si può ottenere la scomposizione in fattori del polinomio al primo membro: $(x-1)\cdot (a_0{x}^2+(a_0+a_1)x+a_0)=0$ e quindi determinare l’$\text{I.S.}$ dell’equazione assegnata applicando la legge di annullamento del prodotto.

Equazioni di quarto grado reciproche di prima specie

Rientrano in questa classificazione le equazioni del tipo: Template:Testo centrato

Prima di tutto osserviamo che $x=0$ non può essere una radice in quanto, se lo fosse, sarebbe nullo il termine noto, cioè $a_0=0$ e di conseguenza sarebbe nullo anche il coefficiente di $x^4$ quindi il grado dell’equazione diventerebbe 3 o inferiore. Questa premessa ci consente di dividere per $x^2$ ottenendo l’equazione equivalente $a_0{x}^2+a_{1}x+a_2+\frac{a_1}{x}+\frac{a_0}{x^2}=0$ e raccogliendo a fattori parziali si ha $a_0(x^2+\frac{1}{x^2})+a_1(x+\frac{1}{x})+a_2=0$.

Ponendo  $t=x+\frac{1}{x}$  si ha  $t^2={(x+\frac{1}{x})}^2\Rightarrow t^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$.

Sostituendo nell’equazione otteniamo la seguente equazione di secondo grado equivalente a quella data: $a_0(t^2-2)+a_{1}t+a_2=0$, ovvero Template:Testo centrato

Una volta trovate, se esistono (reali), le radici $t_1$ e $t_2$ di questa equazione, possiamo determinare le corrispondenti radici dell’equazione iniziale risolvendo le due equazioni fratte $x+\frac{1}{x}=t_1$  e  $x+\frac{1}{x}=t_2$  nell’incognita $x$, rispettivamente equivalenti a Template:Testo centrato

Queste ultime equazioni hanno soluzioni reali se e solo se $|t|\ge 2$. Infatti, risolvendo rispetto a $x$ l’equazione $x+\frac{1}{x}=t$, troviamo: $x^2-tx+1=0$ e calcolando il discriminante $\mathrm{\Delta }=t^2-4$ vediamo che ci sono soluzioni reali se e solo se $t^2-4\ge 0$ ovvero se e solo se $t\le -2\vee t\ge 2$ cioè $|t|\ge 2$.

Equazioni di quarto grado reciproche di seconda specie

Fanno parte di questa classe le equazioni del tipo: Template:Testo centrato in cui il coefficiente di $x^2$ è nullo. Per risolvere questa equazione, raccogliamo a fattore parziale $a_0$ e $a_1$ ottenendo: $a_0(x^4-1)+a_1(x^3-x)=0\Rightarrow a_0(x^2-1)(x^2+1)+a_{1}x(x^2-1)=0$.

Raccogliendo a fattore comune totale si ha: Template:Testo centrato Per la legge di annullamento del prodotto si hanno quindi le due radici $x_1=1$, $x_2=-1$ e le eventuali radici reali dell’equazione di secondo grado $a_0{x}^2+a_{1}x+a_0=0$.

Equazioni di quinto grado reciproche di prima specie

Fanno parte di questa classe le equazioni del tipo: Template:Testo centrato

Con il raccoglimento parziale otteniamo: Template:Testo centrato Applichiamo ora la formula per la scomposizione della somma di potenze ottenendo Template:Testo centrato Raccogliendo $(x+1)$ ricaviamo: Template:Testo centrato e quindi l’equazione diventa: Template:Testo centrato

Per la legge di annullamento del prodotto si determina la soluzione reale $x=-1$ e con i metodi analizzati in precedenza si risolve l’equazione di quarto grado reciproca di prima specie: Template:Testo centrato

Equazioni di quinto grado reciproche di seconda specie

Fanno parte di questa classe le equazioni del tipo: Template:Testo centrato

Con il raccoglimento parziale si ottiene Template:Testo centrato

Applichiamo ora la formula per la scomposizione della differenza di potenze ottenendo: Template:Testo centrato Raccogliendo il binomio $(x-1)$ si ottiene Template:Testo centrato e quindi Template:Testo centrato

Una radice è $x=1$ e le altre provengono dall’equazione di quarto grado reciproca di prima specie: Template:Testo centrato