Algebra 2/Complementi di algebra/Equazioni e disequazioni con moduli

Valore assoluto

Riprendiamo la definizione già vista in “Algebra 1” di valore assoluto. Il valore assoluto o modulo di un numero $a$, indicato con $|a|$, è lo stesso numero $a$ se esso è maggiore o uguale a zero, o il suo opposto, cioè $-a$, se è minore di zero. In sintesi scriviamo:

Per esempio $|+7|=7$, $|-3|=-(-3)=3$, $\left|0\right|=0$, $|-1|=1$, $\left|1\right|=1$.

In maniera analoga definiamo il valore assoluto di un’espressione algebrica. Il valore assoluto o modulo dell’espressione algebrica $E=x^2-3x$, indicato con $|x^2-3x|$, è una funzione definita per casi, cioè definita da espressioni diverse su sottoinsiemi diversi del dominio, Template:Testo centrato Risolvendo la disequazione $x^2-3x\ge 0$ si esplicitano i due sottoinsiemi in cui sono definite le due espressioni algebriche, cioè Template:Testo centrato

In generale, la funzione valore assoluto o modulo di un’espressione algebrica viene definita come: Template:Testo centrato

La funzione $f(x)$ è detta argomento del valore assoluto.

Equazioni in una incognita in valore assoluto

Equazioni nelle quali l’incognita è presente solo all’interno del modulo

• Equazioni con valore assoluto del tipo $|f(x)|=k\text{ con }k\ge 0$.

Procedura risolutiva  Per risolvere un’equazione del tipo $|f(x)|=k\text{ con }k\ge 0$ è sufficiente risolvere la doppia equazione $f(x)=\pm k$.

• Equazioni con valore assoluto del tipo $|f(x)|=k\text{ con }k<0$.

Se $k<0$ l’equazione è impossibile. In questo caso $|f(x)|=k$ è una contraddizione, in quanto un valore assoluto di una espressione è sempre un valore positivo.

Disequazioni con valore assoluto

• Disequazione con valore assoluto nella forma $|f(x)|<k\text{ con }k>0$.

La disequazione si risolve studiando l’unione dei due sistemi Template:Testo centrato che hanno soluzioni $0\le f(x)<k\vee -k<f(x)<0$ cioè: Template:Testo centrato

• Disequazione con valore assoluto nella forma $|f(x)|>k\text{ con }k>0$.

La disequazione si risolve studiando l’unione dei due sistemi Template:Testo centrato che hanno soluzioni Template:Testo centrato