Algebra 2/Complementi di algebra/Equazioni e disequazioni irrazionali

Equazioni irrazionali con un solo radicale

Analizziamo le seguenti equazioni: $\sqrt{3}\cdot x=x^2-x+2$ e $\sqrt{2x}=x^2-x$. Notiamo che l’equazione $\sqrt{3}\cdot x=x^2-x+2$ è di secondo grado, intera con un coefficiente irrazionale (sotto il segno di radice), ma non è un’equazione irrazionale perché l’incognita non compare sotto la radice. Nell’equazione $\sqrt{2x}=x^2-x$, invece, il monomio $2x$ (contenente l’incognita) compare sotto il segno di radice, pertanto essa è un’equazione irrazionale.

Equazioni irrazionali con la radice di indice pari

Ricordiamo che l’espressione irrazionale $E=\sqrt[n]{f(x)}$ con $n$ pari maggiore di $1$ ha significato per tutti i valori di $x$ che rendono non negativo il radicando, pertanto l’insieme soluzione di un’equazione irrazionale in cui compaiono uno o più radicali di indice pari sarà un sottoinsieme del dominio o insieme di definizione del radicale (condizione di realtà del radicale).

Per esempio, nell’equazione $\sqrt{2x}=x^2-x$ si ha che il dominio $𝒟$ del radicale è dato da $x\ge 0$, cioè $𝒟={ℝ}^{+}\cup \{0\}$. Pertanto l’insieme delle soluzioni è un sottoinsieme di tale dominio, cioè $\text{I.S.}\subseteq 𝒟$. Nessun numero negativo potrà essere soluzione dell’equazione, altrimenti il radicale non sarebbe un numero reale. Inoltre, poiché l’espressione irrazionale $\sqrt[n]{f(x)}$ nel suo $\text{I.D.}$ è positiva o nulla (per definizione), l’equazione $\sqrt{2x}=x^2-x$ potrà verificarsi solo se il secondo membro sarà non negativo (condizione di concordanza del segno).

Quando abbiamo un’equazione nella quale l’incognita compare sotto una radice di indice $n$ pari possiamo elevare alla potenza $n$ entrambi i membri dell’equazione eliminando la radice. Tuttavia, l’equazione ottenuta non sempre è equivalente a quella data, ossia non sempre ha le stesse soluzioni dell’equazione data (in genere ne ha di più).

Conclusione Per risolvere un’equazione irrazionale con indice pari possiamo allora elevare alla potenza pari della radice i due membri dell’equazione, risolvere l’equazione che si ottiene e verificare se le soluzioni trovate sono accettabili.

Possiamo però procedere in un altro modo: l’insieme soluzione dell’equazione irrazionale $\sqrt[n]{f(x)}=g(x)$ con $n$ pari non nullo sarà un sottoinsieme dell’insieme in cui sono contemporaneamente vere le condizioni Template:Testo centrato

Equazioni irrazionali con la radice di indice dispari

L’espressione irrazionale $E=\sqrt[n]{f(x)}$ con $n$ dispari è definita per tutti i valori reali per cui è definito il radicando, quindi l’equazione irrazionale $\sqrt[n]{f(x)}=g(x)$ è equivalente a quella che si ottiene elevando ad $n$ entrambi i membri dell’equazione: $f(x)=g^n(x)$.

Equazioni con più radicali

Non potendo stabilire una forma canonica, procederemo mediante esempi al fine di acquisire un metodo risolutivo a seconda dei casi che si possono presentare.

Disequazioni irrazionali

Concludiamo con un cenno alle disequazioni irrazionali, nelle quali l’incognita compare sotto radice. Esaminiamo il caso in cui l’incognita è sotto radice quadrata e in cui la disequazione presenta una sola radice. Qualunque sia la disequazione di partenza, ci si può sempre ricondurre ai seguenti due casi.

Primo caso:  disequazioni nella forma $\sqrt{f(x)}>g(x)$.

Questa disequazione si può ricondurre allo studio di una coppia di sistemi di disequazioni. Infatti distinguiamo due casi a seconda del segno di $g(x)$.

• Se $g(x)<0$ la disequazione è sicuramente verificata, in quanto al primo membro c’è una quantità sicuramente positiva in quanto radice quadrata, sotto condizione di esistenza del radicando $f(x)\ge 0$. Pertanto, il primo sistema è:

• Se $g(x)\ge 0$, dopo aver posto la condizione di esistenza del radicale $f(x)\ge 0$ si possono elevare al quadrato i due membri dell’equazione, in quanto entrambi positivi. Si ottiene il sistema

Template:Testo centrato La seconda disequazione del sistema si può eliminare in quanto la prima e la terza disequazione implicano automaticamente che $f(x)>0$.

In definitiva: Template:Testo centrato

Template:Algebra1/Esempio1
Secondo caso:  disequazioni nella forma $\sqrt{f(x)}<g(x)$.

Questa disequazione si può ricondurre allo studio di un solo sistema di disequazioni, in quanto la condizione $g(x)\le 0$ non dà soluzioni poiché la radice del primo membro dovrebbe essere minore di un numero negativo, cosa non possibile visto che le radici quadrate danno sempre valori positivi. Rimane allora da esaminare la condizione $g(x)>0$; in questo caso si può elevare al quadrato primo e secondo membro ma resta sempre da aggiungere la condizione di esistenza del radicale, cioè $f(x)\ge 0$. In definitiva: Template:Testo centrato