Algebra 2/Numeri reali e radicali/Radicali

Radici

Radici quadrate

Ricordiamo che il quadrato di un numero reale $a$ è il numero che si ottiene moltiplicando $a$ per se stesso. Il quadrato di un numero è sempre un numero non negativo; numeri opposti hanno lo stesso quadrato: $(+3{)}^2=9$,  $(-2{)}^2=+4$,  $(-5{)}^2=(+5{)}^2=+25$.

L’operazione inversa dell’elevamento al quadrato si chiama radice quadrata. La radice quadrata di un numero reale $a$ è allora quel numero che elevato al quadrato, cioè, che moltiplicato per se stesso, dà il numero $a$.

Il simbolo $\sqrt{}$ è il simbolo della radice quadrata; il numero $a$ è detto radicando, il numero $b$ è detto radice quadrata di $a$.

Dalla definizione $\sqrt{a^2}=a$ con $a\ge 0$, quindi $\sqrt{81}=9$ perché $9^2=81$; $\sqrt{\frac{9}{64}}=\frac{3}{8}$ perché ${\left(\frac{3}{8}\right)}^2=\frac{9}{64}$.

Radici cubiche

Puoi notare che la radice cubica di un numero reale esiste sempre sia per i numeri positivi o nulli, sia per i numeri negativi.

Osserva che la radice cubica di un numero mantiene sempre lo stesso segno del numero in quanto il cubo di un numero reale conserva sempre il segno della base.

Radici n-esime

Oltre alle radici quadrate e cubiche si possono considerare radici di indice qualsiasi. Si parla in generale di radice $n$-esima per indicare una radice con un qualsiasi indice $n$.

Quando si tratta con le radici n-esime di un numero reale, bisogna fare attenzione se l’indice della radice è pari o dispari. Si presentano infatti i seguenti casi:

• se l’indice $n$ è dispari $\sqrt[n]{a}$ è definita per qualsiasi valore di $a\in ℝ$, inoltre è negativa se $a<0$, positiva se $a>0$ e nulla se $a=0$;
• se l’indice $n$ è pari $\sqrt[n]{a}$ è definita solo per i valori di $a\ge 0$ e si ha che $\sqrt[n]{a}\ge 0$.

Condizioni di esistenza

Quando il radicando è un’espressione letterale dobbiamo fare molta attenzione a operare su di esso. Le condizioni di esistenza, in breve si può scrivere $\text{C.E.}$, di un radicale con radicando letterale, sono le condizioni cui devono soddisfare le variabili che compaiono nel radicando affinché la radice abbia significato.

Supponiamo di avere $\sqrt[n]{A(x)}$ con $A(x)$ espressione nella variabile $x$, dobbiamo distinguere i seguenti casi:

• se $n$ è pari la radice esiste per tutti i valori di $x$ che rendono non negativo il radicando, cioè $\text{C.E.}A(x)\ge 0$;
• se $n$ è dispari la radice esiste per qualsiasi valore della variabile $x$, purché esista il radicando stesso.

Potenze ad esponente razionale

In questo paragrafo ci proponiamo di scrivere la radice $n$-esima di un numero reale $a\ge 0$ sotto forma di potenza di $a$, vogliamo cioè che sia: $\sqrt[n]{a}=a^x$.

Caso con esponente positivo   Elevando ambo i membri dell’uguaglianza alla potenza n otteniamo: ${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n={\left(a^x\right)}^n$ da cui si ottiene $a=a^{n\cdot x}$. Trattandosi di due potenze con base $a\ge 0$, l’uguaglianza è resa possibile solo se sono uguali gli esponenti. In altre parole, deve essere: $1=n\cdot x\Rightarrow x=\frac{1}{n}$, quindi: $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$.

Vediamo ora di generalizzare la formula. Sia $m$ un numero intero positivo, possiamo scrivere $a^{\frac{m}{n}}={\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^m$ e quindi $a^{\frac{m}{n}}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m$.

Caso con esponente negativo   Per definire la potenza ad esponente razionale negativo è necessario imporre la restrizione $a\ne 0$, infatti risulta: $a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}={\left(\frac{1}{a}\right)}^{\frac{m}{n}}$

In generale si dà la seguente

Perché abbiamo dovuto imporre la condizione che $a$ sia un numero positivo? Partiamo dall’espressione $a^{\frac{1}{n}}$ con $n\in \mathbb{N}-\{0\}$, se $n$ è dispari la potenza $a^{\frac{1}{n}}$ è sempre definita per ogni valore della base $a$, mentre se è pari $a^{\frac{1}{n}}$ è definita solo per $a\ge 0$.

Nel caso generale, quindi, $a^{\frac{m}{n}}$ con $\frac{m}{n}\in \mathbb{Q}$ la formula $a^{\frac{m}{n}}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m$ è falsa se $a<0$.

Consideriamo il seguente esempio: $(-2{)}^{\frac{6}{6}}={[(-2{)}^{\frac{1}{6}}]}^6={\left(\sqrt[6]{-2}\right)}^6$ non è definita nei numeri reali perché non esiste la radice sesta di un numero negativo. Tuttavia possiamo anche scrivere Template:Testo centrato Arriviamo pertanto a due risultati differenti.

Per estendere la definizione al caso di basi negative sarebbe necessario stabilire un ordine di priorità delle operazioni ma ciò andrebbe contro la proprietà commutativa del prodotto degli esponenti di una potenza di potenza.

Semplificazione di radici

Se il radicando è un’espressione letterale, quindi è possibile che sia positiva che negativa, dobbiamo scrivere Template:Testo centrato

La proprietà invariantiva si può applicare per semplificare i radicali se la base del radicando è positiva o nulla, se fosse negativa si potrebbe perdere la concordanza del segno. Per esempio $\sqrt[10]{(-2{)}^6}\ne \sqrt[5]{(-2{)}^3}$, infatti il primo radicando è positivo mentre il secondo è negativo.

Invece $\sqrt[9]{(-2{)}^3}=\sqrt[3]{-2}$ perché in questo caso la concordanza del segno è conservata, infatti pur essendo la base negativa, l’esponente resta dispari, conservando il segno della base.

Se il radicando ha base negativa e nella semplificazione il suo esponente passa da pari a dispari è necessario mettere il radicando in valore assoluto: $\sqrt[10]{(-2{)}^6}=\sqrt[5]{|-2^3|}$.

Se il radicando è letterale si segue la stessa procedura: ogni volta che studiando il segno del radicando si trova che la base può essere negativa, se l’esponente del radicando passa da pari a dispari, si mette il modulo per garantire la concordanza del segno: $\sqrt[10]{x^6}=\sqrt[5]{\left|x^3\right|}$,  $\text{C.E.}\mathrm{\forall }x\in ℝ$.

Moltiplicazione e divisione di radici

Prima di operare con i radicali letterali, è necessario determinare le condizioni di esistenza: il prodotto di due radicali esiste là dove sono soddisfatte le condizioni di esistenza di tutti i fattori; il quoziente esiste là dove sono soddisfatte le condizioni di esistenza di dividendo e divisore, con il divisore diverso da zero.

Moltiplicazione e divisione di radici con lo stesso radicando

Per effettuare la moltiplicazione o la divisione tra radici aventi lo stesso radicando si possono trasformare le radici in forma di potenze con esponente razionale e utilizzare le proprietà delle potenze.

Moltiplicazione e divisione di radici con lo stesso indice

Il prodotto di due radici che hanno lo stesso indice è una radice che ha per indice lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandi: Template:Testo centrato

Allo stesso modo, il quoziente di due radici che hanno lo stesso indice è una radice che ha per indice lo stesso indice e  per radicando il quoziente dei radicandi: Template:Testo centrato

Per rendersi conto di questa proprietà si possono trasformare le radici in potenze ad esponenti razionali e applicare le proprietà delle potenze: Template:Testo centrato

Moltiplicazione e divisione di radici con indici diversi

Per moltiplicare o dividere radici con indici differenti è necessario prima ridurre le radici allo stesso indice, cioè trasformarle in radici equivalenti con lo stesso indice usando la proprietà invariantiva. Dopo aver ottenuto radici con lo stesso indice si applica la regola precedente.

Portare un fattore sotto il segno di radice

Per portare un fattore dentro il segno di radice bisogna elevarlo all’indice della radice: Template:Testo centrato

Ricordando che abbiamo posto $\sqrt[1]{a}=a$, portare un fattore sotto radice quivale a svolgere la moltiplicazione tra una radice di indice $1$ e una radice di indice $n$ qualsiasi.

Portare un fattore fuori dal segno di radice

È possibile portare fuori dal segno di radice quei fattori aventi come esponente un numero che sia maggiore o uguale all’indice della radice. In generale si inizia scomponendo in fattori irriducibili il radicando, ottenendo un radicale del tipo $\sqrt[n]{a^m}$ con $m\ge n.$

I° modo:  si esegue la divisione intera $m:n$ ottenendo un quoziente $q$ e un resto $r$. Per la proprietà della divisione si ha $m=n\cdot q+r$ quindi $\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n]{a^{n\cdot q+r}}$ e per le proprietà delle potenze $\sqrt[n]{a^{n\cdot q+r}}=\sqrt[n]{(a^q{)}^n\cdot a^r}$ e per la regola del prodotto di due radici con medesimo indice si ottiene: Template:Testo centrato Notiamo che il fattore “fuori“dalla radice ha per esponente il quoziente della divisione intera, mentre il fattore che rimane “dentro“ha per esponente il resto della divisione stessa. Template:Testo centrato

II° modo:  si può trasformare la potenza del radicando nel prodotto di due potenze con la stessa base; una avente esponente multiplo dell’indice della radice e l’altra avente per esponente la differenza tra l’esponente iniziale e il multiplo trovato. Consideriamo il seguente esempio:

$\sqrt[3]{a^8}=\dots$ il multiplo di $3$ più vicino a $8$ è $6$, quindi Template:Testo centrato

Quando portiamo fuori dalla radice un termine letterale dobbiamo verificare se l’indice della radice è pari o dispari e se il termine che portiamo fuori è positivo o negativo. In particolare: Template:Testo centrato

Potenza di radice e radice di radice

Per elevare a potenza una radice si eleva a quella potenza il radicando: ${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m}$. Si capisce il perché di questa proprietà trasformando, come negli altri casi, la radice in potenza con esponente frazionario: Template:Testo centrato

La radice di un'altra radice è uguale a una radice con lo stesso radicando e con indice il prodotto degli indici delle radici: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}$. Anche questa proprietà si può spiegare con le proprietà delle potenze trasformando la radice in potenza con esponente frazionario: Template:Testo centrato

Somma di radicali

Operare con i radicali è simile al modo di operare con i monomi. Infatti è possibile effettuare somme algebriche soltanto se i radicali hanno lo stesso indice e lo stesso radicando, mentre si possono sempre effettuare moltiplicazioni e divisioni dopo averli ridotti allo stesso indice.

È possibile effettuare somme algebriche soltanto se i radicali sono simili, si eseguono le somme allo stesso modo in cui si eseguono le somme algebriche dei monomi.

Attenzione: l’operazione $\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$ è errata in quanto i radicali addendi non sono simili poiché hanno lo stesso indice (2) ma non lo stesso radicando.

Per semplificare le espressioni che seguono, useremo le procedure di calcolo dei polinomi.

Le espressioni con radicali possono essere trasformate in potenze con esponente frazionario per poi applicare le proprietà delle potenze:

Razionalizzazione del denominatore di una frazione

Nel calcolo di espressioni che contengono radicali può capitare che al denominatore compaiano dei radicali. Per semplificare l’espressione e migliorare l’approssimazione si cerca di evitare questa situazione e operare affinché non compaiano radicali al denominatore. Questa operazione prende il nome di razionalizzazione del denominatore.

Razionalizzare il denominatore di una frazione vuol dire quindi trasformare una frazione in una frazione equivalente avente per denominatore un’espressione nella quale non compaiano radici.

I° Caso:  la frazione è del tipo $\frac{a}{\sqrt{b}}$.

Per razionalizzare il denominatore di una frazione di questo tipo basta moltiplicare numeratore e denominatore per $\sqrt{b}$, che prende il nome di fattore razionalizzante: Template:Testo centrato

II° Caso: 

la frazione è del tipo $\frac{a}{\sqrt[n]{b^m}}$  con $n>m$.

In questo caso il fattore razionalizzante è $\sqrt[n]{b^{n-m}}$. Infatti si ha: Template:Testo centrato

Nel caso in cui $n<m$, prima di razionalizzare possiamo portare fuori dalla radice parte del radicando.

III° Caso:  la frazione è del tipo $\frac{x}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ oppure $\frac{x}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$.

Per questo tipo di frazione occorre sfruttare il prodotto notevole $(u+v)(u-v)=u^2-v^2$; ponendo $\sqrt[3]{a}=u$ e $\sqrt[3]{b}=v$ si moltiplicano numeratore e denominatore per il fattore che ci consente di ottenere al denominatore $u^2-v^2$ cioè $\sqrt{a^2}-\sqrt{b^2}$. Il fattore razionalizzante nel primo caso è quindi $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ e nel secondo è $\sqrt{a}+\sqrt{b}$. Sviluppiamo solo il primo caso, poiché il secondo è del tutto analogo: Template:Testo centrato

IV° Caso:  la frazione è del tipo $\frac{x}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$

Anche in questo caso si utilizza il prodotto notevole della differenza di quadrati, solo che l’operazione va ripetuta più volte.

V° Caso:  la frazione è del tipo $\frac{x}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}$ oppure $\frac{x}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}$.

In questo caso si utilizza il prodotto notevole $(u+v)(u^2-uv+v^2)=u^3+v^3$ e quello analogo $(u-v)(u^2+uv+v^2)=u^3-v^3$; ponendo $\sqrt[3]{a}=u$ e $\sqrt[3]{b}=v$ si moltiplicano numeratore e denominatore per il fattore che ci consente di ottenere al denominatore $u^3+v^3$ o $u^3-v^3$, cioè $\sqrt[3]{a^3}+\sqrt[3]{b^3}$ o $\sqrt[3]{a^3}-\sqrt[3]{b^3}$. Sviluppiamo soltanto il primo caso: Template:Testo centrato

Radicali doppi

Se l’espressione $a^2-b$ è un quadrato perfetto, i radicali doppi possono essere trasformati nella somma algebrica di due radicali semplici per mezzo della seguente formula: Template:Testo centrato

Dimostriamo la formula $\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}.$

• eleviamo al quadrato ambo i termini dell’uguaglianza ottenendo:

• sommiamo i radicali simili e moltiplichiamo quelli con lo stesso indice:

• da cui semplificando

Equazioni, disequazioni e sistemi a coefficienti irrazionali

Avendo imparato come operare con i radicali puoi risolvere equazioni, sistemi e disequazioni con coefficienti irrazionali.