Algebra lineare e geometria analitica/Matrici

Storia

Il concetto di matrice, o semplicemente di "tabella di numeri" ha origini molto antiche, se intesa in senso lato, Con questo vogliamo dire che, fino a metà del 1800, non è mai stata formalizzata l'idea moderna di matrice, tuttavia si sono usati gli stessi metodi e le stesse espressioni che la descrivono implicitamente.

Citiamo come curiosità che un esempio antico di matrice può essere ricondotto fino a prima di Cristo, in un libro cinese denominato Jiuzhang suanshu (che si potrebbe tradurre come Nove capitoli sull'arte matematica). In quel testo l'autore analizza un problema che oggi formalizzeremo come un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite ed estrapola i coefficienti di tali equazioni in una tabella, che non è nient'altro che una antica parente della matrice dei coefficienti.

L'esempio appena riportato non ha solo carattere nozionistico, ma mostra come il concetto e l'uso di matrici sia molto naturale nell'analisi di problemi, anche pratici, modellati con sistemi di equazioni lineari.

Matrici

Definizione

Dati $m,n\in \mathbb{N}$, $m,n\ge 1$, una matrice $m\times n$ a coefficienti in $ℝ$ è una tabella $A$ del seguente tipo:

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \dots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m,1}& a_{m,2}& \dots & a_{m,n}\end{array}\right)$

con $a_{i,j}\in ℝ$ per $1\le i\le m$ e $1\le j\le n$.

Righe e Colonne

Data una matrice $m\times n$ $A$ possiamo definire:

• righe di $A$: sono le seguenti matrici $1\times n$

$\begin{array}{cc}& A_1:=(a_{1,1}{a}_{1,2}\dots a_{1,n})\\ & A_2:=(a_{2,1}{a}_{2,2}\dots a_{2,n})\\ & ⋮\\ & A_m:=(a_{m,1}{a}_{m,2}\dots a_{m,n})\end{array}$

• colonne di $A$: sono le seguenti matrici $m\times 1$

$A^1:=\left(\begin{array}{c}{a}_{1,1}\\ a_{2,1}\\ ⋮\\ a_{m,1}\end{array}\right)A^2:=\left(\begin{array}{c}{a}_{1,2}\\ a_{2,2}\\ ⋮\\ a_{m,2}\end{array}\right)\dots A^n:=\left(\begin{array}{c}{a}_{1,n}\\ a_{2,n}\\ ⋮\\ a_{m,n}\end{array}\right)$

Rappresentazione e componenti

Possiamo rappresentare la matrice $A$ mettendo in evidenza le sue righe o le sue colonne, ovvero possiamo scrivere

$A=:\left(\begin{array}{cccc}{A}^1& A^2& \dots & A^n\end{array}\right)=:\left(\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\\ ⋮\\ A_m\end{array}\right)$

Per indicare $A$ useremo anche la notazione

$A=:(a_{i,j}{)}_{\stackrel{1\le i\le m}{1\le j\le n}}=:(a_{i,j})$

Infine per indicare la componente $i,j$-esima di $A$ useremo la notazione $(A{)}_{i,j}=:a_{i,j}$. Osserviamo che due matrici si diranno uguali se coincidono in tutte le loro componenti.

Esempio

Sia

$A=:\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 1& 0\\ 4& \sqrt{3}\end{array}\right)$

Allora $A$ è una matrice $3\times 2$ e le sue righe e colonne sono

$A_1=\left(\begin{array}{cc}2& -3\end{array}\right)A_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right)A_3=\left(\begin{array}{cc}4& \sqrt{3}\end{array}\right)$

$A^1=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 4\end{array}\right)A^2=\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ \sqrt{3}\end{array}\right)$

Le componenti di $A$ sono:

$(A{)}_{1,1}=2(A{)}_{1,2}=-3(A{)}_{2,1}=1(A{)}_{2,2}=0(A{)}_{3,1}=4(A{)}_{3,2}=\sqrt{3}$

Quindi $A$ può essere scritta come:

$A=\left(\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\\ A_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{A}^1& A_2\end{array}\right)$

Insiemi di Matrici

Definizione

Dati $m,n\in \mathbb{N}$ con $m,n\ge 1$ indicheremo con $M(m,n,ℝ)$ l'insieme di tutte le matrici $m\times n$ a coefficienti in $ℝ$, e con $M(n,ℝ)$ tutte le matrici $n\times n$ a coefficienti in $ℝ$, ovvero:

$M(m,n,ℝ):=\{A:A\text{ e una matrice }m\times n\text{ a coefficienti in }ℝ\}$

$M(n,ℝ):=M(n,n,ℝ)$

Chiameremo le matrici di $M(n,ℝ)$ matrici quadrate.

Ad esempio, per definizione di matrice associata ad un sistema lineare, si ha che, se $ℒ$ è un sistema lineare con $m$ equazioni e $n$ incognite, allora $M(ℒ)\in M(m,n+1,ℝ)$.

Praticamente si consideri il seguenti sistema:

$ℒ=\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=5\\ 3x_2=7\end{array}$

allora per definizione di matrice associata al sistema si ha che

$M(ℒ)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 5\\ 0& 3& 7\end{array}\right)\in M(2,3,ℝ)$