Algebra lineare e geometria analitica/Matrici (esercizi)

Tracce

Prodotto tra matrici

1. Dire per quali delle seguenti coppie di matrici il prodotto $A\cdot B$ è commutativo, ossia uguale a $B\cdot A$:
   1. $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 1\end{array}\right)$
   2. $A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 5\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{cc}2& 7\\ 1& 0\end{array}\right)$
   3. $A=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 1& 0\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -5\end{array}\right)$

Soluzioni

Prodotto tra matrici

1. Sono commutativi il primo e il terzo prodotto, perché equivalgono a una matrice identità. Il secondo no, quindi non è commutativo. Per iscritto:
   1. $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+2\cdot 0& 1\cdot (-2)+2\cdot 1\\ 0\cdot 1+1\cdot 0& 0\cdot (-2)+1\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I\Rightarrow A\cdot B=B\cdot A$
   2. $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}3\cdot 2+1\cdot 1& 3\cdot 7+1\cdot 0\\ 2\cdot 2+5\cdot 1& 2\cdot 7+5\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& 21\\ 9& 14\end{array}\right)\ne I$
   3. $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}5\cdot 0+1\cdot 1& 5\cdot 1+1\cdot (-5)\\ 1\cdot 0+0\cdot 1& 1\cdot 1+0\cdot (-5)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I\Rightarrow A\cdot B=B\cdot A$